2021年2021年2021届高三数学专题复习课程资源——数列的迭代与递推.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -数列的迭代与递推数列特别为等差.等比数列，在考纲C 级要求的8 个席位中占据两席其重要性不言 自明，而数列的迭代与递推型问题为我省近年来数学高考的热点和难点这类问题一般运用累加法.累乘法.构造等差等比（或常数列）法.迭代法等“化归”的思想来解决第一节讨论递推数列问题之基本方法1递推数列处理的最根本的解决方法为迭代法迭代法也称辗转法，为一种不断用变量的旧值递推新值的过程，有的数列通过有限次的迭代，肯定能求出通项公式运用迭代法解决递推数列的通项公式问题为提高解题才能的有效途径2构造与转化也为讨论递推数列的一种常用的手段和方

2、法，为我们必需具备的一种数学才能例 1 已知数列 an满意 a1 = 1， an+1 = 3 an + 1 求 an 的通项公式分析 此题的基本方法为由an+1 = 3 an + 1，构造新数列annn1为一个首项为3 22，公比为3 的等比数列， 从而求得a = 31 这种构造新数列的方法有时往往不能懂得为何要这样配 2凑，于为也就仅限于依葫芦画瓢而已，其实此类型问题可采纳迭代法求解2解 a3a13(3a1)13 a31nn 1n 2n 233 a32313n 1 a3n 231n 313n3n 1231n312注：迭代法的实质就为通过反复替换，将an 与 an 1 的关系最终替换为an 与

3、 a1 的关系，从而求出通项实际上，累加法适用的递推数列类型可以看做为此类型的特例( p = 1) ，故一般都可用迭代法加以解决，如教材中对等差( 等比 ) 数列的概念就为以递推式的形式给出的，然后用累加( 累乘 ) 法证明通项公式，自然也可以用迭代法推导出其通项公式由此可见，迭代法并非什么高深莫测的方法，而为通性通法例 2 设数列a满意a =2， aa3 22n 1 求a的通项公式n1n 1nn2( n 1) 12( n 2) 12n 32 n 52n 32n3解： anan 132(an 232)32=an2323232( an 32( n3) 12n 5)32321a3(2232522n

4、 522 n 3 )2n1a3222 n 12 n 12(22)21212变式 1 设数列 a 的前 n 项和为 Sn，满意2Sa2n 11( nN ) ，且a ，a5，a 成nnn 1123等差数列（ 1）求a1 的值；（ 2）求数列 an 的通项公式第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -分析 由 Sn 求出 an+1 = 3 an + 2n 后，可变形为an1 ，直接迭代，探求an 与 a1an13n222n 1的关系解：（ 1）略；（2） n 2 时，2Snan 12n 11 ，2 Sn

5、1an2n1两式相减得，an 13an2n 22n 1就 a3a3 an232n 13 23 a2nnn321323 22nn 1n 2n 3n13a1n0n2132323212nn13123nn32 n=1 时也适合上式，所以a3n2n n变式 2 在数列a中， a =1 ， acacn 1 2n1nN *，其中实数c0 求n1n 1nan的通项公式解： ancan -1c n2 n11c can 2n 1c2( n2)1nc2(n1)1c 2 ac n 2( n2)12(n1)1n 21cn 1ac n 2112212(n1)1n 1n2cc (n1) 注：（ 1）依次迭代后主要为求和问题

6、；（2）此题也可转化为an 1 = an2n1，然后累加法求通项n+1ncc变式 3 已知数列 an 满意a10 ， a2a (a0) ， 2anan 1an 2 (n 3) ，求 an 的通项公式分析 相邻三项的递推关系可以先利用迭代法转化为相邻两项的关系，再利用迭代法求解解：由于2anan 1an 2 ，所以 2anan 12an 1an 2an 2an 3an 22an 2an 32a2a12a ，第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -所以 2anan 12a ，即 a1 aa nn 12

7、所以 a21 aa1a1aann 1n 2222n 1n 2n 3a1111aa1aan 12 a 11222232经检验， n = 1 ， 2 时也符合通项，所以n 1na2 a 1132n 1nn注：相邻三项或四项的问题理论上仍为可以利用迭代法完成，但可能会较为复杂或者难以发觉迭代规律，所以在使用时都应先变形化简再进行迭代，有肯定的技巧性n例 3 已知数列 a 中，且 a3 ，对任意的自然数n 都满意aa 2 ，求数列 a 的通1项公式解： 由 aa 22222 2232 n 12n 1n 1n 得 anan -1 =an 2an 2an 3a1=3注：此题也可对aa 两边同时取对数得：l

