2021年2021年二次函数的图像及性质专题练习.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.二次函数的图像与性质一.二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc a ，b ，c 为常数， a0 的函数，叫做二次函数；【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而 b，c 可以为零二次函数的定义域为全体实数2. 二次函数yax2bxc 的构造特点： 等号左边为函数，右边为关于自变量x 的二次式，x 的最高次数为2 a，b ，c 为常数， a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项二.二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2yax的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性

2、质a0向上0 ，0x0 时， y 随 x 的增大而增大；xy 轴0 时， y 随x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 0 a0向下0 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小；xy 轴0 时， y 随x 的增大而增大；x0 时， y 有最大值 0 a 的肯定值越大，抛物线的开口越小；22. yaxc 的性质：上加下减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而增大；xy 轴0 时， y 随x 的增大而减小；x0 时， y 有最小值 c a0向下0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而减小；xy 轴0 时， y 随x 的增大而增大；x0 时， y

3、有最大值 c 3. ya xh2的性质：左加右减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质-.可修编 - .第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.a0向上h ，0X=hxh 时， y 随 x 的增大而增大；xh 时， y随 x 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 0 a0向下h ，0X=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y随 x 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 0 24. ya xhk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，kX=hxh 时， y

4、随 x 的增大而增大；xh 时， y随 x 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 k a0向下h ，kX=hxh 时， y 随 x 的增大而减小；xh 时， y2随 x 的增大而增大；xh 时， y 有最大值 k 5. 二次函数yaxbxc 的性质a 0bb 4acb21.当时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为2a，2a4a当 xb 2a时， y 随 x 的增大而减小； 当 x4acb2b 时， y 随 x 的增大而增大； 当 xb 2a2a时， y 有最小值4abb4acb 22. 当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为2a，当2a4axb时， y 随 x 的增大而增大

5、；当x 2a4acb2b 时， y 随 x 的增大而减小；当x 2ab时， y2a有最大值4a三.二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式22ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k； 保持抛物线yax的外形不变，将其顶点平移到h，k处，详细平移方法如下：-.可修编 - .第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.y=ax 2向上 (k 0)【或向下 (k 0) 【或左 (h0) 【或左 (h0) 【或下 (k0) 【或下 (k 0)【或左 (h0)】平移 |k| 个单位

6、y=a(x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减方法二： yax2bxc 沿 y 轴平移 :向上下平移m 个单位，yax2bxc 变成yax2bxcm 或 yax2bxcm yax2bxc 沿轴平移：向左右平移m 个单位，yax 2bxc 变成ya( xm)2b(xm)c 或 ya(xm) 2b( xm)c 四.二次函数2ya xhk 与 yax 2bxc 的比拟从解析式上看，2ya xhk 与 yax2bxc 为两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即yax22b4acb2a4a，其中 hb ，k 2a

7、24acb4a2五.二次函数解析式的表示方法21. 一般式：yaxbxc a ， b ， c 为常数， a0 ；2. 顶点式：ya (xh)k a ， h ， k 为常数， a0 ；3. 两根式：ya (xx1 )( xx2 ) a0 ， x1 ，x2 为抛物线与x 轴两交点的横坐标.留意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 24ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.六.二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2yaxbxc 中， a作为二次项系数，明显

8、a 0 当 a 当 a0 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；0 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a 打算了抛物线开口的大小和方向，a 的正负打算开口方向，a 的大小打算开口的大小-.可修编 - .第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0 时，当 b0 时，当 b0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2ab

9、0 ，即抛物线的对称轴就为y 轴；2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0 时，当 b0 时，当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2ab0 ，即抛物线的对称轴就为y 轴；2ab0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来，在a 确定的前提下，b 打算了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴xb 在 y 轴左边那么ab 2a0 ，在 y 轴的右侧那么ab0 ，概括的说就为“左同右异总结：3. 常数项 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与y 轴的

10、交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负/总结起来，c 打算了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a，b ，c 都确定，那么这条抛物线就为唯独确定的4.利用二次函数与x 轴的交点的个数来确定判别式的符号，利用特别点的坐标确定特别代数式的值的围；有时仍要利用等量代换来判定特别代数式的值的围；二次函数解析式的确定：依据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，挑选适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情形：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2

11、. 抛物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式二次函数的图像与性质-.可修编 - .第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.应用举例：例 1：小强从如下图的二次函数yax2bxc的图象中，观看得出了下面五条信息： 1a0 ；2c1 ；3 b0 ；4abc0 ； 5 abc0 . 你认为其中正确信息的个数有CA2 个B 3 个C 4 个D 5 个y1xyy31121012x11O12 x11O

12、x例2 ： 二 次 函 数yax2bxc 的 图 象 如 下 图 ， 有 以 下 结 论 ： abc0 ；/ abc1 ；abc0 ； 4a2bc0 ； ca1 其中全部正确结论的序号为C AB CD 例3：小明从图所示的二次函数yax2bxc 的图象中，观看得出了下面五条信息： c0 ；abc0 ； abc0 ； 2 a3b0 ； c4b0 ，你认为其中正确信息的个数有CA2 个B 3 个C 4 个D 5 个b分析：错误.由2a1 得 2a3b 30 ；由前面的分析知a3 b ，又由题图知当2x2 时， y4a2bc 0 ，将 x2 代入 4a2bc0 中得 c4b0 .【练】二次函数yax

13、 2bxc( a0) 的图象如下图， 有以下 5 个结论： abc0 ； bac ； 4 a2bc0 ； 2c3b； abm( amb) ， m1的实数其中正确的结论有C A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个b分析： 由图可知，a0、1、c 0 ，从而 b 2a2a0、 abc0 ，错误；又当x1 时yabc0 ，错误；由抛物线的对称轴为直线x1 知，当 x0 与 x2 时函数值相等，所以正确；由于2c3b2c2bb2c2b2a2(abc)0 ，所以正确；由于二次函数的对称轴为直线x1 ，所以当x1 时，函数取得最大值，即当m1、 xm 时 的 函 数 值 小 于 当x1 时 的

14、函 数 值 ， 所 以-.可修编 - .第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.abc am2bmc ，得 abm(amb) ，所以正确.例 4：如图，为二次函数yax2 bxc a 0的图象的一局部，给出以下命题： a+b+c= 0； b 2a； ax2 +bx+ c=0 的两根分别为-3 和 1； a-2b+c 0其中正确的命题为只要求填写正确命题的序号b分析：由图知正确且1 ，所以b2a2a0 ，所以错误；由正确得2cab ，所以 a2bca2bab3b0 ，所以错误 .【练】 1. 二次

15、函数yaxbxca0 的局部图象如下图，它的顶点的横坐标为1，由图象可知关于x 的方程 ax2bxc=0 的两根为x1、x32.二次函数图象的对称轴为直线于以下说法：12x1 ，其图象的一局部如下图对 abc 0； abc 0； 3ac 0；当 1 x 3 时，y 0其中正确的选项为把正确的序号都填上分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线bx1 ，与 x 轴的一个交点为3、0 ，得1 ， b 2a2a ，与 x 轴的另一个交点为1、0，所以abc0 ，3acabc0 .例 5：在同始终角坐标系中，函数 ymxm 和的图象可能为Cymx22x2 m 为常数， 且 m0 yyyyOxOxOx例 6：

16、1二次函数的图象以求该函数的关系式；A 1，4为顶点，且过点B2， 5Ox求该函数图象与坐标轴的交点坐标；答： yx22x3 ，交点坐标1、0、 3、0 2抛物线过1， 0，3， 0，1， 4三点，求二次函数的解析式；2答： yx22x3例 7：函数 ym2xmm 48 x1 为关于 x 的二次函数，求：-.可修编 - .第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.1求满意条件的m 的值；2 m 为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标为多少？当x 为何值时， y 随 x 的增大而增大？3m 为何值时，

17、 抛物线有最大值？最大值为多少？当x 为何值时， y 随 x 的增大而减小？答：1 m3 或 m2 ；12例 8：1利用配方求函数yxx 44 的对称轴.顶点坐标；y1x2 25412 2利用公式求函数yx 26 x17 的对称轴.顶点坐标；b66，2a2124acb244a117622412343612例9：二次函数ym22x24mxn 的图象的对称轴为x2 ，且最高点在直线y1 x21 上，求这个二次函数的解析式；答： yx24x2例 10.如图，二次函数yax24xc 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A 4，01求二次函数的解析式；2在抛物线上存在点P，满意S AOP8 ，请直接写出点

18、P 的坐标答： yx24x ， P 的坐标为222、2或222、2例 11.如图，抛物线yx2bxc 经过直线yx3 与坐标轴的两个交点A .B，此抛物线与 x 轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.1求此抛物线的解析式；2点 P 为抛物线上的一个动点，求使S APC ： S ACD5 ： 4的点 P 的坐标；答：yx22x3 ， C1、0， D1、4，S ACD8 ，所以-.可修编 - .第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.S APC10 ， P 的坐标为4、5或2、5.二次函数练习试题一.

19、挑选题1. 二次函数yx24x7 的顶点坐标为()A.(2、11)B. 2， 7C.2，11D.2， 32. 函数ykx2k 和 yk (k x0) 在同始终角坐标系中图象可能为图中的()3. 二次函数yax2bxc(a0) 的图象如下图 、那么以下结论:a、b 同号 ; 当x1 和x3 时、函数值相等; 4ab0 当 y2 时、x 的值只能取0.其中正确的个数为()A.1 个B.2 个C. 3 个D. 4 个4. 二次函数yax2bxc(a0) 的顶点坐标 -1，-3.2及局部图象(如图 )、由图象可知关于x 的一元二次方程ax2bxc0 的两个根分别为x11.3和x2 .B.-2.3C.-

20、0.3D.-3.35. 抛物线过点A(2、0)、B(-1、0)、与 y 轴交于点 C、且 OC=2. 那么这条抛物线的解析式为A. yx2C.yx2x2x2 或yx2x2B.yx2D.yx2x2x2 或yx2x2二.填空题6. 二次函数yx2bx3的对称轴为x2 ，那么 b ；7. 抛物线 y22x35 ，假如 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值围为 .8. 一个函数具有以下性质：图象过点1， 2，当 x0 时，函数值y 随自变量x 的-.可修编 - .第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - -

21、-.增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式为只写一个即可；9. 抛物线 y2(x2) 26 的顶点为C，直线ykx3 过点 C，那么这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为；三.解答题：10. 二次函数图象的对称轴为xy 轴的交点为 (0、5 ).2(1)求这个二次函数的解析式;30 、图象经过 (1、-6)、且与(2)当 x 为何值时 、这个函数的函数值为0.(3)当 x 在什么围变化时、这个函数的函数值y 随 x 的增大而增大.第 15 题图11. 如图，抛物线yx2bxc 经过直线yx3 与坐标轴的两个交点 A .B，此抛物线与x 轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.1求此抛物线的解析式；2点 P 为抛物线上的一个动点，求使S APC ： S ACD5 ：4 的点 P的坐标；-.可修编 - .第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -