2021年2021年一轮复习专题:数列中的存在性问题.docx
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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -专题:数列中的存在性问题学大苏分教研中心周坤一.单存在性变量解题思路:该类问题往往和恒成立问题相伴显现(否就就为一个方程有解问题,中,即零点问题),可以先假设存在, 列出一个等式, 通过化简, 整理成关于任意性变量 (一般为 n)的方程,然后n 的系数为 0,构造方程,进而解出存在性变量,最终检验;例 1.已知数列 an 的前 n 项和为Sn = 3n 25n ,在数列 bn b1 =8 ,64bn 1bn =0,问为否存在常数c 使得对任意 n ,anlog c bn 恒为常数 M ,如存在求出常数c和 M 、如不存
2、在说明理由 .解析:假设存在常数c 使得对任意 n , anlog c bn恒为常数 M , Sn = 3n 25n ,3n2当 n =1 时,就a1 =S1 =8,当n 2 时, an =当n =1 适合,SnSn 1 =5n3(n1)25(n1)= 6n2 , a n = 6n又 64bn 12 ,bn =0 ,bn 1bn=164 ,数列 bn 为首项为 8,公比为164 的等比数列, bn =8( 1 ) n64129 6n=,alogb6 n2log29 6n6n2(96n)log26(1log2) n29log2就ncn =c=a=aa,又对任意 n , anlog cbn 恒为常
3、数 M , 6(1log a 2) =0,解得 c =2,1 / 13第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - M = 29log a 2 =11,存在常数 c =2 使得对任意 n , anlog c bn 恒为常数 M =11.二.双存在型变量解题思路:先假设存在,依据题目条件,列出一个含有两个变量(一般至少都为正整数)的等式,即转化为一个数论中的双整数问题,然后分别变量;假如可以分别常数,就利用数论中约数的学问列出全部可能情形,最终进行双检验,即对两个变量均进行条件检验;假如不行以分别常数
4、,就利用分别出的变量所具有的隐含范畴(如大于 0)消元,进而构造一个不等式,解出另一个变量的范畴,再列出求出的被压缩的范畴里的全部整数值,分别求出对应的另一个存在性变量,最终进行检验;例 2.【2021 南通一模】设等差数列 an 的前 n 项和为Sn,且 a5a1334,S39 ( 1)求数列 an 的通项公式及前n 项和公式;bn( 2)设数列 bn 的通项公式为anant,问: 为否存在正整数t,使得b1,b2, bm( m3, mN ) 成等差数列?如存在,求出t 和 m 的值;如不存在,请说明理由.a5a1334,【解】( 1)设等差数列 an 的公差为 d. 由已知得3a29,2
5、分a18d17,a11,2即a1d3, 解得d2.4 分.故 an2n1,Snn .6 分bn( 2) 由 ( 1 ) 知2n12n1t . 要 使b1 , b2, bm成 等 差 数 列 , 必 须2b2b1bm , 即2312m13t1t2m1t ,8 分.2 / 13第 2 页,共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -m( 3)整理得34t1 ,11 分由于 m, t 为正整数,所以t 只能取 2, 3, 5.当 t2 时, m7 ;当 t3 时, m5;当 t5 时, m4 .故存在正整数t,使得b
6、1 , b2, bm 成等差数列 .15 分例 3.设数列an的前 n 项和Sn2bn,数列bn满意ananm(mN * ).n()如b1 、b2 、 b8 成等比数列,试求m 的值;*()为否存在m ,使得数列bn中存在某项 bt满意 b1 、 b4、bt(tN 、t5) 成等差数列?如存在,请指出符合题意的m 的个数;如不存在,请说明理由.n解:()由于Sn2,所以当 n2 时,anSnSn 12n13 分又当 n1 时, a1S11,适合上式,所以an2n1( nN *)4 分2n113152bn2n1mb1、 b21m、b83m15mbb b所以, 就(3)2115,由21 8 ,得3
7、m1m15m ,解得 m0 (舍)或 m9 ,所以 m97 分b 、b 、 b (tN * 、 t5)2bbb()假设存在m ,使得14t成等差数列,即41t ,就2712t1t7367m1m2t1m ,化简得m512 分所以当 m51、2、3、4、6、9、12、18、36时,分别存在t43、25、19、16、13、11、10、9、8适合题意,即存在这样 m ,且符合题意的m 共 有 9 个14 分例 4.【2021 徐州三模】aSna 2S已知数列n为各项均不为0 的等差数列,n 为其前项和,且满意n2 n 1 ,3 / 13第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - -精
8、品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -bn令an1an 1,数列bn的前 n 项和为Tn .( 1)求数列an的通项公式及数列bn的前 n 项和为 Tn ;( 2)为否存在正整数m、 n (1m n) ,使得T1 、Tm 、Tn 成等比数列?如存在,求出全部的m、 n 的值;如不存在,请说明理由.a 2S(a1a2n1 )(2 n1)(2 n1)a解:( 1)由于an为等差数列,由n2 n 1n2,又由于 an0 ,所以 an2 n1 ,2 分nb111 (11)由anan 1(2 n1)(2n1)22n12n1111111nTn(1)所以23352n12
9、n12n1 6 分nTnT11、Tmmn、Tn(2)由(1)知,2n1 ,所以32m12n1 ,(m) 21 (n)m2n如T1、 Tm 、Tn成等比数列,就2m132n1,即4m24m16n3 8 分m2n32m24m1解法一:由4m24m16 n3 ,可得n m2,2所以2m4m10 ,12 分16m16从而:22,又 mN , 且 m1,所以 m2 ,此时 n12 故可知:当且仅当m2 ,n12 使数列Tn中的 T1 、Tm、 Tn 成等比数列;16 分n1126n336m21解法二:由于6n,故4m24m16 ,即 2m4 m10 ,12 分661m1从而:22,(以下同上)4 / 1
10、3第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -三.三个存在型变量- 连续的解题思路:这类问题的形式一般为,“为否存在连续的三项,恰好成等差数列(或等比数列)”;可以先假设存在,然后构造一个关于单存在性变量的方程,即转化为一个方程有正整数根的问题,我们可以依据处理零点问题的方法(“解方程”或者“画图像”)求解;n例 5.【扬州 2021一模】已知数列 an, anpq n ( p0、 q0、 pq、R、0、 nN *) .求证:数列 an 1pan为等比数列;数列 an 中,为否存在连续的三项,这三项
11、构成等比数列?试说明理由;A( n、b ) | b3nk n 、 nN *kkN设nn,其中为常数,且,B( n、 cn ) | cn5n 、 nN *, 求 AB.n解:an = pnqan,1n 1panpn 1nqp ( pnnq )q (qp ) ,0、 q0、 pq an 2an 1pan 1panq为常数数列 an 1pan 为等比数列 -4 分取数列 an的连续三项an 、 an1、 an2 (n1、nN ) ,a2n 1an an 2( pn 1qn 1 )2( p nqn )( p n 2q n 2 )pn qn ( pq ) 2p0、 q0、 pq 、0 ,nn2,p q(
12、 pq )2a0 ,即n 1anan 2 ,数列 an 中不存在连续三项构成等比数列;-9 分当 k当k1时, 3knnn3nn时, 3k33n15n ,此时 BC;nn3n2 3 为偶数;而 5 为奇数,此时BC;nn当k5 时, 3k5n ,此时 BC;-12 分当k2 时, 3n2 n5n ,发觉 n1 符合要求,5 / 13第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -下面证明唯独性(即只有n1 符合要求);3 n2 nnnn由325 得()()155,f ( x)3 x2 x3 x2 x()
13、()设55f (x)()(),就55为 R 上的减函数, f ( x)1 的解只有一个3 n2 n从而当且仅当 n()()1nn1 时55,即 325n ,此时 BC(1、5) ;当k4 时, 3n4 n5n ,发觉 n2 符合要求,下面同理可证明唯独性(即只有n2 符合要求);3 n4 n从而当且仅当 n()()1nn2 时55,即 345n ,此时 BC(2、25);综上,当 k1 , k3或 k5 时, BC;当k2 时, BC(1、5) ,当k4 时, BC(2、25);-16 分四.三个存在型变量- 不同的解题思路:这类问题的形式一般为,“为否存在不同的三项,恰好成等差数列(或等比数
14、列)”,不难看出,三个存在型变量均显现在下标,这就等于给定了两个隐含条件,其一,三个变量均为正整数,其二,三个变量互不相等;另外,一旦我们主动去分析数列的单调性,那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小次序;详细的,该类问题可以分成三类;其一,等差中找等比(无理有理找冲突)6 / 13第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 6.【扬州 2021三模】1a n +、24n为偶数 、已知数列 an满意:an =2an+12- a +1 、 n为奇数2、(nN * 、 aR、a为常数),数列 b
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