二次函数的极值问题讲稿.ppt

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1、关于二次函数的极值问题第一页，讲稿共二十九页哦1、求下列二次函数的最大值或最小值：、求下列二次函数的最大值或最小值：y=x22x3;y=x24x解：（解：（1）y=（x1）22 当当x=1时，时，y有最大值为有最大值为2。（2）y=（x+2）24 当当x=2时，时，y有最小值为有最小值为4。归纳：一般地，因为抛物线归纳：一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是的顶点是 最低（高）点，所以当最低（高）点，所以当x=时，二次函时，二次函 数数y=ax2+bx+c有最小（大）值有最小（大）值 。第二页，讲稿共二十九页哦-202462-4xy若若3x3，该函数的最大，该函数的最大值、最小值分别为

2、值、最小值分别为（）、）、（）。）。又若又若0 x3，该函数的最，该函数的最大值、最小值分别为（大值、最小值分别为（）、（）、（）。）。求函数的最值问题，应注意什求函数的最值问题，应注意什么么?55 555 132、图中所示的二次函数图像的解析、图中所示的二次函数图像的解析式为：式为：第三页，讲稿共二十九页哦一、自主探究一、自主探究问题问题1.已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件4040元，元，售价是每件售价是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。件。据市场调查反映：如果调整价格据市场调查反映：如果调整价格，每涨价每涨价1 1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出1

3、010件。要想件。要想获得获得60906090元的利润，该商品应定价为元的利润，该商品应定价为多少元？多少元？第四页，讲稿共二十九页哦已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件40元，售价是每件元，售价是每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调整件。市场调查反映：如果调整价格价格，每涨价，每涨价1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出10件。件。要想获要想获得得6090元的利润，该商品应定价为多少元？元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示

4、为 元，要想获得6090元利润可列方程 。6000 20+x300-10 x(20+x)(300-10 x)(20+x)(300-10 x)=6090 第五页，讲稿共二十九页哦已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件40元，售价是每件元，售价是每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调件。市场调查反映：如果调整价格整价格，每涨价，每涨价1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出10件。件。要想要想获得获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？元的利润，该商品应定价为多少元？若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示 为 件，一周的利润可表

5、示 为 元，要想获得6090元利润可列方程 .x-40300-10(x-60)(x-40)300-10(x-60)(x-40)300-10(x-60)=6090第六页，讲稿共二十九页哦二、自主合作二、自主合作问题问题2.已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件4040元。现在元。现在的售价是每件的售价是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每涨价一元，每星期要少卖出每星期要少卖出1010件；件；每降价一元，每星期每降价一元，每星期可多卖出可多卖出2020件。如何定价才能使利润最大？件。如何定价才能使利润

6、最大？第七页，讲稿共二十九页哦解：设每件涨价为解：设每件涨价为x元时获得的总利润为元时获得的总利润为y元元.y=(60-40+x)(300-10 x)=(20+x)(300-10 x)=-10 x2+100 x+6000=-10(x2-10 x-600)=-10(x-5)2-25-600=-10(x-5)2+6250当当x=5时，时，y的最大值是的最大值是6250.定价定价:60+5=65（元）（元）(0 x30)怎样确定x的取值范围第八页，讲稿共二十九页哦可以看出，这个函数的可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高

7、点，点是函数图像的最高点，也就是说当也就是说当x取顶点坐取顶点坐标的标的横坐标横坐标时，这个函时，这个函数有数有最大值最大值。由公式可。由公式可以求出顶点的横坐标以求出顶点的横坐标.所以，当定价为所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6250元元也可以这样求极值第九页，讲稿共二十九页哦解解:设每件降价设每件降价x元时的总利润为元时的总利润为y元元.y=(60-40-x)(300+20 x)=(20-x)(300+20 x)=-20 x2+100 x+6000=-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125所以定价为所以定价为60-2.5=57.5

8、时利润最大时利润最大,最大值为最大值为6125元元.答答:综合以上两种情况，定价为综合以上两种情况，定价为65元时元时可获得最大利润为可获得最大利润为6250元元.由由(1)(2)的讨论及现在的销售的讨论及现在的销售情况情况,你知道应该如何定价能你知道应该如何定价能使利润最大了吗使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围（0 x20）第十页，讲稿共二十九页哦 2.2.某公司试销一种成本单价为某公司试销一种成本单价为500500元的新产品，元的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于又不高于800800元元/件件,经市场调查经市场调查,发现销售量发现销售量

9、y(y(件件)与销售单价与销售单价x(x(元元/件件)可以近似看作一次函数的关系可以近似看作一次函数的关系(如图如图).).(1)(1)根据图象根据图象,求求y y与与x x的函数关系式的函数关系式;(2)(2)设公司获得的毛利润为设公司获得的毛利润为s s元元,试求试求s s与与x x的函数的函数关系式关系式;(3)(3)试问试问:销售单价定为多少时销售单价定为多少时,该公司可获得最大该公司可获得最大利润利润?最大毛利润是多少最大毛利润是多少?此时的销售量是多少此时的销售量是多少?600600700700400400300300O Ox xy y(3)(3)当当x=750 x=750时时,s

10、,s最大为最大为6250062500元元,销售量为销售量为250250件件.第十一页，讲稿共二十九页哦归纳小结归纳小结：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤般步骤 :求出函数解析式和自变量的取值范围求出函数解析式和自变量的取值范围配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。检查求检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内自变量的取值范围内 。第十二页，讲稿共二十九页哦 1.1.某产品每件的成本价是某产品每件的成本价是120120

11、元元,试销阶段试销阶段,每每件产品的销售价格件产品的销售价格x(x(元元)与产品的日销售量与产品的日销售量y(y(件件)之间之间的关系如下表：的关系如下表：x（元）130150165y（件）705035 (1)(1)则则y y与与x x的函数关系式为的函数关系式为 _；y=-x+200(120y=-x+200(120 x x200)200)若销售量若销售量y y是销售价格是销售价格x x的一次函数的一次函数.第十三页，讲稿共二十九页哦 1.1.某产品每件的成本价是某产品每件的成本价是120120元元,试销阶段试销阶段,每每件产品的销售价格件产品的销售价格x(x(元元)与产品的日销售量与产品的日

12、销售量y(y(件件)之间之间的关系如下表：的关系如下表：x（元）130150165y（件）705035(2)(2)若要获得最大的销售利润若要获得最大的销售利润,每件产品的销售价格每件产品的销售价格定为多少元？此时每日的销售利润是多少？定为多少元？此时每日的销售利润是多少？设销售利润为设销售利润为W,W,则则W=(x-120)yW=(x-120)y=(x-120)(-x+200)=(x-120)(-x+200)=-x=-x2 2+320 x-2400+320 x-2400W=1600W=1600则则:若销售量若销售量y y是销售价格是销售价格x x的一次函数的一次函数.第十四页，讲稿共二十九页哦

13、2.2.某种粮大户去年种植优质水稻某种粮大户去年种植优质水稻360360亩亩,今年计划增加今年计划增加承租承租x(100 x150)x(100 x150)亩亩,预计预计,原种植的原种植的360360亩水稻今亩水稻今年每亩可收益年每亩可收益440440元元,新增加地今年每亩的收益为新增加地今年每亩的收益为(440-2x)(440-2x)元元,试问试问:该种植大户要增加承租多少亩水稻该种植大户要增加承租多少亩水稻,才才能使总收益最大能使总收益最大?最大收益是多少最大收益是多少?y=440360+(440-2x)y=440360+(440-2x)x x=-2x=-2x2 2+440 x+158400

14、+440 x+158400=-2(x-110)=-2(x-110)2 2+182600+182600所以所以,当当x=110 x=110时时,y,y有最大值有最大值182600182600设该种粮大户的今年总收益为设该种粮大户的今年总收益为y y元元.第十五页，讲稿共二十九页哦3.3.某旅社有客房某旅社有客房120120间间,每间房间的日租金为每间房间的日租金为5050元元,每每天都客满天都客满,旅社装修后要提高租金旅社装修后要提高租金,经市场调查经市场调查,如果一如果一间客房的日租金每增加间客房的日租金每增加5 5元元,则客房每天出租会减少则客房每天出租会减少6 6间间,不考虑其它因素不考虑

15、其它因素,旅社将每间客房的日租金提高旅社将每间客房的日租金提高到多少元时到多少元时,客房日租金总收入最高？比装修前的客房日租金总收入最高？比装修前的日租金的总收入增加多少元？日租金的总收入增加多少元？设日租金提高设日租金提高x x元，客房日租金总收入为元，客房日租金总收入为y y元元50+x=7550+x=75第十六页，讲稿共二十九页哦某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱每箱4040元，市场调查发现：若每箱以元，市场调查发现：若每箱以50 50 元销元销售售,平均每天可销售平均每天可销售100100箱箱.价格每箱降低价格每箱降低1 1元，元，平均每天

16、多销售平均每天多销售2525箱箱 ;价格每箱升高价格每箱升高1 1元，元，平均每天少销售平均每天少销售4 4箱。如何定价才能使得利润箱。如何定价才能使得利润最大？最大？练一练练一练若生产厂家要求每箱售价在若生产厂家要求每箱售价在4555元之间。元之间。如何如何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求每箱的价格为整数）求每箱的价格为整数）第十七页，讲稿共二十九页哦解：设利润为解：设利润为y，每箱涨价，每箱涨价x元，则每天可售出（元，则每天可售出（1004x）箱，根据题意，得箱，根据题意，得 y=（10+x）（）（1004x）=4（x ）2+1225 （0

