函数矩阵与矩阵微分方程 (2)讲稿.ppt

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1、第一章第一章 第一节第一节 函数函数关于函数矩阵与矩阵微分方程(2)第一页，讲稿共四十五页哦称为函数矩阵，其中所有的元素称为函数矩阵，其中所有的元素都是定义在闭区间都是定义在闭区间 上的实函数。上的实函数。函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。相同。例：例：已知已知第二页，讲稿共四十五页哦计算计算定义：定义：设设 为一个为一个 阶函数矩阵，如果存阶函数矩阵，如果存在在 阶函数矩阵阶函数矩阵 使得对于任何使得对于任何 都有都有那么我们称那么我们称 在区间在区间 是是可逆的可逆的

2、。第三页，讲稿共四十五页哦称称 是是 的逆矩阵，一般记为的逆矩阵，一般记为例例：已知已知那么那么 在区间在区间 上是可逆的，其逆为上是可逆的，其逆为第四页，讲稿共四十五页哦函数矩阵可逆的充分必要条件函数矩阵可逆的充分必要条件定理定理:阶矩阵阶矩阵 在区间在区间 上可逆的充分上可逆的充分必要条件是必要条件是 在在 上处处不为零，并且上处处不为零，并且其中其中 为矩阵为矩阵 的伴随矩阵。的伴随矩阵。定义：定义：区间区间 上的上的 型矩阵函数不恒型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为等于零的子式的最高阶数称为 的的秩秩。第五页，讲稿共四十五页哦特别地，设特别地，设 为区间为区间 上的上的 阶矩阵函

3、数，阶矩阵函数，如果如果 的秩为的秩为 ，则称，则称 一个一个满秩矩阵满秩矩阵。注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。不一定是可逆的。例例 ：已知已知第六页，讲稿共四十五页哦那么那么 。于是。于是 在任何区间在任何区间 上的秩都是上的秩都是2。即。即 是满秩的。但是是满秩的。但是 在在 上是否可逆，完全依赖于上是否可逆，完全依赖于 的取值。当区间的取值。当区间 包含有原点时，包含有原点时，在在 上有零点，从而上有零点，从而 是不可逆的是不可逆的。函数

4、矩阵对纯量的导数和积分函数矩阵对纯量的导数和积分 定义：定义：如果如果 的所有各元素的所有各元素 在在 处有极限，即处有极限，即 第七页，讲稿共四十五页哦其中其中 为固定常数。则称为固定常数。则称 在在 处有处有极限极限，且记为，且记为其中其中第八页，讲稿共四十五页哦如果如果 的各元素的各元素 在在 处连续，处连续，即即则称则称 在在 处处连续连续，且记为，且记为其中其中第九页，讲稿共四十五页哦容易验证下面的等式是成立的：容易验证下面的等式是成立的：设设则则第十页，讲稿共四十五页哦定义定义：如果如果 的所有各元素的所有各元素 在点在点 处处(或在或在区间区间 上上)可导，便称此函数矩阵可导，便

5、称此函数矩阵 在点在点 处处(或在区间或在区间 上上)可导可导，并，并且记为且记为第十一页，讲稿共四十五页哦第十二页，讲稿共四十五页哦函数矩阵的导数运算有下列性质：函数矩阵的导数运算有下列性质：(1)是常数矩阵的充分必要条件是是常数矩阵的充分必要条件是(2)设设均可导，则均可导，则 第十三页，讲稿共四十五页哦(3)设设 是是 的纯量函数，的纯量函数，是函数矩是函数矩阵，阵，与与 均可导，则均可导，则特别地，当特别地，当 是常数是常数 时有时有第十四页，讲稿共四十五页哦(4)设设 均可导，且均可导，且 与与 是可乘是可乘的，则的，则因为矩阵没有交换律，所以因为矩阵没有交换律，所以第十五页，讲稿共

6、四十五页哦(5)如果如果 与与 均可导，则均可导，则(6)设设 为矩阵函数，为矩阵函数，是是 的纯量函数，的纯量函数，与与 均可导，则均可导，则第十六页，讲稿共四十五页哦定义：定义：如果函数矩阵如果函数矩阵 的所有的所有各元素各元素 在在 上可积，则称上可积，则称 在在 上上可积可积，且，且第十七页，讲稿共四十五页哦函数矩阵的定积分具有如下性质：函数矩阵的定积分具有如下性质：例例1：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算第十八页，讲稿共四十五页哦证明：证明：第十九页，讲稿共四十五页哦由于由于 ，所以，所以下面求下面求 。由伴随矩阵公式可得。由伴随矩阵公式可得 第二十页，讲稿共四十五页哦再求再求第

7、二十一页，讲稿共四十五页哦例例2：已知函数矩阵已知函数矩阵第二十二页，讲稿共四十五页哦试求试求例例3：已知函数矩阵已知函数矩阵试求试求证明：证明：第二十三页，讲稿共四十五页哦同样可以求得同样可以求得第二十四页，讲稿共四十五页哦例例4：已知函数矩阵已知函数矩阵试计算试计算第二十五页，讲稿共四十五页哦函数向量的线性相关性函数向量的线性相关性定义定义：设有定义在区间设有定义在区间 上的上的 个连续的函数个连续的函数向量向量如果存在一组不全为零的常实数如果存在一组不全为零的常实数使得对于所有的使得对于所有的 等式等式成立，我们称，在成立，我们称，在 上上 线性相关线性相关。第二十六页，讲稿共四十五页哦

8、否则就说否则就说 线性无关。即线性无关。即如果只有在如果只有在 等式才成立，等式才成立，那么就说那么就说 线性无关。线性无关。定义定义：设设 是是 个定义在区个定义在区间间 上的连续函数向量上的连续函数向量记记第二十七页，讲稿共四十五页哦以以 为元素的常数矩阵为元素的常数矩阵称为称为 的的Gram矩阵，矩阵，称为称为Gram行列式行列式。定理定理：定义在区间定义在区间 上的连续函数向量上的连续函数向量 线性无关的充要条件是它线性无关的充要条件是它的的Gram矩阵为满秩矩阵。矩阵为满秩矩阵。第二十八页，讲稿共四十五页哦例例：设设则则于是于是 的的Gram矩阵为矩阵为第二十九页，讲稿共四十五页哦所

9、以所以故当故当 时，时，在在 上是线性无关的。上是线性无关的。第三十页，讲稿共四十五页哦定义：定义：设设 是是 个定义在区间个定义在区间 上的上的 有有 阶导数的函数向量，记阶导数的函数向量，记那么称矩阵那么称矩阵第三十一页，讲稿共四十五页哦第三十二页，讲稿共四十五页哦是是 的的Wronski矩阵。矩阵。其中其中 分别是分别是 的一阶，二阶，的一阶，二阶，阶导数矩阵。阶导数矩阵。定理：定理：设设 是是 的的Wronski矩阵。如果在区间矩阵。如果在区间 上的某个点上的某个点 ，常数矩阵，常数矩阵 的秩等于的秩等于 ，则向量，则向量 在在 上线性无关。上线性无关。第三十三页，讲稿共四十五页哦例例

10、：设设则则因为因为 的秩为的秩为2，所以，所以 与与 线性无关。线性无关。第三十四页，讲稿共四十五页哦 函数矩阵在微分方程中的应用函数矩阵在微分方程中的应用形如形如第三十五页，讲稿共四十五页哦的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式以表示成如下形式以表示成如下形式以表示成如下形式其中其中其中其中第三十六页，讲稿共四十五页哦第三十七页，讲稿共四十五页哦上述方程组的初始条件为上述方程组的初始条件为可以表示成可以表示成定理：定理：设设 是一个

11、是一个 阶常数矩阵，则微分方程组阶常数矩阵，则微分方程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为第三十八页，讲稿共四十五页哦定理：定理：设设 是一个是一个 阶常数矩阵，则微分方程阶常数矩阵，则微分方程组组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为例例1：设设第三十九页，讲稿共四十五页哦求微分方程组求微分方程组 满足初始条满足初始条件件 的解。的解。解：解：首先计算出矩阵函数首先计算出矩阵函数第四十页，讲稿共四十五页哦由前面的定理可知微分方程组由前面的定理可知微分方程组满足初始条件满足初始条件 的解为的解为第四十一页，讲稿共四十五页哦例例2：设设求微分方程组求微分方程组 满足初始满足初始条件条件 的解。的解。解：解：由上述定理可知满足所给初始条件的微分由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为方程组解为第四十二页，讲稿共四十五页哦由上面的例题可知由上面的例题可知而而第四十三页，讲稿共四十五页哦所以有所以有第四十四页，讲稿共四十五页哦第一章第一章 第一节第一节 函数函数感感谢谢大大家家观观看看9/26/2022第四十五页，讲稿共四十五页哦