微分中值定理 (2).ppt

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1、关于微分中值定理关于微分中值定理(2)现在学习的是第1页，共33页2Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理小结小结 思考题思考题 作业作业Chauchy中值定理中值定理3.1 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用推广泰泰勒勒公公式式(第第三三节节)现在学习的是第2页，共33页3 本节的几个定理都来源于下面的明显的本节的几个定理都来源于下面的明显的在一条光滑的平面曲线段在一条光滑的平面曲线段AB上上,至少有至少有与连接此曲线两端点的弦与连接此曲线两端点的弦平行平行.几何事实几何事实:一点处的切线一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处

2、有不垂直于连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴轴的切线的切线.有水平的切线有水平的切线现在学习的是第3页，共33页4Rolle定理定理(1)(2)(3)罗尔罗尔 Rolle,(法法)1652-1719 使得使得如如,一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理现在学习的是第4页，共33页5物理解释物理解释:变速直线运动在折变速直线运动在折返点处返点处,瞬时速度等瞬时速度等于零于零.几何解释几何解释:现在学习的是第5页，共33页6Fermat引理引理 费马费马 Fermat,(法法)1601-1665 有定义有定义,如果对如果对 有有 那么那么内内的某邻域的某邻域在点在点设函数设函数)()(00

3、xUxxf,)(0存在存在且且xf 函数导数为函数导数为0的点也的点也称为称为驻点、稳定点驻点、稳定点或或临界点临界点。现在学习的是第6页，共33页7Rolle定理定理(1)(2)(3)使得使得证证 所以最值不可能同时在端点取得所以最值不可能同时在端点取得.使使有有由由 Fermat引理引理,现在学习的是第7页，共33页8(1)定理条件不全具备定理条件不全具备,注注结论不一定成立结论不一定成立.Rolle定理定理(1)(2)(3)使得使得1,0,)(=xxxf这三个条件只是充分条件，而非必要条件这三个条件只是充分条件，而非必要条件(2)罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数罗尔定理的结论是在

4、开区间内至少有一使导数等等0的点的点,有的函数这样的点可能不止一个有的函数这样的点可能不止一个.现在学习的是第8页，共33页9例例证证(1)(2)定理的假设条件满足定理的假设条件满足结论正确结论正确验证验证Rolle定理的正确性定理的正确性.Rolle定理肯定了定理肯定了 的存在性的存在性,一般没必要知道一般没必要知道究竟等于什么数究竟等于什么数,只要知道只要知道 存在即可存在即可.,)2,1(内可导内可导在在-现在学习的是第9页，共33页10例例证证 零点定理零点定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.(1)存在性存在性现在学习的是第10页，共33页11(2)唯一性唯一性对可导函

5、数对可导函数 f(x),f(x)=0的两实根之间的两实根之间,在方程在方程 的一个实根的一个实根.Rolle定理还指出定理还指出,至少存在方程至少存在方程满足满足Rolle定理的条件定理的条件.矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!现在学习的是第11页，共33页12例例.试证方程试证方程分析分析注意到注意到:现在学习的是第12页，共33页13证证设设且且 Rolle定理定理即即试证方程试证方程现在学习的是第13页，共33页14Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理现在学习的是第14页，共33页15注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange(法法)1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中

6、值定理(1)(2)使得使得二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba;),(内可导内可导在开区间在开区间baMean Value Theorem现在学习的是第15页，共33页16证证作作辅助函数辅助函数由此得由此得Lagrange中值公式且且易知易知微分中值定理现在学习的是第16页，共33页17 微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧为定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧为“最有最有价值定理价值定理”（MVT）。）。Mean Value Theorem它表

7、明了函数在两点处的函数值它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有在微分学中占有极重要的地位极重要的地位.与导数间的关系与导数间的关系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数尤其可利用它研究函数现在学习的是第17页，共33页18几何解释几何解释:物理解释物理解释:某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在 t=a 到t=b 的时间段内,连续运动的物体至少会在现在学习的是第18页，共33页19Lagrange公式公式可以写成下面的各种形式可以写成下面的各种形式:它表达了函数增量和某点的它表达了函数增量和

8、某点的注注注注但是增量、但是增量、这是十分方便的这是十分方便的.由由(3)式看出式看出,导数之间的直接关系导数之间的直接关系.导数是个等式关系导数是个等式关系.Lagrange中值定理又称中值定理又称Lagrange中值公式又称中值公式又称有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.现在学习的是第19页，共33页20推论推论 例例证证由由推论推论现在学习的是第20页，共33页21例例 试证明下列不等式试证明下列不等式(1)设设则则f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，内可导，由拉格朗日定理得由拉格朗日定理得由于由于故故证证现在学习的是第21页，共33页22在在(0,x

9、)（或（或(x,0)）内可导）内可导.即即(介于介于0与与x之间之间).则则 f(t)在在0,x（或（或x,0）上连续，）上连续，(2)令令f(t)=e t,于是，于是，现在学习的是第22页，共33页23柯西 Cauchy(法)1789-1859Chauchy中值定理中值定理(1)(2)使得使得三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理现在学习的是第23页，共33页24这两个这两个错错 !柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗?不一定相同不一定相同x x现在学习的是第24页，共33页25 前面对前面对Lagrange中值定理的证明中值定理

10、的证明,构造了构造了 现在对现在对两个两个给定的函数给定的函数 f(x)、F(x),构构造造即可证明即可证明Cauchy定理定理.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数 分析分析上式写成上式写成 用用类类比比法法),(),()()()(bafabafbf -=-x xx x现在学习的是第25页，共33页26Cauchy定理的几何意义定理的几何意义注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理(1)(2)使得使得切线斜率切线斜率现在学习的是第26页，共33页27例例证证分析分析结论可变形为结论可变形为即即满足柯西中值定理满足柯西中值定理现在学习的是第27页，共33页28四、小结四、小结罗尔罗尔定理定理L

11、agrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理 罗尔罗尔(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、中值定理、柯西柯西(Cauchy)中值定理之间的关系中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说,满足条件满足条件,不满足条件不满足条件,定理可能成立定理可能成立,不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.定理定理也可能也可能现在学习的是第28页，共33页29应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性验证定理的正确性;(2)证明方程根的存

12、在性证明方程根的存在性;(3)引入辅助函数证明等式引入辅助函数证明等式;(4)证明不等式证明不等式;(5)综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用).关键关键 逆向思维逆向思维,找辅找辅助函数助函数现在学习的是第29页，共33页30思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数函数在区间在区间 1,2 上满足上满足Lagrange定理定理条件条件,则中值则中值2)设设有有个根个根,它们分别在区间它们分别在区间上上.方程方程且在且在内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点使使2.设设3.3.现在学习的是第30页，共33页31且在且在内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点使使提示提示:由结论可知由结论可知,只需证只需证即即验证验证在在上满足上满足Rolle定理条件定理条件.设设2.设设现在学习的是第31页，共33页32作业作业习题习题3-1(1323-1(132页页)7.8.9.10.11.12.14.现在学习的是第32页，共33页感谢大家观看现在学习的是第33页，共33页