2021年【教案】同济第六版《高等数学》教案WORD版-第06章-定积分的应用.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用第六章定积分的应用教学目的1.懂得元素法的基本思想；2.把握用定积分表达和运算一些几何量（平面图形的面积.平面曲线的弧长.旋转体的体积及侧面积.平行截面面积为已知的立体体积）；3.把握用定积分表达和运算一些物理量（变力做功.引力.压力和函数的平均值等） ；教学重点：1.运算平面图形的面积. 平面曲线的弧长. 旋转体的体积及侧面积.平行截面面积为已知的立体体积；2.运算变力所做的功.引力.压力和函数的平均值等；教学难点：1.截面面积为已知的立体体积；2.引力；61定积分的元素法回忆曲边梯形的面

2、积第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用设 yf (x)0 (x ab)假如说积分bAf ( x)dxa为以 a b为底的曲边梯形的面积就积分上限函数A( x)xf (t) dta就为以 ax为底的曲边梯形的面积而微分 dA(x)f (x)dx表示点 x 处以dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值Af (x)dxf (x)dx 称为曲边梯形的面积元素以ab为底的曲边梯形的面积A 就为以面积元素f(x)dx 为被积表达式以 ab为积分区间的定积分bAf ( x)dxa一般

3、情形下为求某一量U先将此量分布在某一区间ab 上分布 在 ax 上的 量 用 函 数U(x) 表 示再 求 这 一 量 的 元 素dU(x)设dU(x)u(x)dx然后以 u(x)dx 为被积表达式以ab为积分区间求定积分 即得bUf ( x) dxa用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法 )62定积分在几何上的应用第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用一.平面图形的面积1直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线yf 上(x)与 yf 下 (x)及左右两条直线x

4、a与 xb 所围成就面积元素为 f 上 (x)f 下 (x) dx于为平面图形的面积为bS f上 ( x)af下 (x)dx类似地由左右两条曲线x左 (y)与 x右(y)及上下两条直线yd 与yc 所围成设平面图形的面积为dSc 右 ( y)左 ( y)dy例 1运算抛物线 y2x.yx2 所围成的图形的面积解 (1) 画 图(2)确定在 x 轴上的投影区间 : 01(3)确定上下曲线f上 (x)x、 f 下 (x)x2(4)运算积分12323 1S0 (xx )dxx 231 x 0133例 2运算抛物线 y22x 与直线 yx4 所围成的图形的面积解 (1) 画 图(2)确定在 y 轴上的

5、投影区间 : 24(3)确定左右曲线(4)运算积分左 ( y)1 y2 、2右 ( y)y44S( y421 y2)dy2 1 y 24 y21 y341826第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用2例 3求椭圆 xa22y1 所围成的图形的面积 b2解 设整个椭圆的面积为椭圆在第一象限部分的四倍椭圆在第一象限部分在 x轴上的投影区间为 0a由于面积元素为ydx所以aS4ydx0椭圆的参数方程为 :xa cos tyb sin t于为Sa4ydx004b sin t

6、d (acost)24ab0sin 22tdt2ab2 (10cos2t)dt2ab 2ab2极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素由曲线()及射线围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积元素为dS12( ) 2 d曲边扇形的面积为S1 2( ) 2d例 4.运算阿基米德螺线a(a 0)上相应于从 0 变到 2的一段弧与极轴所围成的图形的面积解:S2 1(a)2d1 a2 1324 a230 22303例 5.运算心形线a(1cos) (a0)所围成的图形的面积第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - -

7、-高等数学教案6 定积分的应用解:S21 a(10 2cos2 da2( 1022 cos1 cos2 )d2a2 322s i n1 s i 2n 43 a 202二.体积1旋转体的体积旋转体就为由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴常见的旋转体圆柱.圆锥.圆台.球体旋转体都可以看作为由连续曲线yf ( x).直线 xa.ab及 x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体设过区间 ab 内点 x且垂直于 x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x)当平面左右平移dx 后体积的增量近似为Vf(x) 2dx于为体积元素为dV f (x) 2dx旋转体的体积为bV f

8、a(x) 2 dx例 1连接坐标原点O 及点 P(hr)的直线.直线 xh 及 x轴围成一个直角三角形将它绕 x 轴旋转构成一个底半径为r .高为 h 的圆锥体计算这圆锥体的体积解:直角三角形斜边的直线方程为yr x h第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用所求圆锥体的体积为Vh( r0hx) 2 dxr 1 x3 h12h2303x 2y 2hr 2例 2运算由椭圆2a转椭球体 )的体积21 所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体 (旋b解:这个旋转椭球体也可以看作为

9、由半个椭圆yba 2x 2a及 x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体体积元素为dVy 2dx2于为所求旋转椭球体的体积为ba2Vaa2(a 2x 2 )dxb a 2 x a 21 x3 a3 a4 ab 23例 3运算由摆线 xa(tsin t)ya(1cos t)的一拱直线 y0 所围成的图形分别绕x 轴.y 轴旋转而成的旋转体的体积解所给图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为V2 ay 2dx2a 2 (1cos t ) 2a(1cost )dtx0a 3 2(1003 cost3 cos2 tcos3t)dt52a 3所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为两个旋转体体积的差设曲线左半

10、边为 x=x1(y).右半边为 x=x2(y)就2yV2 ax 2 ( y)dy02 ax 2 ( y) dy10第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用a 2 (t2sin t) 2a sin tdta 2 (t0sin t ) 2a sin tdt32a(t0sin t ) 2sin tdt63a 32平行截面面积为已知的立体的体积设立体在 x 轴的投影区间为 ab过点 x 且垂直于 x 轴的平面与立体相截截面面积为 A(x)就体积元素为 A(x)dx立体的体积为

11、bVA(x)dxa例 4一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成角运算这平面截圆柱所得立体的体积解取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴底面上过圆中心. 且垂直于 x 轴的直线为 y 轴那么底圆的方程为x 2y 2R 2立体中过点 x 且垂直于x轴的截面为一个直角三角形两个直角边分别为R2x2 及R 2x 2tan因而截面积为A( x)1 (R2x2 ) tan2于为所求的立体体积为VR 1 ( R2x 2 ) tandx1 tan R 2 x1 x3 R2 R3 tanR 223R3例 5 求以半径为 R 的圆为底. 平行且等于底圆直径的线段为顶. 高为 h 的正劈锥体的体积解: 取

12、底圆所在的平面为 x O y 平面 圆心为原点 并使 x 轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为 x 2 y 2 R2 过 x 轴上的点 x ( Rx0)相应于从 0 到 2一段的弧长第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用解弧长元素为dsa22a 2 da 12 d于为所求弧长为22sa1d0a 22142ln( 2142 )第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等

13、数学教案6 定积分的应用63功水压力和引力一.变力沿直线所作的功例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 O 处 它产生一个电场 这个电场对四周的电荷有作用力 由物理学知道 假如有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 O 为 r 的地方 那么电场对它的作用力的大小为qFk r 2(k 为常数 )当这个单位正电荷在电场中从ra 处沿 r 轴移动到 rb(ab)处时运算电场力 F 对它所作的功例 1电量为 +q 的点电荷位于 r 轴的坐标原点 O 处它所产生的电场力使 r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到 r =b(ab)处求电场力对单位正电荷所作的功提示:由物理学知道在电

14、量为 +q 的点电荷所产生的电场中距离点电荷 r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为qFk r 2(k 为常数 )解:在 r 轴上当单位正电荷从r 移动到 r +dr 时电场力对它所作的功近似为k q dr r 2即功元素为 dWk q dr r 2于为所求的功为第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用b kqWdrkq1 bkq( 11)a r 2r aab例 2在底面积为S 的圆柱形容器中盛有肯定量的气体在等温条件下由于气体的膨胀把容器中的一个活塞 (面积为

15、S)从点 a 处推移到点 b 处运算在移动过程中气体压力所作的功解取坐标系如图活塞的位置可以用坐标x 来表示由物理学知道肯定量的气体在等温条件下压强 p 与体积 V 的乘积为常数 k即pVk或 pkV解:在点 x 处由于 VxS所以作在活塞上的力为Fp SkSkxSx当活塞从 x 移动到 xdx 时变力所作的功近似为k dx x即功元素为 dWk dx x于为所求的功为b kWa x dxkln xbk ln baa例 3一圆柱形的贮水桶高为5m底圆半径为3m桶内盛满了水试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解作 x 轴如图取深度 x为积分变量它的变化区间为 05相应于 05 上任小区间 xxd

16、x 的一薄层水的高度为dx水的比重为 9 8kN/m3因此如 x 的单位为 m这薄层水的重力为9 832dx这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW88 2x dx第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用此即功元素于为所求的功为W5x2 525二.水压力88.20xdx88.2 2 088.2(kj)2从物理学知道 在水深为 h 处的压强为 p h 这里 为水的比重假如有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为 h 处 那么 平板一侧所受的水压力为Pp A假如这个平板铅直

17、放置在水中那么由于水深不同的点处压强p不相等所以平板所受水的压力就不能用上述方法运算例 4一个横放着的圆柱形水桶桶内盛有半桶水设桶的底半径为R水的比重为运算桶的一个端面上所受的压力解桶的一个端面为圆片与水接触的为下半圆取坐标系如图在水深 x 处于圆片上取一窄条其宽为 dx得压力元素为dP2 xR2x2 dx所求压力为R22R22 122P2xR0222 3x dxR2r3( Rx0)2 d(Rx )三.引力 3 (Rx ) 2 0R3从物理学知道质量分别为 m 1.m2相距为 r 的两质点间的引力的第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 -

18、- - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用大小为FG m1m2 r 2其中 G 为引力系数引力的方向沿着两质点连线方向假如要运算一根细棒对一个质点的引力那么由于细棒上各点与该质点的距离为变化的且各点对该质点的引力的方向也为变化的就不能用上述公式来运算例 5设有一长度为l.线密度为的匀称细直棒在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为m 的质点 M试运算该棒对质点M 的引力例 5求长度为 l .线密度为的匀称细直棒对其中垂线上距棒a 单位处质量为 m 的质点 M 的引力在解取坐标系如图使棒位于 y 轴上质点 M 位于 x 轴上棒的中点为原点 O由对称性知引力在垂直方向

19、上的重量为零所以只需求引力在水平方向的重量取 y为积分变量它的变化区间为l 、l 22l 、 l 22上 y 点取长为 dy的一小段其质量为dy与 M 相距 ra2y2于为在水平方向上引力元素为dFxG m dy a2y2aa 2y 2Gam (a2dy y2 )3 / 2引力在水平方向的重量为FxlamG22l(a 2dyy 2) 3/ 22Gm la14a2l 2第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高等数学教案6 定积分的应用第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -