第三章 一元函数的积分学精选文档.ppt

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1、第三章 一元函数的积分学本讲稿第一页，共四十九页要求要求1理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法元积分法和分部积分法2了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法3会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值，

2、会利用定积分求会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题解简单的经济应用问题4了解反常积分的概念，会计算反常积分了解反常积分的概念，会计算反常积分本讲稿第二页，共四十九页3.1 不定积分内容重点内容重点：1.不定积分、原函数的定义不定积分、原函数的定义2.不定积分的计算不定积分的计算(主要是换元法和分部积分法主要是换元法和分部积分法)本讲稿第三页，共四十九页例例定义：定义：1、原函数与不定积分的概念本讲稿第四页，共四十九页原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.注意：注意：(1)原函数不唯一原函数不唯一;(2)

3、原函数之间的关系原函数之间的关系:若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，本讲稿第五页，共四十九页任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量本讲稿第六页，共四十九页显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.本讲稿第七页，共四十九页基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为2、基本积分表本讲稿第八页，共四十九页本讲稿第九页，共四十九页本讲稿第十页，共四

4、十九页（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）3、不定积分的性质本讲稿第十一页，共四十九页凑微分法凑微分法说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为4、不定积分的计算即本讲稿第十二页，共四十九页则有换元公式则有换元公式定理定理2 2一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令换元法换元法 积分中为了化掉根式积分中为了化掉根式是否一定采用三角代是否一定采用三角代换并不是绝对的，需换并不是绝对的，需根据被积函数的情况根据被积函数的情况来定来定.本讲稿第十三页，共四十九页基基本本积积分分表表本讲稿第十四

5、页，共四十九页本讲稿第十五页，共四十九页由导数公式积分得:分部积分公式分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.分部积分法本讲稿第十六页，共四十九页 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .若分部产生循环式,由此解出积分式(注意:两次分部选择的 u,

6、v 函数类型不变,解出积分后加 C)本讲稿第十七页，共四十九页3.2 定积分内容重点内容重点：1.定积分的定义定积分的定义3.定积分的计算定积分的计算(主要是换元法和分部积分法主要是换元法和分部积分法)4.定积分的性质及积分中值定理定积分的性质及积分中值定理5.定积分在几何（求面积及旋转体的体积）上的应用定积分在几何（求面积及旋转体的体积）上的应用6.广义积分的收敛与发散，广义积分的计算广义积分的收敛与发散，广义积分的计算2.变上限积分及其导数变上限积分及其导数本讲稿第十八页，共四十九页1、定积分定义定义定义本讲稿第十九页，共四十九页被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为

7、积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和本讲稿第二十页，共四十九页注意：注意：本讲稿第二十一页，共四十九页定理定理1 1定理定理2 2 存在定理本讲稿第二十二页，共四十九页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的曲边梯形的面积的负值负值 定积分的几何意义本讲稿第二十三页，共四十九页几何意义：几何意义：本讲稿第二十四页，共四十九页2、定积分的性质、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k 为常数)本讲稿第二十五页，共四十九页6.若在 a,b 上则推论推论1.若在 a,b 上则推论推论2.7.设则8.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使本讲稿第二十六页，共四十九页考察定积分考察定积分记记

8、积分上限函数积分上限函数3、积分上限函数及其导数本讲稿第二十七页，共四十九页 积分上限函数的导数积分上限函数的导数补充补充本讲稿第二十八页，共四十九页定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）4、牛顿莱布尼茨公式本讲稿第二十九页，共四十九页微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.本讲稿第三十页，共四十九页定理定理5、定积分的换元法和分部积分法设函数单值函数满足:1)2)定积分的换元公式定积分的换元公式本讲稿第三十一页，共四十九页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）本讲稿第三十二页，共四十九页定

9、积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 定积分的分部积分法本讲稿第三十三页，共四十九页本讲稿第三十四页，共四十九页6、广义积分无穷限的广义积分无穷限的广义积分本讲稿第三十五页，共四十九页本讲稿第三十六页，共四十九页则定义(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分.并非不定型,说明说明:上述定义中若出现 它表明该反常积分发散.本讲稿第三十七页，共四十九页引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式:本讲稿第三十八页，共四十九页 无界函数的反常积分无界函数的反常积分本讲稿第三十九页，共四十九页本讲稿第四十页，共四十九页定义中定义中C

10、为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.本讲稿第四十一页，共四十九页注意注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则则可相消吗可相消吗?本讲稿第四十二页，共四十九页微元法微元法7.定积分的应用本讲稿第四十三页，共四十九页这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积。平面图形的面积；体积。本讲稿第四十四页，共四十九页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积 平面图形的面积1.直角坐标系情形本讲稿第四十五页，共四十九页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台 旋转体的体积本讲稿第四十六页，共四十九页xyo旋转体的体积为旋转体的体积为本讲稿第四十七页，共四十九页本讲稿第四十八页，共四十九页平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算也可用定积分来计算.立体体积立体体积本讲稿第四十九页，共四十九页