2021年2021年三重积分的计算方法及经典例题.docx

《2021年2021年三重积分的计算方法及经典例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年2021年三重积分的计算方法及经典例题.docx（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -三重积分的运算方法：三重积分的运算为化为三次积分进行的；其实质为运算一个定积分（一重积分）和一个二重积分；从次序看：假如先做定积分z 2f (x、z1y、 z)dz ，再做二重积分F ( x、 y)dD，就为“ 投影法”，也即“先一后二” ；步骤为：找 及在 xoy 面投影域 D；多 D 上一点（ x、y）“穿线”确定 z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分） ；进而按二重积分的运算步骤运算投影域 D 上的二重积分，完成“后二”这一步；f ( x、 y、 z)dvz 2Dz1f ( x、y、 z)dzd假如先做二重

2、积分f ( x、 y、 z) dDz再做定积分c 2F ( z)dz ，就为“ 截面法 ”，c1也即“先二后一”；步骤为：确定位于平面 zc1与zc2 之间，即 z c1 、 c2 ，过 z 作平行于 xoy 面的平面截，截面Dz ；区域D z 的边界曲面都为z 的函数；运算区域Dz 上的二重积分f (x、 y、 z) dDzc 2，完成了“先二”这一步（二重 积 分 ）； 进 而 计 算 定 积 分F ( z)dzc1， 完 成 “ 后 一 ” 这 一 步 ；f ( x、 y、 z) dvc2c1Dzf (x、y、 z)d dz当被积函数 f （z）仅为 z 的函数（与 x、y 无关），且D

3、 z 的面积(z) 容易求出时，“截面法”尤为便利；为了简化积分的运算，仍有如何挑选适当的坐标系运算的问题；可 以按以下几点考虑：将积分区域投影到 xoy 面，得投影区域D(平面)（1） ） D 为 X 型或 Y 型，可挑选直角坐标系运算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系运算）第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -（2） ） D 为圆域（或其部分） ，且被积函数形如f (x 2y 2 )、f ( y ) 时，可x挑选柱面坐标系运算 （当为圆柱体或圆锥体时， 常用柱面坐标运算）（3）

4、）为球体或球顶锥体，且被积函数形如f ( x2y 2z2 )时，可选择球面坐标系运算以上为一般常见的三重积分的运算方法；对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述；三重积分的运算方法小结：1.对三重积分，采纳“投影法”仍为“截面法”，要视积分域及被积函数 f(x、y、z)的情形选取；一般地， 投影法（先一后二） ：较直观易把握；截面法（先二后一） ：D z 为在 z 处的截面，其边界曲线方程易特别地，对写错，故较难一些；Dz 积分时， f(x、y、z) 与 x、y 无关，可直接运算zSD ；因而中只要 z a、 b 、 且 f(x、y、z) 仅含 z 时，选取“截面法”更佳；2.对坐标系 的选取

5、，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或标运算；三重积分的运算方法例题：zf ( x2y 2 ) 时，可考虑用 柱面坐补例1：运算三重积分Izdxdydz，其中为平面 xyz1 与三个坐标面x0、 y0、 z0 围成的闭区域；解 1“投影法”1.画出及在 xoy 面投影域 D.2.“穿线” 0z1xy第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -0X 型D：0x 1y 1x0： 00x 1y 1xz 1xy3.运算Izdxdydz11 x1dxdy00x

6、yzdz011 xdx001 (1x2y) 2 dy11(12 0x) 2 y(1x) y 21 y3 103x dx11(1x)3 dx6 01 x3 x2x 3621 x4 110424解 2“截面法” 1.画出；2.z0、1过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 D z ；D z 为两直角边为 x、y 的直角三角形， x3.运算1z、 y1zIzdxdydz10Dzzdxdy dz1z0 D zdxdydz1zzSD dz01z( 102xy)dz1z 1 (102z)(1z)dz11 ( z2 02 z 2z3 )dz124补例 2：运算x 2y 2 dv ，其中为 x2y 2z2 和

7、z=1 围成的闭区域；解 1“投影法”zx 21.画出及在 xoy 面投影域 D.由z12 y 2消去 z，得 x 2y21 即 D：x 2y212. “穿线”x2y2z1 ，X 型D：1x11x2y1x 2第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1x1:1x2y1x2x2y 2z13.运算11 x111 x 2x2y2 dvdxdyx 2 11 x2x 2y2y 2 dzdxx 211 x 2y2 (1x 2y 2 )dy6注：可用柱坐标运算；解 2“截面法”1.画出；2.z 0、1过点 z 作

8、垂直于 z 轴的平面截得 D z ： xyz22202D z ：0rz用柱坐标运算02:0rz0z11x 2y2 dv3.运算x 2y 2 dxdy dz1 2zdr 2 dr dz12 1 r03 z dz12 z3 dz0Dz00003306补例 3：化三重积分 If ( x、 y、 z)dxdydz为三次积分，其中：zx 22 y 2及z2x 2 所围成的闭区域；解： 1.画出及在 xoy 面上的投影域 D.zx 2由z22 y2x 2消去 z，得x2y 21即 D：x2y 212.“穿线”x 22y2z2x 2X 型 D：1x11x 2y1x2第 4 页，共 7 页 - - - - -

9、 - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1x1：1x 2y1 x 2x22 y2z2x 23运算If (x、 y、 z)dxdydz11 x2dx2 x 2dyf( x、 y、 z) dz11 x222x2 y注：当 f ( x、 y、 z) 为已知的解析式时可用柱坐标运算；补例 4：运算zdv ，其中为 z6x 2y 2 及zx 2y 2所围成的闭区域；解 1“投影法”1.画出及在 xoy 面投影域 D， 用柱坐标运算xr cos由yr sin zz化的边界曲面方程为： z=6-r2， z=r2.解z6r 2得rzr2D： r2即 02

10、0r2“穿线”rz6r 20:0 r2r2z6r 26 r 23226 r 22126 r 2运算zdvzdzrdrdDrdrdr00zdzr2r z02 rdr20解 2“截面法”r( 6r 2 ) 2r 2 dr2(36r013r 2r 5 )dr92；31.画出；如图：由 z6r 2 及zr 围成；2.z 0、6 0、2 2、6121 由 z=r 与 z=2 围成；z 0、2 ， D z ： rz021 ：0rz0z2第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2 由 z=2 与 z= 6r2

11、围成；z 2、6 ， D z ： r6z022 ：0r6z2z63.运算z d v=zdv12zdv2z0Dz1rdrd dz6z2Dz 2rdrd dz2zSD z1 dz06zSD z2 dz22z(z2 ) dz06z(62z) 2 dz2z3 dz06(6 z2z2 )dz92 3注：被积函数 z 为柱坐标中的第三个变量，不能用其次个坐标r 代换；补例 5：运算(x 2y2 ) dv ，其中由不等式 0ax 2y2z2A ， z0 所确定；x解：用球坐标运算；由yzcos sin cossin sin得的边界曲面的球坐标方程：aAP，连结 OP=，其与 z 轴正向的夹角为，OP=；P在

12、 xoy 面的投影为 P ，连结 OP夹角为；，其与 x 轴正向的： aA ， 0， 02222( xy)dv22Add(00a22sin2)sind= 2sin 132055A a d= 2( A 55a 5 )2sin 3d02(A 55a 5 )2134( A515a 5 )三重积分的运算方法练习1. 运算（ x2y 2 )dv ，其中为旋转面 x 2y 22z 与平面 z=2、z=8 所围成的闭区域；第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2. 运算（ xz) dv ，其中为锥面 zx 2y 2与球面 z1x 2y2 所围成的闭区域；为了检测三重积分运算的把握情形，请同学们根据样题的格式，独立完成以上的练习，答案后续；第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -