场论与张量基本知识.ppt
《场论与张量基本知识.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《场论与张量基本知识.ppt(51页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、场论与张量基本知识现在学习的是第1页,共51页1.1 场的定义及分类场的定义及分类 一一般般情情况况下下流流体体的的各各种种物物理理量量(如如温温度度、压压力力和和速速度度等等)是是沿沿空空间间变变化化的的,用用场场论论的的符符号和方法描述这些变化有很大的优点:号和方法描述这些变化有很大的优点:n 形式简洁;形式简洁;n 与坐标系无关;与坐标系无关;n 每一符号都有明确的物理内涵。每一符号都有明确的物理内涵。现在学习的是第2页,共51页1.1.1 标量、向量与张量标量、向量与张量 标标量量:是是一一维维的的量量,它它只只须须一一个个数数量量及及单单位位来来表表示示,它它独独立立于于坐坐标标系系
2、的的选选择择。流流体体的温度、密度、浓度等均是标量。的温度、密度、浓度等均是标量。现在学习的是第3页,共51页1.1.1 标量、向量与张量标量、向量与张量 向向量量:是是三三维维的的量量,它它不不仅仅有有数数量量的的大大小小,而而且且有有指指定定的的方方向向,它它必必须须由由某某一一空空间间坐坐标标系系的的3个个坐坐标标轴轴方方向向的的分分量量来来表表示示,与与坐坐标标系系的选择密切相关。的选择密切相关。流体质点的空间位置向量流体质点的空间位置向量 xx1 ix2 jx3 k流体质点的流速向量流体质点的流速向量 uu1 iu2 ju3 k (i、j、k是三个坐标方向的单位向量是三个坐标方向的单
3、位向量)现在学习的是第4页,共51页1.1.1 标量、向量与张量标量、向量与张量 张张量量:三三维维空空间间中中的的二二阶阶张张量量是是一一个个九九维维的的量量,必必须须用用9个分量才能完整地表示一个二阶张量。个分量才能完整地表示一个二阶张量。流流体体力力学学中中常常用用的的二二阶阶张张量量:应应力力张张量量、变变形形速速率率张张量量等。等。在三维空间中,在三维空间中,n阶张量由阶张量由3n个分量组成。个分量组成。扩展扩展:标量为零阶张量,向量为一阶张量。标量为零阶张量,向量为一阶张量。现在学习的是第5页,共51页现在学习的是第6页,共51页1.1.2 场场 在在空空间间中中的的某某个个区区域
4、域内内的的每每一一点点都都对对应应着着某某物物理理量量的的一一个个确确定定的的值值,则则称称在在这这个个空空间区域上确定了该物理量的一个场。间区域上确定了该物理量的一个场。标标量量场场:空空间间区区域域D的的每每一一点点M(x,y,z)都都对对应应于于一一个个数数量量值值 (x,y,z),就就称称它它们们在在此此空间区域空间区域D上构成一个标量场。上构成一个标量场。例例如如:温温度度场场T(x,y,z)、密密度度场场(x,y,z)等都是标量场。等都是标量场。现在学习的是第7页,共51页1.1.2 场场 向向量量场场:空空间间区区域域D的的每每一一点点M(x,y,z)都都对对应应于于一一个个向向
5、量量值值A(x,y,z),就称它们在此空间区域,就称它们在此空间区域D上构成一个向量场。上构成一个向量场。例如:速度场例如:速度场u(x,y,z)、加速度场、加速度场a(x,y,z)等都是向量场。等都是向量场。张张量量场场:空空间间区区域域D的的每每一一点点M(x,y,z)都都对对应应于于一一个个张张量量值值B(x,y,z),就称它们在此空间区域,就称它们在此空间区域D上构成一个张量场。上构成一个张量场。例例如如:应应力力场场T(x,y,z)、变变形形速速率率场场D(x,y,z)等等都都是是张张量量场。场。现在学习的是第8页,共51页1.1.2 场场 在数学上研究的场对应在流体力学中称为在数学
6、上研究的场对应在流体力学中称为流流场场:描描述述流流体体流流动动的的各各种种标标量量场场、向向量量场场及及张张量量场场的的总和。总和。流场可以分为流场可以分为定定常常场场:场场内内物物理理量量不不依依赖赖于于时时间间,即不随时间改变的场。即不随时间改变的场。非定常场:非定常场:均均匀匀场场:同同一一时时刻刻场场内内各各点点物物理理量量的的值都相等。值都相等。不均匀场:不均匀场:还可以分为还可以分为现在学习的是第9页,共51页1.2 梯度、散度和旋度及其基本运算梯度、散度和旋度及其基本运算 1.2.1 梯度:标量场不均匀性的量度梯度:标量场不均匀性的量度 在在标标量量场场 (r,t)中中任任取取
7、一一点点M,过过M点点作作曲曲线线s,n是是曲曲线线s在在M点点处处的的切切线线方方向,邻近点为向,邻近点为M,若以下极限存在,若以下极限存在则则称称其其为为标标量量场场 (r,t)在在M点点处处沿沿n方方向向的变化率。的变化率。sMMn现在学习的是第10页,共51页1.2.1 梯度:标量场不均匀性的量度梯度:标量场不均匀性的量度 由由于于曲曲线线s是是任任意意的的,n方方向向随随曲曲线线s变变化化。过过M点点所所有有可可能能的的方向中存在一个方向中存在一个 的变化率最大的方向。的变化率最大的方向。梯梯度度(gradient)是是一一个个向向量量,它它的的方方向向即即为为 变变化化率率最最大大
8、的的方方向向,其其大大小小就就是是这这个个最最大大变变化化率率的的数数值值。梯梯度度是是标标量量场场不不均匀性的量度,记为均匀性的量度,记为grad 。在直角坐标系中。在直角坐标系中 是是哈哈密密顿顿算算子子(Hamilton operator),读读作作nabla。它它具具有有向量与微分的双重性质。向量与微分的双重性质。现在学习的是第11页,共51页现在学习的是第12页,共51页现在学习的是第13页,共51页在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量现在
9、学习的是第14页,共51页1.2.1 梯度:标量场不均匀性的量度梯度:标量场不均匀性的量度 物理量物理量 沿任一方向沿任一方向(其单位向量为其单位向量为n0)的变化率为的变化率为 (数量积、点乘数量积、点乘)两个向量的点乘是标量两个向量的点乘是标量 (i=x,y,z)此此处处用用到到了了爱爱因因斯斯坦坦求求和和约约定定:同同一一项项中中下下标标i重重复复出出现现两两次次,表表示示须须将将所所有有这这个个下下标标的的取取值值各各项项相相加加,这种下标称为这种下标称为重复指标重复指标或或哑标哑标。现在学习的是第15页,共51页1.2.1 梯度:标量场不均匀性的量度梯度:标量场不均匀性的量度 梯度基
10、本运算法则梯度基本运算法则:(C为常数)现在学习的是第16页,共51页1.2.2 向量场的散度向量场的散度(1)向量向量A通过通过S面的通量面的通量 在在向向量量场场A(r,t)内内取取一一曲曲面面S(可可以以是是封封闭闭的的,也也可可以以是是不不封封闭闭的的),在在S面面上上取取一一面面积积元元dS,在在dS上上任任取取一一点点M,作作S面面在在M点点的的法法线线。若若曲曲面面是是封封闭闭的的,则则通通常常取取外外法法线线为为正正方方向向,若若曲曲面面不不封封闭闭,则则可可约约定定取取某某一一方向为法线正方向。方向为法线正方向。MSdsnA现在学习的是第17页,共51页1.2.2 向量场的散
11、度向量场的散度(1)向量向量A通过通过S面的通量面的通量 图中图中n是是S面上法线方向的单位向量,面上法线方向的单位向量,A表示表示M点的向量,则点的向量,则是是A在在S面法线方向面法线方向n的投影。的投影。定定义义 AndS为为向向量量A通通过过面面积积元元dS的的通通量量,该该通通量量沿沿曲曲面面S的的积分积分 称为向量称为向量A通过曲面通过曲面S的通量。的通量。定义面积向量定义面积向量 ,则上述通量也可表示为,则上述通量也可表示为如果如果S是封闭曲面,则向量是封闭曲面,则向量A通过曲面通过曲面S的通量可写成的通量可写成MSdsnA现在学习的是第18页,共51页1.2.2 向量场的散度向量
