函数的奇偶性和周期性讲稿.ppt

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1、关于函数的奇偶性和周期性第一页，讲稿共三十四页哦第二页，讲稿共三十四页哦第二单元第二单元 函数、导数及其应用函数、导数及其应用理科第三页，讲稿共三十四页哦第七讲 函数的奇偶性性和周期性第四页，讲稿共三十四页哦考考纲纲解解读读1.了了解解奇奇函函数数、偶偶函函数数的的定定义义，会会判判断断一一些些简简单单函函数数的的奇奇偶偶性性，并并能能够够用用函函数数的奇偶性解决一些函数的奇偶性解决一些函数问题问题.2.了解周期函数的定了解周期函数的定义义，并能，并能够够用函数用函数的周期性解决一些函数的周期性解决一些函数问题问题.第五页，讲稿共三十四页哦主干知识整合知识回顾（1）函数的奇偶性概念：1、定义：

2、对于定义域内的 ，总有 成立，则f(x)是偶函数；总有 成立，则f(x)是奇函数。任意任意x f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)理解：任意x；定义域是否关于原点对称；恒有 当函数是偶函数是恒有：成立 f(x)=0既是奇函数又是偶函数。第六页，讲稿共三十四页哦（2）利用定义判断函数的奇偶性的步骤为：1、首先确定函数的 ，并判断其定义域 是否关于 对称；定义域定义域 原点原点 2、确定 和f(x)的关系；f(-x)3、作出相应的结论。（3）函数的奇偶性的作用：1、作图：f(x)为偶函数f(x)的图像关于y轴对称；f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点成中心对称。2、函数的奇偶性的判定方法：

3、定义法；图像法；性质法。第七页，讲稿共三十四页哦（4）函数的奇偶性的性质和常用结论：函数的奇偶性的性质和常用结论：奇函数与奇奇函数与奇函数函数奇函数与偶奇函数与偶函数函数偶函数与偶偶函数与偶函数函数和和差差积积商商注意：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题须先证明再利用奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数第八页，讲稿共三十四页哦 2、奇函数在对称的两个区间上有 的单调性；偶函数在对称的两个区间上有 的单调性。相同相同 相反相反3、奇函数f(x)在x=0处有定义，则一

4、定有f(0)=;偶函数满足等式 .0 4、函数的定义域关于原点对称是：函数具有奇偶性的必要不充分条件函数具有奇偶性的必要不充分条件第九页，讲稿共三十四页哦（5）一些重要类型的奇偶函数：1、函数为 函数，偶偶 函数为 函数，奇奇2、函数为 函数，奇奇3、函数为 函数，奇奇第十页，讲稿共三十四页哦一般地，对于函数f(x)，如果 一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期存在f(xT)f(x)2、求函数周期的基本方法：、

5、求函数周期的基本方法：定义法；定义法；图像法；图像法；转转化化为为同一个函数的形式（如同一个函数的形式（如，）。(6)、周期性：1.定义：第十一页，讲稿共三十四页哦课前训练：课前训练：1、已知，若，则的值为（）A、B、C、D、答案：B.解答：自变量互为相反数，必定考查函数的奇偶性。f(x)是奇函数，所以f(-a)=-b.第十二页，讲稿共三十四页哦2、已知是定义在上的偶函数,那么的值是()A、B、C、D、答案：C.解答：由f(x)是偶函数知b=0.因为f(x)的定义域为a-1,2a，所以a-1+2a=0，则第十三页，讲稿共三十四页哦3、已知圆O：及以下三个函数：；其中图象能等分圆O面积的函数个数

6、为 （）A3 B2 C1 D0答案：B.解答：图象能等分圆解答：图象能等分圆O面积的函数等价于这个函数是奇函数。面积的函数等价于这个函数是奇函数。第十四页，讲稿共三十四页哦若，则 。4、已知为常数，17 解答：法一：由f(-7)=-(a7+b7+c7+d7)+5=-7,可得：a7+b7+c7+d7=12.f(7)=(a7+b7+c7+d7)+5=12+5=17.753775533法二：令h(x)=f(x)-5=ax+bx+cx+dx,显然h(x)是奇函数。h(-7)=f(-7)-5=-12,则h(7)=12=f(7)-5,f(7)=17.753第十五页，讲稿共三十四页哦5、设f(x)在R上有定

7、义，下列函数 其中必为奇函数的有 。解答：令解答：令g(x)=-|f(x)|,则则g(-x)=-|f(-x)|g(x),g(-x)-g(x),所以所以g(x)既不是奇函数也不是偶函数。既不是奇函数也不是偶函数。令令h(x)=xf(x),则则h(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-h(x),所以所以h(x)是奇函数；是奇函数；同理可知：同理可知：y=-f(-x)既不是奇函数也不是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数；y=f(x)-f(-x)是奇函数是奇函数.22第十六页，讲稿共三十四页哦6、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区

8、间8,8上有四个不同的根x ，x ，x ，x ，则x x x x _.12341234解答：由已知f(x4)f(x)，则函数f(x)的图象 关于x2对称，由f(x)在0,2上是增函数，则f(x)在2,0上递增，函数f(x)的图象如图所示：8f(x)m在区间8,8上四个不同实根x ，x ，x ，x .x x x x 1248.12341234第十七页，讲稿共三十四页哦7、设函数f(x)(xR)为奇函数，则（）A0B1 CD5 答案：C.解答：因解答：因为为f(x)f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以f(-1)=-f(1)f(-1)=-f(1)。令令x=-1x=-1得：得：f(2)=1,f(2)=

9、1,则则：f(5)=f(3)+1=f(1)+2=f(5)=f(3)+1=f(1)+2=第十八页，讲稿共三十四页哦典型例题例1、判断下列函数的奇偶性:第十九页，讲稿共三十四页哦解答：函数f(x)的定义域为(，)，其关于原点对称，并且有：f(x)是奇函数。第二十页，讲稿共三十四页哦第二十一页，讲稿共三十四页哦例2、若函数 是奇函数，则a=.。法一：利用f(-1)=-f(1),解得：法二：因为f(x)是奇函数，所以有：而 对照比较知：解得：思考：改分母呢？思考：改分母呢？第二十二页，讲稿共三十四页哦 已知函数 的最大值为M，最小值是m，则M+m的值为 。2 解答：令h(x)=f(x)-1=，显然h(

10、x)是奇函数。设f(a)=M=h(a)+1，则f(-a)=m=h(-a)+1h(a)+h(-a)=0=M+m-2，M+m=2第二十三页，讲稿共三十四页哦设x,yR,且满足：则x+y=()A1 B2 C3 D4答案：D.第二十四页，讲稿共三十四页哦已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足当 时，则函数f(x)在区间0,6 上的零点个数是 （）A3 B5 C7 D9D 第二十五页，讲稿共三十四页哦例3、已知函数f(x)满足 ，且f(x)为偶函数，当x3,4时，,试求当x-1,1时，f(x)的解析式。解答：由可得：所以函数f(x)是周期为2的周期函数。设-1x0,则3x+44,f(x+4)=log (

11、x+4)3f(x)是周期为2的周期函数，f(x+4)=f(x)=log (x+4).3第二十六页，讲稿共三十四页哦再令0 x1,则-1-x0，又函数f(x)为偶函数，f(-x)=f(x)=log (4-x).3综上所述：f(-x)=log (4-x).3第二十七页，讲稿共三十四页哦例4、已知定义域为R的偶函数f(x)在（-，0是减函数，且，求不等式 的解集。解答：因为f(x)是偶函数，所以f(log x)=f(|log x|).44由偶函数f(x)在(-，0上是减函数知：f(x)在0，+)上是增函数。解得：故原不等式的解集为第二十八页，讲稿共三十四页哦例5、定义在实数集上的函数f(x),对于任

12、意x,yR 且 求证：f(0)=1；(2)求证：f(x)是偶函数；若存在常数c,使得：求证：对任意xR，有f(x=c)=-f(x)成立；试问函数f(x)是不是周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由。第二十九页，讲稿共三十四页哦解答：（1）令x=y=0，则得：2f(0)=2f (0).2因为f(0)0,所以f(0)=1(2)令x=0,得 f(y)+f(-y)=2f(0)f(y).由（1）知f(0)=1，f(-y)=f(y)（3）即f(x+c)=-f(x)函数y=f(x)是周期为2c的周期函数。证明如下：f(x+2c)=f(x+c)+c=-f(x+c)=f(x)函数y=f(x)是

13、周期为2c的周期函数。第三十页，讲稿共三十四页哦例6、f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2,且f(x+1)=f(x+5)那么f(144)+f(3)=.-2 解答：由f(x+1)=f(x+5)知函数f(x)是周期为4的周期函数。f(144)=f(364)=f(0)=0,f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=-2.设f(x)是定义在（-，+）的偶函数，并满足 当2x 3时，f(x)=x,则f(5.5)=()A1.5 B2 C2.5 D5.5答案：C 解答：由题可知函数f(x)是周期为4的偶函数，则f(5.5)=f(8-2.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.第三十一页，讲稿共三十四页哦函数的最小正周期为 ，最大值为 。单调递减区间为 。1 解答：y=sin x+cos x=(sin x+cos x)(sin x-sin xcos x+cos x)62462224=sin x-sin xcos x+cos x=(sin x+cos x)-3sin xcos x422222224第三十二页，讲稿共三十四页哦第三十三页，讲稿共三十四页哦感感谢谢大大家家观观看看26.09.202226.09.2022第三十四页，讲稿共三十四页哦