初等数论程耀PPT讲稿.ppt

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1、初等数论程耀第1页，共23页，编辑于2022年，星期五素数和合数素数和合数算术基本定理：任意正整数n可以写成n=2a1*3a2*5a3*,其中a1,a2,a3等为非负整数素数的判定：判定函数 筛法求素数 miller_rabin素性判定第2页，共23页，编辑于2022年，星期五素数的判定素数的判定bool Is_prime(int n)int t=(int)sqrt(n);for(int i=2;i=t;i+）if(n%i=0)return false;return true;第3页，共23页，编辑于2022年，星期五筛法求素数筛法求素数思考：如果一个数是合数，那么它的素因子都比它小？这样说来

2、：如果我们的当前数是 a,那么所有 a的倍数（当然是2倍以上啦）都不会是素数，可以这样看吧？于是，我们可以一种新的素数判定方法。第4页，共23页，编辑于2022年，星期五筛法求素数筛法求素数方法：每次用一个素数，去筛掉所有它的倍数。举个例子：2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 30筛去2的倍数，剩下3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29筛去3的倍数，剩下5 7 11 13 17 19 25 29 。注意：开头的数一定是素数？第5页，共23页，编辑

3、于2022年，星期五筛法求素数筛法求素数bool prime maxn;/时间复杂度O(n)?void init()memset(prime,0,sizeof(prime);for(int i=4;i maxn;i+=2)primei=1;for(int i=3;i maxn;i+=2)if(!prime i)for(int j=i*i;j maxn;j+=i)prime j=1;第6页，共23页，编辑于2022年，星期五miller_rabin素性判定素性判定miller_rabin是一种概率型的算法，不是确定型的。但是，只要运行次数足够多，一般出错的概率是非常小的，一般10次就好了！算法复

4、杂度是 O(logn)3)算法的正确性是基于费马小定理。费马小定理：对于素数p和任意整数a，有a(p-1)=1(mod p)。反过来，满足a(p-1)=1(mod p),p也几乎一定是素数。第7页，共23页，编辑于2022年，星期五miller_rabin算法分析算法分析bool miller_rabin(LL n)if(n2)return false;if(n=2)return true;if(!(n&1)return false;for(int i=1;i=1;t+;/这个地方是通过一个推论来优化的，x2=1(mod n),当那个n是合数的时候，就会出现非平凡平方根！LL x=quick_

5、mod(a,m,n);for(int i=1;i=t;i+)y=muti(x,x,n);if(y=1&x!=1&x!=n-1)return true;x=y;if(y!=1)return true;else return false;第9页，共23页，编辑于2022年，星期五快速幂取模快速幂取模题目：求出mn(mod p)的值，其中 m=10000,n=1;/n右移两位，相当于除2t=t*t%n;return ret;PS：与快速幂取模类似的还有矩阵快乘，这里不展开第12页，共23页，编辑于2022年，星期五最大公约数（最大公约数（gcd)普通算法：求出c=min(a,b),如果找到c|a&c

6、|b,那么c减一，然后循环继续，直到 找到 c满足条件为止。欧几里得算法：int gcd(int a,int b)return b?gcd(b,a%b):a;第13页，共23页，编辑于2022年，星期五欧几里得算法的证明欧几里得算法的证明证明：令m是a,b 的公约数，而a可以表示为a=n*b+r,其中r=0&rb那么r=a-n*b,可以知道r 能够被 m 整除。同理：如果m是r 和 b 的公约数。那么，a=n*b+r,所以，m也能够整除a.由上面的两条可知：a,b和b,r具有相同的公约数，故欧几里得算法成立。第14页，共23页，编辑于2022年，星期五扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法应用：常用

7、来求解形如a*x+b*y=gcd(a,b)的二元一次不定方程代码如下：void extended_gcd(int a,int b,int&x,int&y)if(b=0)x=1;y=0;return;extended_gcd(b,a%b,x,y);int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;第15页，共23页，编辑于2022年，星期五扩展欧几里得算法分析扩展欧几里得算法分析证明：令d=gcd(a,b);a*x+b*y=d.b*x1+(a%b)*y1=d.那么我们可以由x1,y1的值反推出x,y的值。把两式联立，消去d,并且用a-a/b*b来替换a%b;然后可以令x=y1,推出y=x1

8、-a/b*y1;第16页，共23页，编辑于2022年，星期五扩展欧几里得算法的注意事项扩展欧几里得算法的注意事项形如a*x+b*y=c的方程,如果gcd(a,b)能够整除c,那么此方程有解，否则无解。并且它的特解形式为x=c/gcd(a,b)*x0,y=c/gcd(a,b)*y0(其中 x0,y0是用扩展欧几里得算法求出的解）通解的形式：x=x0-b/d*ty=y0+a/d*t其中：t是整数。第17页，共23页，编辑于2022年，星期五a关于模关于模n的乘法逆元的乘法逆元什么是乘法逆元？如果a*b=1(mod n),那么b就是a 关于模n的乘法逆元，此时，也可以称作a与b互为乘法逆元。第18页

9、，共23页，编辑于2022年，星期五乘法逆元的应用乘法逆元的应用题目：输出C(n,m)%p,其中p是一个素数。n10000.思考：如果使用边除边模的方法，也会有出现大数，导致精度溢出。(a/b)%p!=(a%p)/(b%p)%p;解决方案：除以一个数并取模，就相当于是乘以它的逆元然后再取模。第19页，共23页，编辑于2022年，星期五如何求解乘法逆元如何求解乘法逆元上式等价a*x+b*n=1的解，所以可以应用扩展欧几里得算法来求出x的值。为了保证x是正整数，通常需要加上：x=(x%n+n)%n；int inv(int a,int n)int x,y;extended_gcd(a,n,x,y);x=(x%n+n)%n;return x;第20页，共23页，编辑于2022年，星期五扩展阅读扩展阅读AekdyCoin的博客：http:/ you for listening第23页，共23页，编辑于2022年，星期五