正态分布的数字特征幻灯片.ppt

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1、第1页，共19页，编辑于2022年，星期六回顾连续型随机变量的数学期望、方差回顾连续型随机变量的数学期望、方差设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),X的的数学期望可按下面的公式计算数学期望可按下面的公式计算X的方差可按的方差可按或利用简便公式或利用简便公式第2页，共19页，编辑于2022年，星期六因因 为为 X ,从从 而而 故故正态分布的期望正态分布的期望第3页，共19页，编辑于2022年，星期六即即E(X)=因因为为被被积积函函数数为奇函数为奇函数第4页，共19页，编辑于2022年，星期六并注意到并注意到置换积分变量置换积分变量分部分部积分积分公式公

2、式.正态分布的方差正态分布的方差可得可得第5页，共19页，编辑于2022年，星期六从而从而由此可见，如果随机变量由此可见，如果随机变量X服从正态分布，服从正态分布，则它的概率密度完全由数学期望与标准差或则它的概率密度完全由数学期望与标准差或者方差来决定。者方差来决定。所以，正态分布的参数所以，正态分布的参数 就是随机变量就是随机变量X的数的数学期望学期望,正态分布的另一参数正态分布的另一参数 就是随机变量就是随机变量X的标准差的标准差第6页，共19页，编辑于2022年，星期六置换积分变量置换积分变量正态分布的正态分布的k阶中心矩阶中心矩k k 阶中心阶中心矩的定义矩的定义第7页，共19页，编辑

3、于2022年，星期六所以当所以当k为奇数时，因为被积函数是奇函数为奇数时，因为被积函数是奇函数.当当k为偶数时，因为被奇函数是偶函数为偶数时，因为被奇函数是偶函数第8页，共19页，编辑于2022年，星期六特别是，正态分布特别是，正态分布的四阶中心矩的四阶中心矩P83P83置换积分变量置换积分变量第9页，共19页，编辑于2022年，星期六例例 设随机变量设随机变量X服从服从N(0,1)，求随机变量函数，求随机变量函数Y=X2的数学期望和方差的数学期望和方差第10页，共19页，编辑于2022年，星期六解解 本题可以用三种方法计算数学期望本题可以用三种方法计算数学期望 E(Y)法法1 用用4.1节例

4、节例2求得的求得的Y的概率密度直接用定义，因的概率密度直接用定义，因为为第11页，共19页，编辑于2022年，星期六所以所以第12页，共19页，编辑于2022年，星期六置换积分变量置换积分变量第13页，共19页，编辑于2022年，星期六这恰好是这恰好是X的二阶中心矩的二阶中心矩(=0)，因此，因此可以直接计算法法2 由随机变量函数的期望定义，我们有由随机变量函数的期望定义，我们有第14页，共19页，编辑于2022年，星期六法法3：由方差的简化公式：由方差的简化公式 知知 D(X)=E(X2)-E(X)2 E(X2)=D(X)+E(X)2 E(X)=0，D(X)=1而而E(Y)=E(X2)=1所

5、以所以第15页，共19页，编辑于2022年，星期六法法1 由随机变量函数的期望定义可得由随机变量函数的期望定义可得下面计算下面计算Y的方差，我们利用方差的简化公式的方差，我们利用方差的简化公式 D(Y)=E(Y2)-E(Y)2 关键在于计算关键在于计算E(Y2)，下面用两种方法来计算它下面用两种方法来计算它第16页，共19页，编辑于2022年，星期六置换积分变量置换积分变量第17页，共19页，编辑于2022年，星期六法法2 由由k阶中心矩，因为阶中心矩，因为 所以所以从而从而所以所以第18页，共19页，编辑于2022年，星期六小结：小结：这一讲，我们介绍了正态分布的数学期这一讲，我们介绍了正态分布的数学期望，方差和望，方差和k阶中心矩。我们知道了：如果随机阶中心矩。我们知道了：如果随机变量变量X服从正态分布，则它的概率密度完全有数服从正态分布，则它的概率密度完全有数学期望与标准差或者方差来决定。并且我们通过学期望与标准差或者方差来决定。并且我们通过一个例题展示了求期望和方差的方法一个例题展示了求期望和方差的方法第19页，共19页，编辑于2022年，星期六