静电场 讲稿.ppt

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1、关于静电场 第一页，讲稿共八十九页哦第一章第一章 静静 电电 场场 静电场：静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。所产生的电场。静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。恒定磁场及时变场。静电场知识结构框图静电场知识结构框图第二页，讲稿共八十九页哦1.1.1 1.1.1 库仑定律库仑定律1.1 1.1 电场强度电场强度 N(牛顿牛顿)适用条件适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力两个可

2、视为点电荷的带电体之间相互作用力;无限大真空情况无限大真空情况 (式中式中可推广到无限大各向同性均匀介质中可推广到无限大各向同性均匀介质中F/m)N(牛顿牛顿)图1.1.1 两点电荷间的作用力 库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:真真空中两个静止的点电荷空中两个静止的点电荷 与与 之间的相互作用力之间的相互作用力:第三页，讲稿共八十九页哦1.1.2 1.1.2 静电场基本物理量静电场基本物理量电场强度电场强度定义：定义：V/m(N/C)电场强度电场强度（ElectricFieldIntensity)E 表示单位正电荷在表示单位正电荷在电

3、场中所受到的力电场中所受到的力(F),它是空间坐标的矢量函数。它是空间坐标的矢量函数。a)a)点电荷产生的电场强度点电荷产生的电场强度V/mV/mV/mV/m图1.1.2 点电荷的电场第四页，讲稿共八十九页哦 b)n个点电荷产生的电场强度个点电荷产生的电场强度 (注意注意:矢量叠加矢量叠加)c)c)连续分布电荷产生的电场强度连续分布电荷产生的电场强度V/m体电荷分布体电荷分布图1.1.3 体电荷的电场思考思考:线电荷与面电荷产生的电场强度线电荷与面电荷产生的电场强度?第五页，讲稿共八十九页哦d)场强计算公式小结场强计算公式小结点电荷的电场为：点电荷的电场为：多点电荷电场为：多点电荷电场为：线电

4、荷的电场为线电荷的电场为：面电荷的电场为面电荷的电场为：体电荷的电场为：体电荷的电场为：第一组第一组第二组第二组无限长直线的电场无限长直线的电场无限大平面的电场无限大平面的电场电耦极子的电场电耦极子的电场实或空心球外电场实或空心球外电场第六页，讲稿共八十九页哦1.1.3电位电位1)电场内积分与路径无关电场内积分与路径无关例例:点电荷电场内电场力的做功过程点电荷电场内电场力的做功过程(如图如图):上述过程可以推广到任意源的电场中上述过程可以推广到任意源的电场中,因此静电场是保守场。因此静电场是保守场。保守场保守场有势场有势场无旋场无旋场积分与路积分与路径无关径无关沿任意闭回路沿任意闭回路积分为零

5、积分为零第七页，讲稿共八十九页哦点电荷的电位为：点电荷的电位为：多个点电荷的电位为：多个点电荷的电位为：线电荷的电位：面电荷的电位：体电荷的电位：如果以无穷远点为零电位参考点，则P点电位为：如果以Q点为零电位参考点，则P点电位为：(由此定义由此定义PQ两点间的电位差两点间的电位差(电压电压)2)常用的电位计算公式常用的电位计算公式第八页，讲稿共八十九页哦 3)一个电偶极子产生的电位和电场强度一个电偶极子产生的电位和电场强度 极化强度极化强度P 是电偶极矩体密度，根据叠是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积加原理，体积 V 内电偶极子产生的电位为：内电偶极子产生的电位为：式中式中图1.2.15 电

6、偶极子产生的电位利用关系式利用关系式 ，可以求得位于，可以求得位于原点的电偶极子在离它原点的电偶极子在离它r 远处产生的电远处产生的电场强度为场强度为球坐标系等位线方程：线方程：第九页，讲稿共八十九页哦4)电力线与等位线（面）电力电力线：线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E E的方向一致，若的方向一致，若 是电是电力线的长度元，力线的长度元，E E 矢量将与矢量将与 方向一致方向一致，电力线微分方程电力线微分方程在直角坐标系中：在直角坐标系中：当取不同的当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。值时，可得到不同的等位线（面）。等位面等位面:在静电

7、场中电位相等的点的曲面称为等位面，即在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线图1.2.4 点电荷与接地导体的电场在柱、球坐标系如何在柱、球坐标系如何?第十页，讲稿共八十九页哦电场强度垂直于导体表面；电场强度垂直于导体表面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体内电场强度导体内电场强度 E 恒恒为零；为零；电荷分布在导体表面，且电荷分布在导体表面，且 1-2 1-2 高斯定律高斯定律1)1)静电场中导体的性质静电场中导体的性质图1.2.13 静电场中的导体2)2)静电场中的电介质静电场中的电介质 (请看演示请看演示)电介质电介

8、质在外电场在外电场E作用作用下发生下发生极化极化，形成有向排列的电偶极矩；，形成有向排列的电偶极矩；电介质内部和表面产生极化电荷；电介质内部和表面产生极化电荷；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。用用极化强度极化强度P P 表示电介质的极化程度，即表示电介质的极化程度，即C/m2式中式中 为体积元为体积元 内电偶极矩的矢量和，内电偶极矩的矢量和，P 的方向从负极化电荷指向正极化电荷。的方向从负极化电荷指向正极化电荷。（在各向同性、线性、均匀介质在各向同性、线性、均匀介质)0电介质的极化率电介质的极化率,无量纲量。无量纲量。第十一页，讲稿共八十九页哦矢量恒等式

9、：矢量恒等式：图1.2.16 体积V内电偶极矩产生的电位散度定理散度定理 令极化电荷体密度极化电荷体密度极化电荷面密度极化电荷面密度(？)3）电介质极化引起的电场计算电介质极化引起的电场计算 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和为零根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和为零.第十二页，讲稿共八十九页哦 D的通量的通量只取决于高斯面内的自由电荷，只取决于高斯面内的自由电荷，与介质无关，但不能认为与介质无关，但不能认为D的分布与介质无关。的分布与介质无关。a)高斯定律的积分形式高斯定律的积分形式高斯公式高斯公式3.3.电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律b）高斯定律的微分形式）高斯定律的微分

10、形式 在各向同性介质中在各向同性介质中介电常数，单位（介电常数，单位（F/mF/m）第十三页，讲稿共八十九页哦平行板电容器中放入一块介质后，其平行板电容器中放入一块介质后，其D线、线、E 线和线和P 线的分布。线的分布。D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。E线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；D线E线P线图图1.2.17D、E与与P三者之间的关系三者之间的关系第十四页，讲稿共八十九页哦例例1.2.21.2.2 求电荷线密度为求电

11、荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。的无限长均匀带电体的电场。解：解：电场分布特点：电场分布特点：D线皆垂直于导线，呈线皆垂直于导线，呈辐射辐射状态；状态；等等r处处D 值相等；值相等；取取长为长为L L，半径为，半径为 r r 的封闭圆柱面为的封闭圆柱面为高斯面。高斯面。由由 得得图1.2.20 电荷线密度为 的无限长均匀带电体4.4.高斯定律的应用高斯定律的应用 高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能对称性的场才能得到解析解得到解析解(即即:D的数值为常数，且的数值为常数，且D*dS在积分面上在积分面上为常数为常数)。第十五页，讲稿共八

12、十九页哦 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。试问：能否选取正方形的高斯面求解球对称场(a a)(b b)(c c)图1.2.20.球对称场的高斯面图1.2.21.轴对称场的高斯面无限大平面电荷：无限大平面电荷：第十六页，讲稿共八十九页哦1.3 1.3 静电场的基本方程静电场的基本方程 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1.3.1 1.3.1 静电场的基本方程静电场的基本方程 静电场是一个静电场是一个无旋、有源

13、场无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：特性用简洁的数学形式为：解：根据解：根据静电场的旋度恒等于零静电场的旋度恒等于零的性质的性质,例例1.3.11.3.1 已知已知 试判断它能否表示个静电场？试判断它能否表示个静电场？对应静电场的基本方程对应静电场的基本方程 ，矢量，矢量A 可以表示一个静电场。可以表示一个静电场。第十七页，讲稿共八十九页哦 以分界面上点以分界面上点 P 作为观察点，作一作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（小扁圆柱高斯面（）。1.3.2 1.3.2 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1 1、电位移矢量、电位

14、移矢量D的衔接条件的衔接条件则有则有 根据根据 图1.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律 分界面两侧的分界面两侧的D 的法向分量的法向分量不连续不连续。当。当 时，时，D 的法向分量的法向分量连续连续。当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为图1.3.3a 导体与电介质分界面第十八页，讲稿共八十九页哦2 2、电场强度、电场强度E的衔接条件的衔接条件图1.3.2 在电介质分界面上应用环路定律 分界面两侧分界面两侧E 的切向分量连续。的切向分量连续。以点以点 P P 作为观察点，作一小矩形回路作为观察点，作一小矩形回路(),()

15、,根据根据 则有则有 图1.3.3 分界面上E线的折射在交界面上不存在在交界面上不存在 时，时，E、D满足折射定律。满足折射定律。折射定律折射定律练习练习:看课本看课本P22页例页例1-101-10，并考虑三维情况，并考虑三维情况第十九页，讲稿共八十九页哦因此因此表明表明:在介质分界面上，电位是连续的。在介质分界面上，电位是连续的。3 3、用电位函数、用电位函数 表示分界面上的衔接条件表示分界面上的衔接条件设点设点1 1与点与点2 2分别位于分界面的两侧，其间距为分别位于分界面的两侧，其间距为d,则则 当当 时时表明表明:一般情况下一般情况下 ,电位的导数是不连续的。电位的导数是不连续的。图1

16、.3.4 电位的衔接条件 对于导体与理想介质分界面，用电位对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的衔接条件应是如何表示的衔接条件应是如何呢？呢？第二十页，讲稿共八十九页哦解：忽略边缘效应解：忽略边缘效应图（图（a a）图（图（b b）例例1.3.21.3.2 如图如图(a)与图与图(b b)所示平行板电容器所示平行板电容器,已知已知 和和 ,图图(a)(a)已知极板间电已知极板间电压压U0 ,图图(b)已知极板上总电荷已知极板上总电荷 ,试分别求其中的场度。试分别求其中的场度。（a）（b）图图1.3.5 1.3.5 平行板电容器平行板电容器第二十一页，讲稿共八十九页哦1.4 1.4 静电场边值

17、问题静电场边值问题 唯一性定理唯一性定理1.4.1 1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程泊松方程例例1.4.11.4.1 列出求解区域的微分方程列出求解区域的微分方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 拉普拉斯算子拉普拉斯算子图1.4.1 三个不同媒质区域的静电场第二十二页，讲稿共八十九页哦已知场域边界上各点电位值图图1.4.2 1.4.2 边值问题框图边值问题框图自然自然边界条件边界条件参考点电位 有限值边值问题边值问题微分方程边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条

18、件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即第二十三页，讲稿共八十九页哦边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模拟电荷法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法图1.4.3 边值问题研究方法框图第二十四页，讲稿共八十九页哦例例1.4.21.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为

19、图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源并且在两导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。，试写出该电缆中静电场的边值问题。解：解：根据场分布对称性，确定场域。根据场分布对称性，确定场域。（阴影区域）场的边值问题场的边值问题图1.4.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面第二十五页，讲稿共八十九页哦边界条件为边界条件为积分之，得通解积分之，得通解例例1.4.3设有电荷均匀分布在半径为设有电荷均匀分布在半径为a 的介质球型区域中的介质球型区域中,

20、电荷体密度为电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解解:采用球坐标系采用球坐标系,分区域建立方程分区域建立方程参考点电位参考点电位图1.4.5 体电荷分布的球形域电场 解得解得 第二十六页，讲稿共八十九页哦电场强度电场强度（球坐标梯度公式）（球坐标梯度公式）电位：电位：1.4.3 1.4.3 唯一性定理唯一性定理证明证明：（反证法）：（反证法）唯一性定理为静电场问题的多种解法唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。提供了思路及理论根据。第二十七页，讲稿共八十

21、九页哦1.5 1.5 分离变量法分离变量法1.5.1 1.5.1 直角坐标系中求二维泊松方程：直角坐标系中求二维泊松方程：取试探解取试探解代入式代入式(1)(1)有有设设图1.5.2 双曲函数第二十八页，讲稿共八十九页哦 例例1.5.11.5.1 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为持电位为 ，金属槽截面，金属槽截面为正方形（边长为为正方形（边长为a），试求金属槽），试求金属槽内电位的分布。内电位的分布。解：选定直角坐标系解：选定直角坐标系（D域内）（1）（2）（3）（4）(5）边值问题边值问题图11.5.1 接地金属

22、槽的截面第二十九页，讲稿共八十九页哦3 3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4 4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。第三十页，讲稿共八十九页哦d）比较系数法：比较系数法：当 时，（D域内）当 时，根据经验也可定性判断通解中能否舍去根据经验也可定性判断通解中能否舍去 或或 项。项。注意参看课本中确定系数的另一种方法。注意参看课本中确定系数的另一种方法。第三十一页，讲稿共八十九页哦1.6有限差分法有限差分法 相关的知识相关的知识:1)唯一性定理是解题的根据。唯一性定理是解题的根据。2

23、)解析解解析解vs数值解数值解.1.基本概念基本概念：网格：网格,节点节点,步长步长,离散化。离散化。边值问题：边值问题：第三十二页，讲稿共八十九页哦1 1）选定圆柱坐标）选定圆柱坐标,列出列出边值问题边值问题（1）（2）（3）（4）(5）（6）例例1.5.21.5.2 在均匀电场在均匀电场 中，放置一根中，放置一根半径为半径为a a，介电常数为，介电常数为 的无限长均匀介质的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与圆柱棒，它的轴线与 垂直。柱外是自由垂直。柱外是自由空间空间 。试求圆柱内外电位函数。试求圆柱内外电位函数 和电和电场强度场强度 的分布。的分布。根据根据场分布的对称性场分布的对称性图图1

24、.5.4 1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒均匀电场中的介质圆柱棒第三十三页，讲稿共八十九页哦3 3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当 时，当 时，2 2）分离变量分离变量,设设 代入式（代入式（1 1）得）得或第三十四页，讲稿共八十九页哦根据根据根据 ，比较系数得比较系数得当 时，4 4）利用给定边界条件确定积分常数。）利用给定边界条件确定积分常数。根据根据场分布对称性场分布对称性当 时，通解中不含通解中不含 的奇函数项，的奇函数项，第三十五页，讲稿共八十九页哦解之，得解之，得比较系数法：比较系数法：当 时，得当当 时，时，则最终解则最终解c）由

25、分界面 的衔接条件，得第三十六页，讲稿共八十九页哦 介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行平行。因因 ，所以，所以 。介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场场 。图图1.5.5 1.5.5 均匀外电场中介质均匀外电场中介质圆柱内外的电场圆柱内外的电场 第三十七页，讲稿共八十九页哦 1.6.2 1.6.2 差分格式差分格式 离散化离散化：把偏导数用有限差分代替，对于方程：把偏导数用有限差分代替，对于方程具体表示如下具体表示如下第三十八页，讲稿共八十九页哦显然，显然

26、，h越小上述表达式近似效果越好。把上述越小上述表达式近似效果越好。把上述最后两个式子代到拉普拉斯方程，得最后两个式子代到拉普拉斯方程，得特别地，当四个点中某个特别地，当四个点中某个是边界点时，上述公式变为是边界点时，上述公式变为1.6.1 有限差分的网格分割注注:当当p=q=1时就还原成内点格式。时就还原成内点格式。解差分方程的目的是解出所有节点的值解差分方程的目的是解出所有节点的值.第三十九页，讲稿共八十九页哦3.差分方程的求解差分方程的求解1)联立方程求解联立方程求解(当节点数较少时当节点数较少时)；2)高斯塞德尔迭代法的表达式：高斯塞德尔迭代法的表达式：3)这里这里k表示迭代次数，表示迭

27、代次数，4)注意：注意：5)1)遇到边界点时必须用边界值代替；遇到边界点时必须用边界值代替；6)2)方程的个数等于未知节点的个数方程的个数等于未知节点的个数.7)3)设置一个合适的停止条件设置一个合适的停止条件:8)第四十页，讲稿共八十九页哦(2)逐次超松弛法逐次超松弛法是高斯塞德尔迭代法的加速收敛的版本。是高斯塞德尔迭代法的加速收敛的版本。基本格式如下：基本格式如下：是一个使用者确定的因子，是一个使用者确定的因子，。具体的流程图如下。具体的流程图如下。注意：注意：1)确定好各点的初值，初值越好收敛的越快。确定好各点的初值，初值越好收敛的越快。2)注意第二个格式的建立理由。注意第二个格式的建立

28、理由。第四十一页，讲稿共八十九页哦启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求 所有内点 相邻二次迭代值的最大误差是否小于打印 停机NY图1.6.2 迭代解程序框图第四十二页，讲稿共八十九页哦4.例题例题例题例题117应用有限差分法求静电场边值问题应用有限差分法求静电场边值问题.第四十三页，讲稿共八十九页哦解解:取一致步长取一致步长h=5，因此得到三个节点，根据公，因此得到三个节点，根据公 式式1-70得到这三个节点的三个差分方程为得到这三个节点的三个差分方程为 迭代形式为迭代形式为:设置迭代误差，设置迭代误差，设置初次迭代值设置初次

29、迭代值经过六次迭代收敛经过六次迭代收敛.当步长当步长h=2.5=2.5时，有时，有2121个节点，经过个节点，经过3232次叠次叠代收敛代收敛.此时需要此时需要2121个差分方程。个差分方程。第四十四页，讲稿共八十九页哦1.7 1.7 镜像法与电轴法镜像法与电轴法边值问题边值问题：（导板及无穷远处）（导板及无穷远处）（除（除q 所在点外的区域）所在点外的区域）（S S 为包围为包围 q 的闭合面）的闭合面）1.1.平面导体的镜像平面导体的镜像 镜像法镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的虚设电荷的个数、大小与位置使场

30、的解答满足唯一性定理。个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。图1.7.1 平面导体的镜像 上半场域边值问题上半场域边值问题：（除（除q 所在点外的区域）所在点外的区域）（导板及无穷远处）（导板及无穷远处）（S S 为包围为包围q 的闭合面）的闭合面）讨论讨论:请看课本请看课本1-7-11-7-1所示的问题所示的问题.第四十五页，讲稿共八十九页哦（方向指向地面方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为整个地面上感应电荷的总量为例例1.7.11.7.1 求空气中一个点电荷求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。在地面引起的感应电荷分布情况。解解:设点电荷设点电荷 离地面高度为离地面高度

31、为h，则则图1.7.2 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布第四十六页，讲稿共八十九页哦2.2.导体球面镜像导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1)1)边值问题边值问题：（除（除q点外的导体球外空间点外的导体球外空间)图1.7.3 点电荷对接地导体球面的镜像第四十七页，讲稿共八十九页哦由由叠加原理叠加原理，接地导体球外任一点，接地导体球外任一点 P 的电位与电场分别为的电位与电场分别为图1.7.5 点电荷位于接地导体球附近的场图 镜像电荷不能放在当前求解的镜像电荷不能放在当前求解的场域内。场域内。

32、镜像电荷等于负的感应电荷镜像电荷等于负的感应电荷图1.7.4 接地导体球外的电场计算第四十八页，讲稿共八十九页哦在接地球基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置在接地球基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置解解:边值问题：边值问题：(除除 q点外的导体球外空间）点外的导体球外空间）(S 为球面面积为球面面积 )例例1.7.21.7.2 试计算不接地金属球附近放置一点电荷试计算不接地金属球附近放置一点电荷 时的电场分布。时的电场分布。任一点电位及电场强度为：任一点电位及电场强度为：图1.7.6 点电荷对不接地金属 球的镜像感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷感应电荷分布及球对称性，在球内有两个

33、等效电荷。正负镜像电荷绝对值相等。正负镜像电荷绝对值相等。正镜像电荷只能位于球心。正镜像电荷只能位于球心。第四十九页，讲稿共八十九页哦 试确定用镜像法求解下列问题时，其试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置镜像电荷的个数，大小与位置?补充题补充题：图1.7.8 点电荷对导体球面的镜像图1.7.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图 不接地导体球面上的正负感应电荷不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷的绝对值等于镜像电荷 吗吗?为什么？为什么？第五十页，讲稿共八十九页哦3.3.不同介质分界面的镜像不同介质分界面的镜像边值问题边值问题：(下半空间下半空间)(除除 q

34、点外的上半空间点外的上半空间)图图1.7.9 1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像点电荷对无限大介质分界面的镜像和和第五十一页，讲稿共八十九页哦 中的电场是由中的电场是由 决定，其有效区在下半空间，决定，其有效区在下半空间，是等效替代自由电荷与极化电荷是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。的作用。即即图图1.7.10 1.7.10 点电荷点电荷 位于不同介质位于不同介质平面上方的场图平面上方的场图 中的电场是由中的电场是由 与与 共同产生，其有效区在上半空间，共同产生，其有效区在上半空间，是等效替代极是等效替代极化电荷的影响。化电荷的影响。图图1.7.11 1.7.11 点电荷点电荷 与与

35、 分别置于分别置于 与与 区域中区域中 为求解图示为求解图示 与与 区域的区域的电场，试确定镜像电荷的个数、电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置。大小与位置。第五十二页，讲稿共八十九页哦1.7.2 1.7.2 电轴法电轴法边值问题：边值问题：（导线以外的空间）（导线以外的空间）根据唯一性定理，寻找等效线电荷根据唯一性定理，寻找等效线电荷电轴。电轴。1.1.问题提出问题提出1.7.12 长直平行圆柱导体传输线 用置于电轴上的等效线电荷用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场从而求得电场的方法的方法,称为电轴法。称为电轴法。第五十三页，讲稿共八

36、十九页哦2.2.两根细导线产生的电场两根细导线产生的电场以以 y轴为参考点轴为参考点,C=0 0,则则 当当 K 取不同数值时取不同数值时,就得到一族偏心圆。就得到一族偏心圆。图图1.7.13 1.7.13 两根细导线的电场计算两根细导线的电场计算R、d、b 三者之间的关系满足三者之间的关系满足 等位线方程为：等位线方程为：圆心坐标圆心坐标圆半径圆半径让让R=a并计算出并计算出 d、则则b值为值为 第五十四页，讲稿共八十九页哦根据根据 及及E 线的微分方程线的微分方程 ，得得E线方程线方程为为 图图1.7.14 1.7.14 两细导线的场图两细导线的场图图1.7.15 平行圆柱导体传输线电场的

37、计算第五十五页，讲稿共八十九页哦例例1.7.41.7.4 已知两根不同半径已知两根不同半径,相互平行相互平行,轴线距离为轴线距离为d d 的带电长直圆柱导体。的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。试决定电轴位置。注意注意：1 1）参考电位的位置参考电位的位置；2 2）适用区域。适用区域。例例1.7.51.7.5 试确定图示偏心电缆的试确定图示偏心电缆的电轴位置电轴位置。解：解：确定图图1.7.16 1.7.16 不同半径传输线的电轴位置不同半径传输线的电轴位置图1.7.17 偏心电缆电轴位置第五十六页，讲稿共八十九页哦 例例1.7.61.7.6 已知一对半径为已知一对半径为 a,相距为相距为 d

38、 的长直圆柱导体传输线之间电压为的长直圆柱导体传输线之间电压为 ，试求，试求圆柱导体间电位的分布。圆柱导体间电位的分布。解得解得图图1.7.18 1.7.18 电压为电压为U U0 0的传输线电场的计算的传输线电场的计算 a)确定电轴的位置确定电轴的位置第五十七页，讲稿共八十九页哦4 4.镜像法（电轴法）小结镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的理论基础理论基础是静电场唯一性定理；是静电场唯一性定理；镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的实质实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未 知电荷的知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；分布，使计算场域

39、为无限大均匀介质；镜像法（电轴法镜像法（电轴法)）的）的关键关键是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），是确定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置；大小及位置；注意：注意：应用镜像法（电轴法）解题时，镜像电荷（电轴）只能放在待求场域应用镜像法（电轴法）解题时，镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。以外的区域。叠加时叠加时，要注意场的适用区域。，要注意场的适用区域。5.5.镜像法工程制图镜像法工程制图第五十八页，讲稿共八十九页哦1.8.2 1.8.2 多导体系统、部分电容多导体系统、部分电容中的其余带电体，与外界无任何联系，即中的其余带电体，与外界无任何联系，即 静电独立系统静电独立系

40、统D线从这个系统中的带电体发出，并线从这个系统中的带电体发出，并 终止于该系统终止于该系统 线性、线性、多导体多导体(三个以上导体三个以上导体)组成的系统；组成的系统；部分电容概念部分电容概念图图1.8.2 1.8.2 三导体静电独立系统三导体静电独立系统典型例子典型例子:多极管多极管(等效电容等效电容););三相输电线三相输电线;考虑大地影响时的两相输电线等等考虑大地影响时的两相输电线等等.第五十九页，讲稿共八十九页哦1.1.部分电容的预备知识部分电容的预备知识 1)普通物理学中电容计算：普通物理学中电容计算：单位单位:F(法法)2)平行板电容器、圆柱形及球形电容器：平行板电容器、圆柱形及球

41、形电容器：在在(c)中中 ,得到得到孤立导体球孤立导体球的电容的电容3)3)n 个电容器串联：个电容器串联：4)4)n个电容器并联：个电容器并联：注意：注意：电容与电量和电压无关电容与电量和电压无关,但可用电压来度量但可用电压来度量.第六十页，讲稿共八十九页哦例例.考虑三个导体组成的静电独立系统考虑三个导体组成的静电独立系统:设三个导体电量分别是设三个导体电量分别是，则它们在，则它们在 A点产生的电位分别是点产生的电位分别是:把点把点A A 分别取在三个导体上得分别取在三个导体上得第六十一页，讲稿共八十九页哦图图电位系数的基本性质电位系数的基本性质基本性质说明基本性质说明一般地电位系数具有下面

42、性质：一般地电位系数具有下面性质：(1)(2)(3)(4)仅与导体系统的物理特性有关；仅与导体系统的物理特性有关；第六十二页，讲稿共八十九页哦以此类推以此类推(n+1)个多导体系统只有个多导体系统只有n n个电位线性独立方程个电位线性独立方程，即，即电位系数，电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；表明各导体电荷对各导体电位的贡献；自有电位系数自有电位系数，表明导体，表明导体上电荷对导体电位的贡献电位的贡献互有电位系数互有电位系数，表明导体，表明导体上的电荷对导体上的电荷对导体电位的贡献电位的贡献写成矩阵形式为写成矩阵形式为（非独立方程非独立方程）注：的值可以通过给定各导体电荷的值可以通过

43、给定各导体电荷 ,计算各导体的电位计算各导体的电位 而得。而得。第六十三页，讲稿共八十九页哦例例如图所示地面附近有两个半径为如图所示地面附近有两个半径为R1的带电小球的带电小球,电荷量分别电荷量分别为为q1和和q2.选择地面为零号导体选择地面为零号导体,求该系统的电位系数求该系统的电位系数.解解:这是三导体组成一个静电独立系统这是三导体组成一个静电独立系统.将地面影响用镜像电荷代替。将地面影响用镜像电荷代替。设一般关系为设一般关系为地面地面:0:0号导体号导体令令第六十四页，讲稿共八十九页哦令 可得解题示意图解题示意图第六十五页，讲稿共八十九页哦2.2.一般地一般地,已知带电导体的电位，求电荷

44、和感应系数已知带电导体的电位，求电荷和感应系数静电感应系数静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；，表示导体电位对导体电荷的贡献；自有感应系数自有感应系数，表示导体，表示导体 电位对导体电位对导体 电荷的贡献；电荷的贡献；互有感应系数互有感应系数，表示导体，表示导体电位对导体电位对导体电荷的贡献。电荷的贡献。通常，通常，的值可以通过给定各导体的电位的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电荷，测量各导体的电荷 而而得。得。第六十六页，讲稿共八十九页哦 以三电位系统为例，解电位系数构成的方程组得以三电位系统为例，解电位系数构成的方程组得 称称 为为自有感应系数；自有感应系数；为互有感应系

45、数为互有感应系数;它们具有性质它们具有性质(说明在后面图示说明在后面图示)：(1);(2)(3)第六十七页，讲稿共八十九页哦图图4-2感应系数的说明感应系数的说明第六十八页，讲稿共八十九页哦 例如已知导体间的电压，对上述三导体系统改写例如已知导体间的电压，对上述三导体系统改写:自有部分电容自有部分电容,:互有部分电容互有部分电容；3.3.已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容（矩阵形式矩阵形式）第六十九页，讲稿共八十九页哦 式中：式中：C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；（互有部分电容）（互有部

46、分电容）（自有部分电容）（自有部分电容）部分电容性质部分电容性质:所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的的 值有关；值有关；互有部分电容互有部分电容 ，即即为对称阵；为对称阵；(n+1 1)个导体静电独立系统中，共应有个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容；个部分电容；部分电容是否为零部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。取决于两导体之间有否电力线相连。第七十页，讲稿共八十九页哦 工程上，常引入工程上，常引入 等效电容等效电容的概念，它是指在多导体静电独立系统中，把两导体作的概念，它是指在多导体静

47、电独立系统中，把两导体作为电容器的两个极板，设在这两个电极间加上已知电压为电容器的两个极板，设在这两个电极间加上已知电压 ,极板上所带电荷为极板上所带电荷为 ,则把比值则把比值叫做这两导体的叫做这两导体的等效电容或工作电容等效电容或工作电容等效电容或工作电容等效电容或工作电容。便于测量便于测量,易于计算，易于计算，综上所述，多导体系统电荷与电位间关系，可以通过三套系数，即综上所述，多导体系统电荷与电位间关系，可以通过三套系数，即来表示。三者相比，来表示。三者相比，C 可通过可通过计计算，也可直接测定，其主要优点是可以将场的概念和路的概念联系起来，算，也可直接测定，其主要优点是可以将场的概念和路

48、的概念联系起来，即 静电场问题静电电容的网络问题。图1.8.3 部分电容与电容网络第七十一页，讲稿共八十九页哦例例1-19计算考虑大地影响时两线传输系统的各个部分电容，这里设两计算考虑大地影响时两线传输系统的各个部分电容，这里设两个输电线距离地面的高度分别为个输电线距离地面的高度分别为 ,线间的距离为线间的距离为 ,导线的半导线的半径为径为 ，且，且 .如图所示如图所示.思考思考 1 1.两根无限长的长直平行导线之间的电位分布？两根无限长的长直平行导线之间的电位分布？答答:课本课本p44,公式公式(1-85):(1-85):思考思考2.如果不考虑大地的影响，如果不考虑大地的影响，答答:则相应的

49、两导线系统的电容则相应的两导线系统的电容如何求？如何求？当考虑大地影响时，设两根电线当考虑大地影响时，设两根电线各自带电为各自带电为 1，2,设一般关系为设一般关系为第七十二页，讲稿共八十九页哦利用镜像法，并设电轴与导线的几何轴线相利用镜像法，并设电轴与导线的几何轴线相重合重合.分别独立地求解分别独立地求解和和,得得重复电容和电感的公式的推导过程，可得重复电容和电感的公式的推导过程，可得a求求等效电容等效电容(两导体的两导体的等效电容等效电容是指从这两个导体是指从这两个导体看进去的入端电容，看图看进去的入端电容，看图)，第七十三页，讲稿共八十九页哦 按照等效电容的定义，得按照等效电容的定义，得

50、该式说明，该式说明，是是Ce的一部分的一部分,是计算等效电容的基础是计算等效电容的基础.思考：思考：1)1号导体与号导体与0号导体之间的等效电容，号导体之间的等效电容，并画出等效电路图并画出等效电路图2)求图中求图中0,2号导体的等效电号导体的等效电容容第七十四页，讲稿共八十九页哦 图图1-7等效电容计算等效电容计算例例1-20已已知知两两芯芯对对称称的的屏屏蔽蔽电电缆缆如如图图.测测得得导导体体1、2间间的的等等效效电电容容为为0.018,导导体体1、2相相连连时时和和外外壳壳间间的的等等效效电电容容为为，求各部分电容求各部分电容.联立上两式可求部分联立上两式可求部分电容电容第七十五页，讲稿