12、场的散度(2)向量向量A的散度的散度 在在向向量量场场A中中任任取取一一点点M,包包围围M作作一一微微小小体体积积V,其其界界面面的的表表面面积积为为S。考考虑虑向向量量A通通过过S面面的的通通量量,除除以以体体积积V,令令体体积积V向向M点无限收缩,得极限点无限收缩,得极限 若若此此极极限限存存在在,则则称称之之为为向向量量场场A在在点点M处处的的散散度度(divergence),记记为为divA。向向量量A的的散散度度是是对对单单位位体体积积而而言言向向量量A通通过过微微小小体体积积V的的界界面面S的的通通量量,它它是是一一个个不不依依赖赖于于坐坐标标系系选取的数量,因此是一个标量。散度选
13、取的数量,因此是一个标量。散度divA组成一个标量场。组成一个标量场。现在学习的是第19页,共51页1.2.2 向量场的散度向量场的散度(2)向量向量A的散度的散度 在直角坐标系中,在直角坐标系中,AAx iAy jAz k散散度度等等于于零零(divA0)的的向向量量场场称称为为无无源源场场或或管管式式场场。div u0是是不不可可压压缩缩流流体体流流动动的的连连续续性性方方程程。散散度基本运算法则度基本运算法则:现在学习的是第20页,共51页1.2.3 向量场的旋度向量场的旋度 (1)向量向量A的环量的环量 在在向向量量场场A(r,t)内内取取一一曲曲线线L(可可以以是是封封闭闭的的,也也
14、可可以以是是不封闭的不封闭的),向量,向量A沿该曲线作线积分沿该曲线作线积分称称该该线线积积分分为为向向量量A沿沿曲曲线线L的的环环量量。若若是是L封封闭闭曲曲线线,则称为向量则称为向量A沿封闭曲线沿封闭曲线L的环量。的环量。现在学习的是第21页,共51页1.2.3 向量场的旋度向量场的旋度(2)向量向量A的旋度的旋度 在在向向量量场场A中中任任取取一一点点M,过过M点点取取任任一一方方向向n,以以n为为法法向向作作一一微微小小面面积积S,其其边边界界为为l。若若 以以下下极极限存在限存在 则则称称之之为为向向量量场场A在在点点M处处沿沿n方方向向上上的的环环量量面面密密度。度。在在过过M点点
15、的的所所有有方方向向中中存存在在一一个个环环量量面面密密度度最最大大的的方方向。向。MS现在学习的是第22页,共51页1.2.3 向量场的旋度向量场的旋度(2)向量向量A的旋度的旋度 旋旋度度(curl)是是一一个个向向量量,它它的的方方向向即即为为环环量量面面密密度度最最大大的的方方向向,其大小就是这个最大的环量面密度的数值,记为其大小就是这个最大的环量面密度的数值,记为rot A或或curl A。在直角坐标系中在直角坐标系中旋旋度度是是哈哈密密顿顿算算子子 与与向向量量A的的向向量量积积(即即叉叉乘乘)。两两个个向向量量u和和v的的叉叉乘乘为为一一个个向向量量w,其其大大小小为为wuv s
16、in (为为u与与v的的夹夹角角),方方向向垂垂直直于于u与与v两两个个向向量量形形成成的的平平面面,按按右右手手定定则则确确定定其其指指向向,wuv。按照这一规则,有:。按照这一规则,有:uv-vu,ijk。现在学习的是第23页,共51页1.2.3 向量场的旋度向量场的旋度 (2)向量向量A的旋度的旋度 旋旋度度等等于于零零(rot A0)的的向向量量场场称称为为无无旋场。旋场。rot u0代表一无旋流场。代表一无旋流场。旋度基本运算法则旋度基本运算法则:现在学习的是第24页,共51页1.2.4 高斯高斯(Gauss)公式及其推广公式及其推广 数数学学中中的的高高斯斯定定理理(Gausss
17、theorem)将将体体积积积积分分与与面面积积积积分分联联系系起起来来,在在流流体体力力学学中中,可可以以利利用用这这一一定理将定理将通量与散度通量与散度联系在一起。联系在一起。令令V为为一一封封闭闭曲曲面面所所包包围围的的体体积积,在在曲曲面面上上考考虑虑一一微微小小面面积积dS,其其外外法法线线方方向向为为n,dSndS是是一一向向量量(其其大大小小为为dS,方方向向为为n),令令A表表示示一一个个标标量量场场、向向量量场场或或张张量场,则高斯公式为量场,则高斯公式为 现在学习的是第25页,共51页1.2.4 高斯高斯(Gauss)公式及其推广公式及其推广 高斯公式的推广高斯公式的推广形
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 场论 张量 基本知识
限制150内