2021年2021年习题1-3行列式的性质.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1.用行列式的性质运算以下行列式：34215352151；2809229092【分析】可见行列式中1，2 两列元素大部分数字为相等的，列差同为1000 ，易于化为下三角行列式，于为，【解法一】【解法二】3421535215280922909234215352152809229092c2c1r1r2342151000280921000612361232809229092r1r2c2c16123028092100061230280921000下三角6123000 ；下三角6123000；abacae2bdcdde；bfcf

2、ef【分析】各行.列都有公因，抽出后再行运算；【解】abacaebdcddebfcfefar1dr 2fr 3bceadfbcebceb c 1c c 2ec 3adfbce111111111r2r1r3r1111adfbce002rrabcdef02002000232111上三角abcdef2(1)24abcdef ；111111113；11111111【分析】将第一行加到以下各行即成为上三角行列式，【解】111111111110222002200021r2r11111r3r1rr111141上三角1238 ；第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编

3、辑资料 - - - - - - - - - - - - -2.把以下行列式化为上三角形行列式，并运算其值：224041351；31232051【解法一】2240cc413521312320512240rr143521132302511435224013230251143514351435r2r062100118r7 r0118rr0712230712r2 r00858025102510071721rr321435143501180118rr00141r7r0014100717000270314223443上三角(1)1(270)【解法二】270 ；22404135312320512r11120

4、4135231232051c2c11120143521323025111201120r2r12 0315rrr04032304030251025111201120118r231r34r201182r2 r00118r2r0044293004007170012294241r4r11200118342rr2112001183400000135141001410001352上三角21(1)(135)270 ；第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -12342341341241232；【分析】该行列式属

5、于同行元素之和相等的类型，应将2， 3， 4 列加到第1 列：【解】12342341c (cc c )1023410341r 2r11023401133412123410412r 3r1412310123011110234r 4r10222r32 r20113上三角101(4)160 ；2r4r 2004400043.设行列式aijm ( i 、 j1、2、 L、5)，依以下次序对aij进行变换后，求其结果：交换第一行与第五行，再转置，用2 乘全部元素，再用(-3)乘以其次列加到第四列，最终用 4 除其次行各元素；【解】1 交换第一行与第五行，行列式变号，结果为m ；2 再转置，行列式的值不变

6、，m ；3 用 2 乘全部元素，即5 行里每行都有公因2，这等于用25 乘以行列式，结果为m2532m ；4 再用 (-3)乘以其次列加到第四列，这为倍加，行列式的值不变，结果仍为32m ；5 最终用 4 除其次行各元素，即其次行有公因14，这等于用 14乘以行列式， 结果为32 m148m ；4.用行列式的性质证明以下等式：a11 a2 a3kb1 kb2 kb3b1c1c1b2c2c2b3c3c3a1b1a2b2a3b3c1c2 ；c3第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -a1【证法一】左

7、边= a2a3kb1b1c1c1a1kb1b1c1kb2b2c2c2c2c 3a2kb2b2c2kb3b3c3c3a3kb3b3c3ckca1 a a3b1 b b3c1 c c3=右边，证毕；b1c1a1kb1b1c112222a1【证法二】右边= a2b2a3b3c2c1c3kc 2a 2kb2b2c2 a3kb3b3c3c2c3a1 kb1 b1 c1 a2 kb 2 b2 c2 a3 kb3 b3 c3c1c2 =左边，证毕；c3a1【证法三】左边= a2a3kb1 kb2 kb3b1c1c1b2c2c2b3c3c3分拆 c1a1b1c1a2b2c2a3b3c3c1 c2 + c3kb

8、1 kb2kb3b1c1c1b2c2c2b3c3c3a1b1都分拆 c 2a2b2a3b3c1 a1 c2 + a2 c3 a3c1c1c2c2c3c3kb1b1+ kb2b2kb3b3c1c2 +c3kb1c1c1kb2c2c2kb3c3c3a1b1c1a1b1c1第2 ， 4行列式 c 2c3a2b2c2+0+0+0=a2b2c2=右边，证毕；第3 行列式 c: c = k:1abc12333a3b3c3yzzxxy2 xyyzzx zxxyyzx yz2 zxy ；y zx【证法一】左边=yzzxxyxyyzzxc (cc )2( xyz)2( xyz)zxxyyzzxzxxyyz123

9、2( xyz)xyyzr2r1r3r12( xyz) 00zxxyyxzyyzzx1zxxy2( xyz)c2( xyz) 0yxzy0yzzx1第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -100c2(zx )c1c3( xy)c12( xyz) 00yxzyy zzxxyzxyzyz右边 = 2 zxyc (cc ) 2 xyzxyyzxxyzzx1yz( xyz)c2( xyz) 11xzyx1231r2r1r3r112( xyz) 00yzxyyzz yxz100c 2yc1c3zc12( x

10、yz) 00xyyzzyxz100r22( xyz) 0r30yxzy ，yzzx对比即得左边 =右边，证毕；【证法二】左边=y zzxxyc1xyyzzx分拆z xxyyzy z x x y x y z z x z x y y zzzxxy+ yyzzx xxyyzcc前-31后 c 2 - c1y zxxxyzzz xyyzxxy+ yzzx xyyz前-cc23后 c 3 - c 2y zxxyzz xyzxy+ yzxxyz前 r2r1x yzy zx x yzy zx都 r 3r 2xyzz xyxyz+ zxyrr31后zxyzxyyzxyzxx yz2 zxyy zx=右边，证毕

11、；5.运算以下行列式：第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -xaLaaxLa1；LLLLaaLx【分析】该行列式属于同行元素之和相等的类型，应将2 列以后各列加到第1 列：xaLaxL【解】设aa为 n 阶行列式，就每行中有1 个 x， n-1 个 a，于为LLLLaaLxxaaLaaxaLaaxaLaaaxLaaaxLaa=LLLLLLLLLLaaLxaaaLxaaaaLaxx xx( n( n( n1)a1)a1)aa xaa axL LLa aaa aaLLLLLLx( n1)aaaLx

12、ax( n1)aaaLaxc1 (c2 c3 L cn )x(n1)aaaLaa0xa0L00c2 c100xaL00L LLLLLLLcn c1000000Lxa0 L 0xa上三角 xn 1(n1)a( xa )；123L103L120L2n1nn1nn1n；LLLLLL123L123L0n(n1)0【分析】 该行列式主对角线以下元素与首行元素对应为相反数，因此，将首行加到以下各行，将化为上三角行列式；第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -23Ln1n123Ln03Ln1n026L2(n1

13、1n1120Ln1nc2 c1003L2(n1)2n1)2n【解】LLLLLLL LLLLLLL123L0123L(nn12ncnnc1 000L1)0000L0n上三角1 2 3 L(n1)nn. ；1a11a1b131a1a2La2La2b2Lan anan；LLLLL1a1a2Lanbn【分析】 这为为 n+1 阶行列式；该行列式主对角线以下元素与首行元素对应相等，因此，将首行的 -1 倍加到以下各行，将化为上三角行列式；1a1a2Lan1a1b1a2Lan1c2 c1 0a1a2Lanb10L0【解】1a1a2b2LanL L00b2L0上三角b1b2Lbn ；LLLLLccLLLLL

14、n11a1a2Lanbn000Lbna011L11a10L0410a2L0 ，其中 ai0；LLLLL100Lan【分析】为化成上三角行列式，须将a0下方元素全化为0，这样就需要次第地（以肯定次序，一个接一个地 ），将a0 化为 -1 后加到第1 列，将a1化为 -1 后加到第2 列， .，将 an 化为 -1 后加到第 1 列；1a011L1a011L1a11a10L0【解】10aL010a10L02LLLLLc1c2a110a2L0100LanLLLLL100La n第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - -

15、 - - - -0a1111L1a1a210a10L0c1c3a200a2L0LLLLL100Lana011.111L1a1a210ana10L0. cc00aL01n 1an2LLLLLn1a0i 1 ai11L000La n10a10L0=00a2L0LLLLL000Lan上三角a1a2 Ln1an (a0)i 1 ai上述的 n 次列倍加运算也可以叠加进行：a011L1n1a0i 1 ai11L11a10L01c1c2a0a10L010a2L0L L 11cc00a2L0LLLLL1n 1anLLLLL100Lan000Lan上三角a1a2 Ln1an (a0)i 1 ai6.解以下方程

16、：112312x 2232315231910 ；x2第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，留意到1，2 两行及 3，4 两行有较多的相同元素，得：1123112312x 223rr01x 2002315rr2315左边 =21231943x 20004x 23523c12c3000上三角3(1x2 )(4x2c23c00151x 2) ，320004x 2原方程为 (12x)(4x )0 ，即得 4 个根为 x1， x2 ；111L1111x1L1

17、1112xL1120 ；LLLLLL111L(n2)x1111L1(n1)x【解】先将等式左边的行列式化为上三角形行列式，将第一行的-1 倍加到以下各行即成为上三角行列式；111L1111x1L11左边 =112xL11LLLLLL111L(n2)x1111L1(n1)x111L110x0L00r2 r1001xL00L LLLLLLL000L(n3)x0000L0(n2)xrn r1上三角x (1x )(2x ) L( n3)x ( n2)x ，原方程为x(1x)(2x )L( n3)x( n2)x 0 ，即得 n-1 个根为 xk ， ( k0、1、2、 L、 n1、n2；)第 9 页，共

18、 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -7.设 n 阶行列式Ddet(a ij ) ，把 D 上下翻转，或逆时针旋转90o，或依副对角线翻转，依次得an1D1L证明D1D 2a11(1La nna1nLannannLa1nLL， D2LLL， D3LLL，La1na11Lan 1an1La11) n(n1)/2D ， D 3D ；【证明】1D1(1)n( n1)/2 D ，a11La1nan1Lann这就为将D 变换成D1 ：LLLLLL，由于把D 上下翻an1Lanna11La1n转得到D1 ，翻转变换中，

19、元素aij 的列码仍为列码，次序没变，行码就由次序123Ln 变成了逆序 nL 321；由于排列 123Ln 变成 nL321要经过 ( n1) (n2)L21n (n21)次对换，可 知 把D 上 下 翻 转 得 到D1 ， 须 经 过n(n21) 次 行 对 换 ， 从 而1D(1)n ( n1)/2D ；证毕；n (n2D2(1)1)/2 D ，a11La1na nnLa1n这就为将D 变换成D2 ：LLLLLL，由于把D 逆时针a n1La nna n1La11旋转 90o 得到D 2 ：a11a12La1、n 1a1na1na2nLan 1、nan 1、n 1ann an、 n 1a

20、21a22La2、 n1a2 na1、n1a2、 n1LLLLLLLLLLLan 1、1an 1、2Lan 1、n 1an 1、na12a22Lan 1、2an 2an1an 2Lan 、 n 1anna11a21Lan 1、1an1旋转变换中，元素aij的第一码i 变成了其次码j ，都作为行码看待时，由次序123Ln 变成为逆序nL321；而其次码j 变成了第一码i ，都作为列码看待时，次序不变，第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -由于排列 123Ln 变成 nL321要经过 ( n1)

21、 (n2)L21n (n221)次对换，可知把 D 旋转 90o 得到证毕；D 2 ，须经过n(n21) 次对换，从而 D(1)n(n1)/2 D ；3D3D ；a11La1na n1La nn这就为将D 变换成D3 ：LLLLLL，由于把D 依副对a n1La nna11La1n角线翻转得到a11 a21D3 ：a12La22La1、n 1a2、n 1a1n a2nannan 、n 1an 1、nLan 1、n 1La2、n a2、 n 1a1n a1、n 1LLLLLLLLLLan 1、1an 1、2Lan 1、n 1an 1、nan2an 1、2La22a12an1an 2Lan 、n

22、1annan1an 1、1La21a11翻转变换中， 元素aij的第一码 i 变成了其次码j ，都作为行码看待时， 由次序 123Ln变成为逆序nL 321；其次码j 变成了第一码i ，都作为列码看待时，由次序123Ln 变成为逆序 nL321，从而， 把 D 依副对角线翻转得到D 2 ，须经过n( n1)n(n1)n( n1) 次22n(n 1)偶数对换，从而D 3(1)DD ；证毕；2458.已知255， 459， 527 都能被17 整除，不求行列式的值，证明行列式552能 被 17597整除；【分析】如行列式的任一项含有255， 459，527 这三个数之一，就行列式必能被17 整除，

23、而这样只须行列式中有一行以255，459， 527 这三个数之一为元素即可，经观看，行列式第一列恰有2， 5， 5，作行倍加r3(100r110r2 ) 即可得到255，行列式其次列恰有4， 5， 9，同作行倍加r3(100r110r2 ) 即可得到459，第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -行列式第三列恰有5， 2， 7，同作行倍加r3(100r110r2 ) 即可得到527；【解】245552597r3100r1r310r224555225545952724555217151727173124524517552，即知552能被17整除；15273159717r3第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -