2021年2021年三角形解的个数问题专题.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角A 为钝角或直角图形关系bsinAabababAbsinAA=bsinA解的个数无解一解两解一解无解1 已知以下三角形中的两边及其中一边的对角，判定三角形为否有解，并指出有几解(1) a7、b8、A105o(2) a10、b20、A80o(3) b10 、c56 、C60o(4) a23 、b6、A30o答案:(1)A90o 而 ab ，故无解(2) A90o、ab sin Ab ，故有无解(3) cb ，故有一组解(4) A90o、b sin Aab ，故有两组解2 在ABC

2、中， A=45， AB=3 ，就“ BC= 2 ”为“ ABC只有一解且 C=60”的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既为充分也不必要条件另解法法 1：大角对大边在已知ABC 中的边长 a ，b 和角 A ，且已知 a ，b 的大小关系， 常利用正弦定理结合 “大边对大角”第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -来判定三角形解的个数，一般的做法如下，第一利用大边对大角，判定出角B 与角 A 的大小关系，然后求出 B 的值，依据三角函数的有界性求解【例 1】在ABC 中，已知 a3 ，

3、 b2 ， B45 ，求 A . C 及 c 解：由正弦定理，得sin Aa sin B3sin 453 ， B4590，ba ， A60 或120 当 A60时， Cb75， c2b sin C sin B22 sin 7562 ；sin 452当 A120时， C15 ， cb sin C sin B2 sin1562 sin 452点评：在三角形中，掘abABsin Asin B 这为个隐含条件，在使用时我们要留意挖法 2：二次方程的正根个数一般地，在ABC 中的边长 a ，b 和角 A ，经常可对角 A 应用余弦定理，并将其整理为关于 c 的一元二次方程 c22bc cos Ab 2a

4、 20 ，如该方程无解或只有负数解，就该三角形无解；如方程有一个正数解，就该三角形有一解；如方程有两个不等的正数解，就该三角形有两解DC【例 2】如图，在四边形ABCD 中，已知 ADCD ， AD10 ， AB14 ，BDA60 ，BCD135 ，求 BC 的长AB解：在ABD 中，设 BDx ，由余弦定理得142x210 22 10 xcos60，整理得x210x960 ，解得 x16 由正弦定理，得 BCBD sin sinCDB BCD16sin3082 sin135点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采纳正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来

5、判定显得更加简捷法 3：画圆法已知ABC 中， A 为已知角（90 ），先画出 A ，确定顶点 A ，再在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC边长为已知长度， 最终以顶点 C 为圆心， 以 CB 边长为半径画圆， 看该圆与 A 的另一边为否有第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -交点，假如没有交点，就说明该三角形的解的个数为0；如有一个交点， 就说明该三角形的解的个数为1； 如有两个交点，就说明该三角形的解的个数为2【例 3】在ABC 中，A60 ， a6 ， b3 ，就ABC 解的情形（） Ca（ A）无解（ B）有一解（C）有两解（ D）不能b 确定解：在 A 的一边上确定顶点C ，使ACb3 ，作CAD60，AD以顶点 C 为圆心，以CBa6 为半径画圆，看该圆与AD 没有交点，就说明该三角形的解的个数为0，应选 A第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -y6、 、% 6