第三章解线性方程组的直接法精选文档.ppt

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1、第三章解线性方程组的直接法数值分析 主讲教师 1本讲稿第一页，共九十三页3.1 基础知识n3.1.1 引言n3.1.2 矩阵特征值与谱半径n3.1.3 对称正定矩阵n3.1.4 正交矩阵与初等矩阵本讲稿第二页，共九十三页3.1.1 引言n对于n个变量n个线性方程组求解，其表达式为：n用向量矩阵表示可表示为：本讲稿第三页，共九十三页其中本讲稿第四页，共九十三页本讲稿第五页，共九十三页3.1.2矩阵特征向量与谱半径本讲稿第六页，共九十三页本讲稿第七页，共九十三页本讲稿第八页，共九十三页本讲稿第九页，共九十三页本讲稿第十页，共九十三页本讲稿第十一页，共九十三页3.1.3 对称正定矩阵本讲稿第十二页，

2、共九十三页本讲稿第十三页，共九十三页3.1.4 正交矩阵与初等矩阵本讲稿第十四页，共九十三页本讲稿第十五页，共九十三页本讲稿第十六页，共九十三页本讲稿第十七页，共九十三页本讲稿第十八页，共九十三页3.2 Gauss消去法n3.2.1 Gauss顺序消去法 n3.2.2 消去法与矩阵三角分解n3.2.3 列主元消去法本讲稿第十九页，共九十三页3.2.1 Gauss顺序消去法本讲稿第二十页，共九十三页本讲稿第二十一页，共九十三页本讲稿第二十二页，共九十三页本讲稿第二十三页，共九十三页本讲稿第二十四页，共九十三页本讲稿第二十五页，共九十三页本讲稿第二十六页，共九十三页本讲稿第二十七页，共九十三页3.

3、2.2消去法与矩阵三角分解定理：本讲稿第二十八页，共九十三页3.2.3 列主元消去法本讲稿第二十九页，共九十三页选主元素的矩阵表示也称初等置换矩阵本讲稿第三十页，共九十三页3.3 直接三角分解法n3.3.1 Doolittle分解法n3.3.2 Cholesky分解与平方根法 n3.3.3 三对角方程组的追赶法本讲稿第三十一页，共九十三页3.3.1 Doolittle分解法本讲稿第三十二页，共九十三页本讲稿第三十三页，共九十三页本讲稿第三十四页，共九十三页本讲稿第三十五页，共九十三页本讲稿第三十六页，共九十三页3.3.2 Cholesky分解与平方根法本讲稿第三十七页，共九十三页本讲稿第三十八

4、页，共九十三页利用Cholesky分解将AX=b转化为，令，则原方程等价解以下两个方程本讲稿第三十九页，共九十三页例 用平方根法解方程组解 验证A正定，由Cholesky分解求得本讲稿第四十页，共九十三页3.3.3 三对角方程组的追赶法本讲稿第四十一页，共九十三页本讲稿第四十二页，共九十三页下面举实例用追赶法来解三对角方程组。本讲稿第四十三页，共九十三页本讲稿第四十四页，共九十三页追赶法计算量：5n-4次乘法，o(n),计算量小；稳定性：普半径小于1，稳定。本讲稿第四十五页，共九十三页直接解法的直接解法的atlab求解求解1利用左除运算符的直接解法利用左除运算符的直接解法对于线性方程组对于线性

5、方程组Ax=b，可以利用左除运算符，可以利用左除运算符“”求解：求解：x=Ab本讲稿第四十六页，共九十三页例例1 用直接解法求解下列线性方程组。用直接解法求解下列线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;x=Ab本讲稿第四十七页，共九十三页2利用矩阵的分解求解线性方程组利用矩阵的分解求解线性方程组矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、分解、QR分解、分解、Cho

6、lesky分解，以及分解，以及Schur分解、分解、Hessenberg分解、分解、奇异分解等。奇异分解等。本讲稿第四十八页，共九十三页(1)LU分解分解矩阵的矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明，只要方阵A是非奇是非奇异的，异的，LU分解总是可以进行的。分解总是可以进行的。MATLAB提供的提供的lu函数用于对矩阵进行函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式分解，其调用格式为：为：L,U=lu(X)：产生一个上三角阵：产生一个上三角阵U

7、和一个变换形式的下三角阵和一个变换形式的下三角阵L(行行交换交换)，使之满足，使之满足X=LU。注意，这里的矩阵。注意，这里的矩阵X必须是方阵。必须是方阵。L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵：产生一个上三角阵U和一个下三角阵和一个下三角阵L以及一个以及一个置换矩阵置换矩阵P，使之满足，使之满足PX=LU。当然矩阵。当然矩阵X同样必须是方阵。同样必须是方阵。实现实现LU分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b的解的解x=U(Lb)或或x=U(LPb)，这样可以大大提高运算速度。，这样可以大大提高运算速度。本讲稿第四十九页，共九十三页例例2 用用LU分解求解例题中的线性方程组。分解求解例

8、题中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;L,U=lu(A);x=U(Lb)或采用或采用LU分解的第分解的第2种格式，命令如下：种格式，命令如下：L,U,P=lu(A);x=U(LP*b)本讲稿第五十页，共九十三页(2)QR分解分解对矩阵对矩阵X进行进行QR分解，就是把分解，就是把X分解为一个正交矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个和一个上三角矩阵上三角矩阵R的乘积形式。的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。分解只能对方阵进行。MATLAB的函数的函数qr可用于对矩阵进行可用于对矩阵进行QR分解，其调用格

9、式分解，其调用格式为：为：Q,R=qr(X)：产生一个一个正交矩阵：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵和一个上三角矩阵R，使之满足使之满足X=QR。Q,R,E=qr(X)：产生一个一个正交矩阵：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵、一个上三角矩阵R以及以及一个置换矩阵一个置换矩阵E，使之满足，使之满足XE=QR。实现实现QR分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b的解的解x=R(Qb)或或x=E(R(Qb)。本讲稿第五十一页，共九十三页例例3 用用QR分解求解例题中的线性方程组。分解求解例题中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;

10、1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;Q,R=qr(A);x=R(Qb)或采用或采用QR分解的第分解的第2种格式，命令如下：种格式，命令如下：Q,R,E=qr(A);x=E*(R(Qb)本讲稿第五十二页，共九十三页(3)Cholesky分解分解如果矩阵如果矩阵X是对称正定的，则是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵分解将矩阵X分解成一个分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三，则下三角矩阵为其转置，即角矩阵为其转置，即X=RR。MATLAB函数函数chol(X)用于对矩用于对矩阵阵X进行进行Cholesky分解，其调

11、用格式为：分解，其调用格式为：R=chol(X)：产生一个上三角阵：产生一个上三角阵R，使，使RR=X。若。若X为非对称正为非对称正定，则输出一个出错信息。定，则输出一个出错信息。R,p=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对称正为对称正定的，则定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则与上述格式得到的结果相同；否则p为一为一个正整数。如果个正整数。如果X为满秩矩阵，则为满秩矩阵，则R为一个阶数为为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足的上三角阵，且满足RR=X(1:q,1:q)。实现实现Cholesky分解后，线性方程组分解后，线性方程

12、组Ax=b变成变成RRx=b，所以，所以x=R(Rb)。本讲稿第五十三页，共九十三页例例4 用用Cholesky分解求解例分解求解例1中的线性方程组。中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;R=chol(A)?Error using=cholMatrix must be positive definite命令执行时，出现错误信息，说明命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。为非正定矩阵。本讲稿第五十四页，共九十三页3.4 向量和矩阵范数n3.4.1 向量内积与范数n3.4.2 矩阵范数（迭代

13、解法数学基础）本讲稿第五十五页，共九十三页3.4.1 内积与向量范数本讲稿第五十六页，共九十三页3.4.1 内积与向量范数内积定义：设X为一个线性空间，为X上的一个二元泛函,满足：（1）（正定性）0,当且仅当x=0时等号成立；（2）（对第一变元线性）对任意a，bC1,=a+b;(3)(共扼对称性)=*。则称该二元泛函为线性空间X上的一个内积。本讲稿第五十七页，共九十三页3.4.1 内积与向量范数本讲稿第五十八页，共九十三页3.4.1向量内积与范数本讲稿第五十九页，共九十三页3.4.1 内积与向量范数例如：对RN(或CN),有如下的范数：这说明了范数的多样性。本讲稿第六十页，共九十三页3.4.1

14、 内积与向量范数从该定理可知内积可导出范数，本讲稿第六十一页，共九十三页3.4.1 内积与向量范数此外，内积还满足下述性质：本讲稿第六十二页，共九十三页3.4.1 内积与向量范数本讲稿第六十三页，共九十三页3.4.2 矩阵范数本讲稿第六十四页，共九十三页3.4.2 矩阵范数本讲稿第六十五页，共九十三页3.4.2 矩阵范数本讲稿第六十六页，共九十三页3.4.2 矩阵范数注2 通常的范数未必满足上述相容性条件，如：注3 由每种向量范数均可按前述定义构造出一种矩阵的从属范数。本讲稿第六十七页，共九十三页3.4.2 矩阵范数(A的行范数)(A的列范数)(A的2范数)本讲稿第六十八页，共九十三页3.4.

15、2 矩阵范数本讲稿第六十九页，共九十三页3.4.2 矩阵范数本讲稿第七十页，共九十三页3.4.2 矩阵范数证明（1）：（2）参见 关治、陆金甫。本讲稿第七十一页，共九十三页问题思考本讲稿第七十二页，共九十三页3.4.2 矩阵范数本讲稿第七十三页，共九十三页3.4.2 矩阵范数本讲稿第七十四页，共九十三页相关的定理*本讲稿第七十五页，共九十三页证明：本讲稿第七十六页，共九十三页3.5 误差分析与病态方程组n3.5.1矩阵条件数与扰动方程组误差界n3.5.2条件数与剩余误差估计的关系n3.5.3病态方程组的解法本讲稿第七十七页，共九十三页3.5.1矩阵条件数与扰动方程组误差界本讲稿第七十八页，共九

16、十三页一个并不显然的例子本讲稿第七十九页，共九十三页本讲稿第八十页，共九十三页3.5.1矩阵条件数与扰动方程组误差界n病态方程组的定义：本讲稿第八十一页，共九十三页3.5.1矩阵条件数与扰动方程组误差界对照条件数观察此式本讲稿第八十二页，共九十三页证明：本讲稿第八十三页，共九十三页3.5.1矩阵条件数与扰动方程组误差界本讲稿第八十四页，共九十三页3.5.2条件数与剩余误差估计的关系对上式比照条件数进行分析从而获得矩阵条件数的定义！本讲稿第八十五页，共九十三页本讲稿第八十六页，共九十三页3.5.2条件数与剩余误差估计的关系本讲稿第八十七页，共九十三页著名的病态矩阵(Hilbert)本讲稿第八十八页，共九十三页3.5.2条件数与剩余误差估计的关系本讲稿第八十九页，共九十三页3.5.3病态方程组的解法n病态方程组的症状:nCond(A)较大n在列主元素消元法中出现小主元n在计算过程中行或列几乎线性相关n矩阵A的元素数量级相差很大且无规律本讲稿第九十页，共九十三页病态方程组的预处理平衡方法：本讲稿第九十一页，共九十三页3.5.3病态方程组的解法本讲稿第九十二页，共九十三页本讲稿第九十三页，共九十三页