单调性最值课件.ppt

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1、1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)关于单调性最值现在学习的是第1页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)判断函数判断函数 在区间在区间(-1,1)上的单调性上的单调性.解解:设设则则 f(x1 1)f(x2 2)1x1x21,1+x1x20,x2x10,f(x1)f(x2)0.即即 f(x1)f(x2).故此函数在故此函数在(-1,1)1,1)上是减函数上是减函数.现在学习的是第2页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方法 1.利用利用二次函数二

2、次函数的性质（的性质（配方法配方法）求函数的最大）求函数的最大(小小)值值 2.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值 3.利用利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大的判断函数的最大(小小)值值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b)；如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b，c上上单调递单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)；现在学习的是第3页，共51页1.3.1单调

3、性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)1.1.增函数与减函数增函数与减函数 一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,如果对于如果对于定义域定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1,x2,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么就说那么就说f(x)在区间在区间D上上是增函数是增函数 2.2.单调性、单调区间单调性、单调区间 如如果果函函数数y=f(x)在在某某个个区区间间上上是是增增函函数数或或是是减减函函数数,那那么么就就说说函函数数y=f(x)在在这这一一区区间间具具有有(严严格格的的)单调性单调性，区间，区间D叫做叫做y

4、=f(x)的的单调区间单调区间.现在学习的是第4页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)(1)任取任取x1,x2D,且且x1x2；(2)作差作差f(x1)-f(x2);(3)变形变形;(4)判号判号(即判断差即判断差f(x1)-f(x2)的正负的正负)；(5)定定论论(即即指指出出函函数数f(x)在在给给定定的的区区间间D上上的的单单调调性性)3.3.利用单调性定义证明函数利用单调性定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上上的单调性的一般步骤：的单调性的一般步骤：4.常见函数的单调性：常见函数的单调性：现在学习的是第5页，共51页1.3.1单调性与最大单调

5、性与最大(小小)值值(三三)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在 上是增函数在 上是减函数在 上是增函数在 上是减函数在(-,+)上是减函数在(-,+)上是增函数一次函数y=kx+b(k0)yox当k0时,yox当a0时,现在学习的是第6页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)增函数减函数图象图象特征自左至右,图象上升.自左至右,图象下降.数量特征y随x的增大而增大.当x1x2时，y1y2y随x的增大而减小.当x1x2时，y1y2现在学习的是第7页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)1.利用利用二次函数二次函数的性质（的性质（配方法配方法

6、）求函数的最）求函数的最 大大(小小)值值 2.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值 3.利用利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大的判断函数的最大(小小)值值 如如果果函函数数y=f(x)在在区区间间a,b上上单单调调递递增增,则则函函数数y=f(x)在在x=a处处有有最最小小值值f(a),在在x=b处处有有最最大值大值f(b);如如果果函函数数y=f(x)在在区区间间a,b上上单单调调递递减减,在在区区间间b,c上上单单调调递递增增则则函函数数y=f(x)在在x=b处处有有最最小值小值f(b).利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方

7、法现在学习的是第8页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)1.求函数的单调区间求函数的单调区间;2.判断函数的单调性判断函数的单调性(证明证明);5.求函数的最值或值域求函数的最值或值域3.比较函数的大小比较函数的大小4.求参数的取值范围求参数的取值范围现在学习的是第9页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)【例例1】函数函数 y=x2-2|x|-3 的单调递增区间是的单调递增区间是_;-1,0,1,+)-2-21 1-1-1oxy一、求函数的单调区间一、求函数的单调区间现在学习的是第10页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)

8、值值(三三)【1】求函数求函数 y=|x+1|1x|的单调区间的单调区间.解解:由由 y=|x+1|1x|,知知xy-112-2o故函数的增故函数的增区间区间为为1,1.现在学习的是第11页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)1.函数函数 的单调减区间为的单调减区间为_.2.函数函数y=|2x-1|的单调增区间是的单调增区间是_.现在学习的是第14页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)【例例2】证明函数证明函数 在在 上是减函数上是减函数.二、判断二、判断(证明证明)函数的单调性函数的单调性证明：任取证明：任取现在学习的是第15页，共51

9、页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)因此因此 在在 上是减函数上是减函数.【例例2】证明函数证明函数 在在二、判断二、判断(证明证明)函数的单调性函数的单调性上是减函数上是减函数.现在学习的是第16页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)另解另解:yxo向上平移向上平移向左平移向左平移2 个单位个单位3个单位个单位所以函数所以函数f(x)的递减区间是的递减区间是 现在学习的是第17页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)【1】写出函数写出函数 的单调区间的单调区间.xyo现在学习的是第18页，共51页1.3.1单调性与最大

10、单调性与最大(小小)值值(三三)例例3.已知函数已知函数 对任意实数对任意实数t都有都有 比较比较f(1),f(2),f(3)的大小的大小.三、利用单调性比较函数值的大小三、利用单调性比较函数值的大小现在学习的是第19页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)【1】已知函数已知函数f(x)在在(0,+)上是减函数上是减函数,则则 的大小关系为的大小关系为_.现在学习的是第20页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)1.设函数设函数y=x2+2(a-1)x+2在区间在区间2,+)上是增函数上是增函数,求实求实数数a的取值范围的取值范围.解解:函数

11、函数y=x2+2(a-1)x+2的对称轴方程为的对称轴方程为x=1-=1-a,函数的单调增区间是函数的单调增区间是1-a,+),2,+)是是1-a,+)的一个子集的一个子集,1 1-a22即即a-1.1.即所求的实数取值范围是即所求的实数取值范围是a-1.1.图象演示图象演示由二次函数性质知由二次函数性质知,四、利用函数单调性求参数的取值范围四、利用函数单调性求参数的取值范围现在学习的是第21页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)【1】函数函数f(x)=x2+4ax+2在区间在区间(-,6内递减内递减,则则a的取值范围是的取值范围是()A.a3 B.a3 C.a-3

12、 D.a-3D 【2】在已知函数在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在在(-,-2上上递减递减,在在-2,+)上递增上递增,则则f(x)在在1,2上的值域上的值域_.21,39现在学习的是第22页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)【3】已知已知f(x)是是R上的增函数上的增函数,若若a+b0,则有则有f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).证明证明:由由a+b0,得得a-b,b-a.又因为又因为f(x)是是R上的增函数上的增函数,f(a)f(-b),f(b)f(-a),+得得f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).现在学习的是第23页，共51页1.3.1单调

13、性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)分析分析:设设则则确定确定 正负号的关键正负号的关键,是是确定确定的正负号的正负号.由于由于x1,x2在同一区间内在同一区间内,要使要使 则需则需要使要使 则需则需例例5.求函数求函数 的最大值的最大值.五、求函数的最大五、求函数的最大(小小)值或值域值或值域现在学习的是第24页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)例例5.求函数求函数 的最大值的最大值.解解:任取任取x1,x2,x1,x2 2,4,且且x1 x2,当当 时时,所以所以函数函数f(x)在在2,4上是减函数上是减函数.同理同理函数函数f(x)在在4,10上是增函数

14、上是增函数.五、求函数的最大五、求函数的最大(小小)值或值域值或值域现在学习的是第25页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)解：解：函数函数在在2,4上是减函数上是减函数.所以所以f(x)在在2,4上有最大值上有最大值,函数函数在在4,10上是增函数上是增函数.所以所以f(x)在在4,10上有最大值上有最大值,所以函数所以函数f(x)在在2,10上的最大值是上的最大值是几何画板几何画板现在学习的是第26页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)例例6.函数函数f(x)是定义在是定义在(0,+)上的递减函数上的递减函数,且且f(x)f(3-a)

15、,求实数求实数a 的取值范围的取值范围 【2】函数函数y=f(x)是定义在是定义在(-1,1)上的减函数上的减函数,若若f(2-a)f(3-a),求实数求实数a 的取值范围的取值范围现在学习的是第28页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)现在学习的是第29页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)【例例3】求求f(x)=x2-2ax+2在在 2,4 上的最小值上的最小值.解解:f(x)=(x-a)2+2-a 2,当当a2时时,当当2a4 时，时，当当a4时时,f(x)min=f(2)=64a;f(x)在在 2,4 上是增函数上是增函数,f(x

16、)min=f(a)=2a2.f(x)在在2,4上是减函数上是减函数.f(x)min=f(4)=188a.几何画板几何画板七、有关最值讨论题七、有关最值讨论题现在学习的是第30页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)教材教材P11 练习练习T4.教材教材P12 A组组T7,9,10.现在学习的是第33页，共51页20072007年年9 9月月1313日日山东省临沂一中李福国山东省临沂一中李福国现在学习的是第34页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)复合函数：复合函数：y=f g(x)令令 u=g(x)则则 y=f(u)内函数内函数外函数外函数

17、y=f g(x)原函数原函数以以x为自变量为自变量以以u为自变量为自变量以以x为自变量为自变量(5)复合函数的单调性复合函数的单调性复合函数单调性结论：复合函数单调性结论：当内外函数在各自定义域内同增同减时当内外函数在各自定义域内同增同减时,原原函数增函数增;当内外函数在各自定义域内一增一减时当内外函数在各自定义域内一增一减时,原原函数减函数减.现在学习的是第38页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)(1)f(x)是是a,b上增函数上增函数,若存在若存在x1,x2a,b且且x1x2,则则f(x1)f(x2).(2)若存在若存在x1,x2a,b且且x1x2,则则f(x

18、1)f(x2)f(x)是是a,b上增函数上增函数.(3)函数函数f(x)在在a,b上满足上满足f(a)f(b)，则，则f(x)在在a,b上是增函数上是增函数.(4)若存在若存在x1,x2a,b且且x1f(x2)f(x)是是a,b上减函数上减函数.（正确）（正确）（错误）（错误）（错误）（错误）（错误）（错误）【2】判断下列两个命题的正误：判断下列两个命题的正误：现在学习的是第39页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)现在学习的是第40页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)练习：练习：注意：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性在原函数定义

19、域内讨论函数的单调性现在学习的是第41页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)补充练习：补充练习：现在学习的是第42页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)现在学习的是第43页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)现在学习的是第44页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)(1)f(x)是是a,b上增函数上增函数,若存在若存在x1,x2a,b且且x1x2,则则f(x1)f(x2).(2)若存在若存在x1,x2a,b且且x1x2,则则f(x1)f(x2)f(x)是是a,b上增函数上增函数.(3)

20、函数函数f(x)在在a,b上满足上满足f(a)f(b)，则，则f(x)在在a,b上是增函数上是增函数.(4)若存在若存在x1,x2a,b且且x1f(x2)f(x)是是a,b上减函数上减函数.（正确）（正确）（错误）（错误）（错误）（错误）（错误）（错误）【1 1】判断下列判断下列说法是否正确说法是否正确.现在学习的是第45页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)定义在定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(2)f(1),则则函数函数f(x)是是R上的增函数上的增函数().定义在定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(2)f(1),则函数则函数f(x)在在R上不

21、是减函数上不是减函数().函数函数y=f(x)在区间在区间I I上对于任意的上对于任意的x1 1,x2 2满足满足 ,则则f(x)在区间在区间I I上为单调增函数上为单调增函数().().yxO12f(1)f(2)X【2 2】判断下列判断下列说法是否正确说法是否正确.现在学习的是第46页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)定义在定义在R R上的函数上的函数f(x)在区间在区间(-,0(-,0上上是增函数是增函数,在区间在区间(0,+)(0,+)上也是增函数上也是增函数,则函数则函数f(x)在在R R上是增函数上是增函数().().定义在定义在R R上的函数上的函数f

22、(x)在区间在区间(-,0(-,0上是增函数上是增函数,在区间在区间0,+)0,+)上也是增函数上也是增函数,则函数则函数f(x)在在R R上是上是增函数增函数().().yxOX函数函数y=f(x)在区间在区间I I上对于任意的上对于任意的x1 1,x2 2,且且x1 11 时时,f(x)0.(1)求证求证:f(x)为偶为偶函数；函数；(2)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性；(3)求不等式求不等式 f(x)+f(x-3)2的解集的解集.(1)证证:在在中令中令 x=y=1,得得 f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0.令令 x=y=-1,得得 f(1)=f(-1)+f(-1)f(-1)=

23、0.再令再令 y=-1,得得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x).f(x)为偶函数为偶函数.先讨论先讨论 f(x)在在(0,+)上的单调性上的单调性,任取任取x1,x2,设设x2x10,f(x2)f(x1).f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数,由由(1)知知,f(x)在在(-,0)上是减函数上是减函数.偶函数图象关于偶函数图象关于 y 轴对称轴对称,(2)解解:在在中令中令 y=,得得:x1由由知知 f()0.x2 x1 1,x2 x1 f(1)=f(x)+f()f()=-f(x),x 1 x 1 则则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().x2 x1 x1 1

24、现在学习的是第49页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)(3)解解:fx(x-3)=f(x)+f(x-3)2,由由、得得 2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)=f(-4),1)若若 x(x-3)0,f(x)在在(0,+)上为增函数上为增函数,由由 fx(x-3)f(4)得得:2)若若 x(x-3)0 x(x-3)4 x3-1x4 -1x0 或或 3x4;x(x-3)0 x(x-3)-4 0 x3.0 x3 x R 原不等式的解集为原不等式的解集为-1,0)(0,3)(3,4.注注 抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题,其基本方法其基本方法是变量代换、换元等是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点应熟练掌握它们的这些特点.法二法二 原不等式等价于原不等式等价于 f|x(x-3)|f(4)(x 0,x-3 0),由由 f(x)在在(0,+)上为增函数得上为增函数得:|x(x-3)|4.再进一步求得解集再进一步求得解集.现在学习的是第50页，共51页1.3.1单调性与最大单调性与最大(小小)值值(三三)感谢大家观看现在学习的是第51页，共51页