17、 x5）当当x=时，时，y最大值最大值=1225。设每箱降价设每箱降价z元，则每天可售出（元，则每天可售出（100+25z）箱，根据）箱，根据题意，得题意，得 y=（10z）（）（100+25z）=25（z2）2+1100（0z5）当当z=2时，时，y最大值最大值=1100。因为厂家要求售价在因为厂家要求售价在4555之间，所以应每箱涨价之间，所以应每箱涨价5元，元，即每箱定价为即每箱定价为55元时，利润最大。元时，利润最大。第十八页，讲稿共二十九页哦 有一经销商，按市场价收购了一种活蟹有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放千克，放养在塘内，此时市场价为每千克养在塘内，此时市场价为

18、每千克30元。据测算，此后每千克元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费元，但是，放养一天需各种费用支出用支出400元，且平均每天还有元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）元（放养期间蟹的重量不变）.设设x天后每千克活蟹市场价为天后每千克活蟹市场价为P元，写出元，写出P关于关于x的函数关系式的函数关系式.如果放养如果放养x天将活蟹一次性出售，并记天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额千克蟹的销售总额为为Q元，写

19、出元，写出Q关于关于x的函数关系式。的函数关系式。该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润润=销售总额销售总额-收购成本收购成本-费用）？最大利润是多少？费用）？最大利润是多少？第十九页，讲稿共二十九页哦解：解：由题意知由题意知:P=30+x.由题意知：死蟹的销售额为由题意知：死蟹的销售额为200 x元，活元，活蟹的销售额为（蟹的销售额为（30+x）（）（1000-10 x)元元。驶向胜利的彼岸Q=(30+x)(1000-10 x)+200 x =-10 x2+900 x+30000设总利润为设总利润为W=Q-30000-400

20、 x=-10 x2+500 x =-10(x-25)2+6250 当当x=25时，总利润最大，最大利润为时，总利润最大，最大利润为6250元。元。第二十页，讲稿共二十九页哦第二十一页，讲稿共二十九页哦 例题例题:学校要建一个生物花圃园，其中一边靠墙，另三边用长学校要建一个生物花圃园，其中一边靠墙，另三边用长为为30米的篱笆围成，已知墙长为米的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个花圃垂直的一边为米，设这个花圃垂直的一边为x米米.（1）平行于墙的一边为）平行于墙的一边为y米，直接写出米，直接写出y与与x之间的函数关系及自变量之间的函数关系及自变量x的取值范围；的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多

21、少米时，这个花圃的面积最大，并求这个）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大，并求这个最大值；最大值；（3）当这个花圃园的面积不小于）当这个花圃园的面积不小于88平米时，（结合图像）直接写出平米时，（结合图像）直接写出x的的取值范围。取值范围。(1)分析：y=30-2x第二十二页，讲稿共二十九页哦解：解：当垂直于墙的边长为当垂直于墙的边长为7.57.5米是，花圃米是，花圃的面积最大为的面积最大为112.5112.5平方米平方米。第二十三页，讲稿共二十九页哦-2x2+30 x=88解得：x1=4 ,x2=116X 15当 6X 11时，花圃园的面积不小于88平方米由图像得:（3）分析：

22、15第二十四页，讲稿共二十九页哦解：解：（3 3）由图象知：当）由图象知：当6X 116X 11时，面积时，面积 不小于不小于8888平方米平方米.当垂直于墙的边长为当垂直于墙的边长为7.57.5米是，花圃米是，花圃的面积最大为的面积最大为112.5112.5平方米平方米。第二十五页，讲稿共二十九页哦如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范

23、围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)AB为x米、篱笆长为24米 花圃宽为（244x）米 (3)墙的可用长度为8米 (2)当当x 时，S最大值 36（平方米）Sx（244x）4x224 x （0 x6）0244x 8 4x6当x4cm时，S最大值32 平方米第二十六页，讲稿共二十九页哦何时窗户通过的光线最多w某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆它的上半部是半圆,下半部是下半部是矩形矩

24、形,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和图中所有的黑线的长度和)为为15m.15m.当当x等于多少时等于多少时,窗户通过的光线最多窗户通过的光线最多(结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此时此时,窗户的面积是多少窗户的面积是多少?做一做做一做xxy第二十七页，讲稿共二十九页哦例例.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的米长

25、的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个圃各放一个1米宽的门（木质）。米宽的门（木质）。花圃的宽花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？解：设解：设AD=x,则则AB=32-4x+3=35-4x从而从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34xAB106.25xS=-4x2+34x，对称轴，对称轴x=4.25,开口朝下开口朝下当当x4.25时时S随随x的增大而减小的增大而减小故当故当x=6.25时，时，S取最大值取最大值56.25BDAHEGFC第二十八页，讲稿共二十九页哦感谢大家观看第二十九页，讲稿共二十九页哦