8、g a2lg a ， 即lg an 12 ，所以 lg a 2n 1nn 1nnnlg an为以 lg3 为首项， 2 为公比的等比数列，所以lgan=lg a122n 11lg3n 12，所以 an = 3例 4 已知数列 an 满意项公式nan1(n1)ann( n1) ， nN，且a11 求数列 an 的通解：由nan1(n1)ann( n1) 两边同除以n(n1) ，得 an 1ann1n1 ，从而数列 an n为首项 a11 ，公差 d1 的等差数列，所以 ann=n ，从而数列 an 的通项公式为ann 2变式 已知数列 an 的前 n 项和为An ，对任意nN * 满意nAn 1

9、( n1)Ann( n1)，且2a11 求数列 an 的通项公式解：由nAn 1(n1)AnAnn(n21) An 1An1得，n1n21所以数列为首项为 1，公差为n的等差数列，2所以 An11A1( n1)n1，即 Ann( n1)*( nN ) ，n2222所以 aAA(n1)(n2)n(n1)n1(nN * ) ，n 1n 1n22又 a11 ，所以an( nN * ) n注：此类问题解决的关键在于通过递推关系式的变形，转化为已知数列（或模型），从而求出对应的通项第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - -

10、- - - -其次讲证明等差（等比）数列问题讨论1证明等差（等比）数列的方法定义法(1) 等差数列：途径一：an+1and （常数）；途径二：2an +1anan2 ，即an 2an+1an+1an ( 2) 等比数列：an +1 =q （常数）且a0 an12应对由递推关系处理等差（等比）数列问题的如干思路此类问题叫板在数列定义上，活在变形策略的体验上，虽无定法，但仍有章可循思路一：Sn 与 an 之间的转化；思路二：利用相邻项之间的递推，常构造常数列 过渡，得出 an 通项，得到等差（等比）数列；思路三：递推关系中消常数 ，得出相邻项的关系例 1 已知数列 an 的前 n 项和为Sn ，对

11、任意正整数n(n2) ，都有3SnSn 12Sn 1an 1 求证：数列 an 为等差数列证明 ：对任意正整数n(n 2) ，都有3SnSn 12Sn 1an 1 所以 2Sn2Sn 1Sn 1Snan 1 ，就 2anan 1an 1 ，即an 1ananan 1 ，就数列 an 为等差数列变式 在数列 an 中， a119 ， an 1238an 4 an1， bn42202an，其中 n1N求证：数列 bn 证明 ： bb为等差数列202020202an11 n+1n2an 112an12 38an114an422an12an11 n例 2 已知数列 an 中，a11 ， anan 1(

12、) ，记2Sn 为 an的前 n 项的和， bna2na2n 1 ， nN 判定数列 bn 为否为等比数列解：由于 aa1 nn 1aa1，nn 1()，所以n 1n 222所以 an 21 ，即an2an 21an 2由于 bna2na2n 1 ，第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1 a2n1 a2n 1所以 bn 1a2n 2a2 n 1221 ，又 b10 bna2 na2n 1a2na2 n 12所以 bn 为公比为的等比数列变式 已知数列 an 各项均为正数，a11，a22 ，且

13、an an 3an 1 an2 对任意 nN 恒成2立求证：对任意正实数p， a2 npa2n1 成等比数列证明 ：由an an 3an 1an 2，两式相乘得a aaaaaa，an 1 an 4an 2 an 3n n 1n 3 n 4n 1 n 2n 3由于 a0 ，所以a aa(nN ) ，2*nn n 4n 2从而 an 的奇数项和偶数项均构成等比数列，设公比分别为q 、 q，就 aa q n 12q n 1 ，aa q n 1q n 1 ，122 n2 222n 11 11又由于an 3 = an 1，所以 a4a222q2 ，即q1q2 ，an 2ana3a1q1设 q1q2q ，

14、就a2 npa2n 1q (a2 n 2pa2 n3 ) ，且a2npa2 n10 恒成立，所以数列 a2 npa2 n 1 为首项为2p ，公比为q 的等比数列例 3 数列 an 的前n 项和为Sn ，且满意a11 ， a22 ，SnSn 1anan 2，判定数列 an 为否为等差数列，并证明解：由Sn Sn 1anS1得an 2S2a1 ，2Sa3S3a2 ，3Sa4S4a3Sn 1，a5Snan 1an 1Sn，Sn 1an，an 2以上 n 个式子相乘得S1a1a2，即 2 Sa a，Snan1an 2nnn 1当 n 2 时，2 Sn 1anan1 ，两式相减得2ananan 1an 1，即 an 1an 12 （n 2 ），所以数列an的奇数项.偶数项分别成等差数列，易得ann ，就 an+1an1注：（ 1）由SnanSn得Sn 1，所以SSnn为常数列故S1= 1 ，Sn 1an 2an an 1an 2 an 1an an 1anan 1a1a22所以 2Snanan1，余下同解法；第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -