2021年2021年直线和圆的方程知识及典型例题.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -数学基础学问与典型例题直线和圆的方程直线和圆的方程学问关系一.直线的倾斜角和斜率1. 直线的倾斜角 ：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直 线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时 、 其倾斜角为 0o 、 故直线倾斜角的范围为 0o180o.o2. 直线的斜率 : 倾斜角不为 90 的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率k 、 即ktan .直线的方程注：每一条直线都有倾斜角，但不肯定有斜率.当90 时，直线 l 垂直于 x 轴，它的斜率 k 不存在 .过两点 P1 (x1、 y1 ) . P2 (

2、x2 、 y2 ) ( x1x2 ) 的直线斜率公式 ktany2y1x2x1二. 直线方程的五种形式及适用条件名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率 b纵截距( x0，y0) 直线上已倾斜角为90的直线 不能用此式点斜式y- y =k( x- x )知点，倾斜角为90的直线0yy1两点式0= xx1k 斜率( x1， y1) ， ( x2， y2)为直线上两个已知不能用此式与两坐标轴平行的直截距式y2y1x2x1xy+=1ab点a直线的横截距 b直线的纵截距线不能用此式过（ 0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用 此式一般式Ax+By+C=0(A .B 不全为零 )A.B 不能同时为零第

3、 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -直注: 确定直线方程需要有两个相互独立的条件、 通常用待定系数法;线确定直线方程的形式许多，但必需留意各种形式的直线方程的适用范畴.的直线为平面几何的基本图形，它与方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（ A2+B2 0）为一一对应的.方程例 1.过点 M (2、 a)和 N ( a、4) 的直线的斜率等于1、就 a 的值为 ()(A) 1(B)4(C)1或 3(D)1或 4例 2.如、直62线、就直线 2 x cos 3y 1=0 的倾斜角的取值范畴（）的

4、(A)、62方(B) 5、6(C) (0、)(D)、 5626程例 4.连接 A(4、1) 和 B( 2、4)两点的直线斜率为 、 与 y 轴的交点P 的坐标为 .例 5.以点(1、3)和(5、1) 为端点的线段的中垂线的方程为.一.两直线的位置关系1. 两直线平行 : 斜率存在且不重合的两条直线l 1y=k1x+b1， l 2 y=k2x+b2，就 l 1 l 2k1=k2;例 6.将直线 2x3y60围着它与y 轴的交点逆时针旋转45 的角后，在x 轴上的截距为()两条 不重合 直线 l、l的倾斜角为、(A)4 (B)2 (C)5 (D)5就 l 1 l 2121212 .5524两直2.

5、 两直线垂直 :线斜率存在的两条直线l 1y=k1x+b1、 l 2y=k2x+b2、的就 l 1 l 2k1 k2= -1;位两直线l 1A1x+B1y+C1=0，l 2 A2x+B2y+C2=0，就 l 1 l 2A1A2+B1B2 = 0置关例 7. 将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点 (2 ，0) 与点 ( 2， 4) 重合，如点（ 7，3）与点（ m 、n ）重合，就 m+n 的值为 ( ) (A)4(B) 4(C)10 (D) 10例 8. 与直线系l : 2 x3 y50平行且过点3. “到角”与“夹角”:A(1、4)的直线l的方程为直线 l到 l的角（方

6、向角） ； ；1直线 l 1 到 l22 的角，为指直线l 1 绕交点依逆时针方向旋转例 9.已知二直线到与 l 2 重合时所转动的角，它的范畴为(0、) .注 : 当 两 直 线 的 斜 率k1、 k2 都 存 在 且k1 k2 -1kkl1 : mx8 yn0 和l 2 : 2xmy10 ，如 l1l 2 ， l1 在 y时 、 tan断.211 k1k2; 当直线的斜率不存在时、 可结合图形判轴上的截距为-1 ，就 m= ，n= .第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -两条相交直线l 1

7、 与 l2 的夹角：例 10.经过两直线两条相交直线l 1 与 l 2 的夹角，为指由l 1 与 l2 相交所成的四11x3y 9 0 与个角中最小的正角，又称为l和 l所成的角，它的取值范畴12xy19 0 的交点，且过12点 (3、-2)的 直 线 方 程 为为0、 当两直线的斜率k1， k2 都存在且k1 k2 -1 时， .2就有 tank 2k1.1k 1 k 24. 距离公式；已知一点P( x0， y 0) 及一条直线l ： Ax+By+C=0，就点 P 到直线例 11.已知 ABC中，A（ 2，-1 ），B（4，3）， C（ 3， -2 ），求： BC 边上的高所在直线方l 的距

8、离 d= | Ax0By0A2B 2C | ；程； AB边中垂线方程；A 平分线所在直线方程 . 两 平 行 直 线l 1:A x+By+C1=0 ，l 2:A x+By+C2=0之 间 的 距 离两d= | C1C2 | ；直A2B 2线的位5. 当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.置含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线为有规律的，即旋转直线系和平行直线系.关在点斜式方程y- y0=k( x- x0) 中，系当（ x0，y0）确定， k 变化时，该方程表示过定点（x0， y0）的旋转直线系，当 k 确定， ( x0，y0) 变化时，该方程表示平行直线系.已知直线l ： Ax

9、+By+C=0，就方程Ax+By+m=0（ m为参数）表示与l 平行的直线系；方程 -B x+Ay+n=0（ n 为参数）表示与l 垂直的直线系；已知直线l 1： A1x+B1y+C1=0，直线 l 2： A2x+B2y+C2=0，就方程 A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0表示过 l 1 与 l 2 交点的直线系（不含l 2）把握含参数方程的几何意义为某种直线系，有时可以优化解题思路.例 12.已知定点P（ 6，4）与定直线 l 1 ：y=4x， 过 P 点的直线 l与 l 1 交于第一象限 Q 点，与 x 轴正半轴交于点 M，求使 OQM面积最小的直线 l方程.简线性规划单

10、当点 P( x0， y0) 在直线 Ax+By+C=0上时，其坐标满意方程Ax0+By0+C=0；的 当 P 不在直线 Ax+By+C=0 上时， Ax0+By0+C 0，即 Ax0+By0+C0或 Ax0+By0+C0（或 0）、圆心坐标为（ -D ，-2E ），半径为 r =D22E 24 F.2圆的参数方程：( x- a) 2+( y- b) 2=r 2（r 0）的参数方程为 :xar cos（为参数 、表示旋转角），参数式常用来表示圆周上的点；ybr sin注:确定圆的方程需要有三个相互独立的条件、通常也用待定系数法 ;圆的方程有三种形式， 留意各种形式中各量的几何意义、 使用经常数形

11、结合充分运用圆的平面几何学问 .圆的直径式方程：(xx1)( xx2)(yy1)( yy 2)0 、 其中A( x1 、 y1 ) 、B( x 2 、y 2 ) 为圆的圆一条直径的两个端点 . （用向量可推导） .的方二.直线与圆的位置关系程直线与圆的位置关系有三种：相离.相切.相交，判定方法有两种：代数法：直线： Ax+By+C=0，圆： x2+y2+Dx+Ey+F=0，联立得方程组AxByC022一元二次方程判别式消元20相交0相切xyDxEyF0 b4ac0相离（2）几何法：直线 :A x+By+C=0，圆： ( x- a) 2+( y- b) 2=r 2，圆心（ a，b）到直线的距离为

12、d=|AaBbC22ABdr相离| ，就dr相切dr相交三.圆和圆的位置关系：设两圆圆心分别为O1.O2，半径分别为 r 1，r 2，|O1O2| 为圆心距，就两圆位置关系如下：|O1O2|r 1+r 2两圆外离；|O1O2|=r 1+r 2两圆外切；| r1 -r 2|O 1O2| r1+r 2两圆相交；| O 1 O2 |=| r1 -r 2|两圆内切；0| O 1O2|0，m0 x 0 -10110x 2S OMQ|OM2| 4x02mx00x01令 x0-1= t ，就 t 0、 S10(t1)210(t12) 40tt当且仅当 t =1，x0=11 时，等号成立 、 此时 Q（11，

13、 44），直线 l ： x+y-10=0评注：例 例 14. 42 例 15. 14例 16.种蔬菜 20 亩、 棉花 30 亩、 水稻不种 、 总产值最高 27 万元.例 17. 解：设中学 x 个班，高中 y 个班，就20 xy 30(1)设年利润为 s，28 x58 y 1200就 s600.06 x400. 15 y21.2 x2.51.6 y1.2 x2 y第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -作出（ 1）.（ 2）表示的平面区域，如图，过点 A 时， S 有最大值，xy由28x30

14、58y1200解得 A（ 18，12）.易知当直线 +2y=s即学校可规划中学18 个班，高中 12 个班、smax1.21821245.6 （万元） .可获最大年利润为万元 .评 线性规划为直线方程的简洁应用， 为新增加的教学内容， 为新大纲重视学问应用的表达，依据考纲要求， 明白线性不等式表示的平面区域， 明白线性规划的意义并会简洁应用，解决此类问题，关键为读懂内容，依据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域， 然后求线性目标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：依据实际问题的约束条件列出不等式，作出可行域， 写出目标函数， 确定目标函数的最优位置，从而获得最优解但在

15、解答时，格式要规范，作图要精确，特殊为最优 解的求法，作时仍为比较困难的为函数方程思想的应用.2例例例 20. x 2+ y41( x1) 例 21. (x4 )23( y4 ) 2439例 22.解：以O1O2 的中点 O 为原点，O1O 2 所在直线为 x 轴，建立如下列图的平面直角坐标系，就O1 (2，0) ， O2 (2 ，0) . 由已知 PM2 PN ，得 PM 22PN2 . 由于两圆半径均为1，所以 PO 212( PO 21) . 设P( x，y ) ，12就 (x2) 2y 212( x2) 2y 21 ，即 (x6) 2y 233 .( 或 x 2y 212x30 )例例

16、例例例 27. x 2 +( y-1) 2=1例 28. x +y=0 或 x+7y-6=0例 29.解： x2+y26x 8y=0 即( x 3) 2+( y 4) 2=25，设所求直线为 ykx ；圆半径为 5，圆心 M（3，4）到该直线距离为3， d| 3k4 |3 ，k21 9k 224k169( k21) ， k7 ；24所求直线为 y7 x 或 x0 ；24例 30. m满意-2(m+3) 2+2(1-4m2 ) 2-4(16 m4 +9)0，即 7m2 -6 m-10、 1m17半径 r =7m26m17( m3) 21677第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1m71 、 m3 时，7rmax47 、7 0r 477设圆心 P（x，y），就xm3y4m21消去 m得： y=4( x-3) 2-1、 又1m1720x47 所求轨迹方程为 ( x-3) 2= 1 ( y+1) （ 20x4 ）47第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -