多元函数微分学的几何应用课件.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 关于多元函数微分学的几何应用现在学习的是第1页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 一、一、一元向量值函数及其导数一元向量值函数及其导数引例引例:已知空间曲线 的参数方程:的向量方程 对 上的动点M,即 是此方程确定映射,称此映射为一元向量 的终点M 的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.值函数.要用向量值函数研究曲线的连续性连续性和光滑性光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.现在学习的是第2页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:给定数集 D R,称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为定义域自变量因变量向量值函数的极限、连

2、续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限极限：连续连续：导数导数：因此下面仅以 n=3 的情形为代表现在学习的是第3页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义向量值函数导数的几何意义:在 R3中,设的终端曲线为,切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t 的增长方向一致.,则设现在学习的是第4页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有 速度向量：加速度向量：现在学习的是第5页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设空

3、间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于解解:的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与 t 的增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为=6现在学习的是第6页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 二、二、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面法平面.置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限位给定光滑曲线 在点法式可建立曲线的法平面方程利用点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程现在学习的是第7页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数

4、方程的情况因此曲线 在点 M 处的则 在点M 的切向量为法平面方程法平面方程 给定光滑曲线为0,切线方程切线方程现在学习的是第8页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求曲线在点 M(1,1,1)处的切线 方程与法平面方程.解：解：点(1,1,1)对应于故点M 处的切向量为因此所求切线方程为 法平面方程为即现在学习的是第9页，共29页目录 上页 下页 返回 结束(2)光滑曲线的方程为切向量法平面方程法平面方程 切线方程切线方程现在学习的是第10页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第11页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况

5、光滑曲线曲线上一点 可表示为处的切向量为 法平面方程法平面方程 切线方程切线方程现在学习的是第12页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.解法解法2 方程组两边对 x 求导,得曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得现在学习的是第13页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 切线方程即法平面方程即点 M(1,2,1)处的切向量现在学习的是第14页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 三、三、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0.则 在且点 M 的切向量切向量为任意引一条光

6、滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.现在学习的是第15页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 证证:在 上,得令由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.现在学习的是第16页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 曲面 在点 M 的法向量法向量:法线方程法线方程 切平面方程切平面方程 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线法线.现在学习的是第17页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 曲面时,则在点故当函数 法线方程法线方程令特别特别,当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时,

7、切平面方程切平面方程法向量法向量现在学习的是第18页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 法向量法向量用将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习 现在学习的是第19页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:令所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)现在学习的是第20页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 所以曲面在点(2,1,0)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量解解:令现在学习的是第21页，

8、共29页目录 上页 下页 返回 结束 例例8.确定正数 使曲面在点解解:二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面,因此有现在学习的是第22页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结内容小结现在学习的是第23页，共29页目录 上页 下页 返回 结束(2)光滑曲线的方程为切向量法平面方程法平面方程 切线方程切线方程现在学习的是第24页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点 可表示

9、为处的切向量为 法平面方程法平面方程 切线方程切线方程现在学习的是第25页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面曲面 在点法线方程法线方程1)隐式情况.的法向量法向量切平面方程切平面方程 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线现在学习的是第26页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量现在学习的是第27页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)现在学习的是第28页，共29页目录 上页 下页 返回 结束 感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第29页，共29页