2021年【教案】任意角的三角函数公开课教案.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -教学目标任意角的三角函数（第一课时）1把握任意角的正弦. 余弦.正切函数的定义 （包括定义域.正负符号判定）； 明白任意角的余切.正割.余割函数的定义.2经受从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生.进展过程. 领会直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经 验.3培育同学通过现象看本质的唯物主义熟悉论观点，渗透事物相互联系. 相互转化的辩证唯物主义世界观.4培育同学求真务实.实事求为的科学态度.一.重点.难点.关键重点：任意角的正弦.余弦.正切函数的定义.定义域. （正负）符号判定法

2、.难点：把三角函数懂得为以实数为自变量的函数.关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（确定，比值也随之确定）与依靠性（比值随着的变化而变化） .二.教学过程 执教线索：回想再认：函数的概念.锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）问题情境：能推广到任意角吗？它山之石：建立直角坐标系（为何？）优化认知：用直角坐标系争论锐角三角函数探究进展：对任意角争论六个比值（与角之间的关系：确定性.依靠性，满意函数定义吗？）自主定义： 任意角三角函数定义登高望远：三角函数的要素分析（对应法就.定义域.值域与正负符号判定）例题与练习回忆小结布置作业（一）复习引入.回想再认开门见山，面对全体同学提问：在中学

3、我们初步学习了锐角三角函数，前几节课， 我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该争论什么呢？探究任意角的三角函数（板书课题） ，请同学们回想，再明确一下：（情形 1）什么叫函数？或者说函数为怎样定义的？让同学回想后再点名回答， 投影显示规范的定义， 老师依据回答情形进行修正.强调：传统定义 ：设在一个变化过程中有两个变量x 与 y，假如对于 x 的每一个值，y 都有唯独确定的值和它对应，那么就说y 为 x 的函数， x 叫做自变量，自变量x 的取值范畴叫做函数的定义域.现代定义 ：设 A .B 为非空的数集，假如按某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数，在集合B

4、中都有唯独确定的数f（ x）和它对应，那么就称映射 .： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作： y= f（x ），xA，其中 x 叫自变量 、自变量 x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域 .（情形 2）我们在中学通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦.余弦.正切等三个三角函数.请回想：这三个三角函数分别为怎样规定的？对边引伸铺垫.创设情形对边sin=斜边邻边， con =斜边对边， tan =邻边邻边（图 1）1第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -（情形 3）我们已经把锐角

5、推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立摸索和探究，也可以相互争论！留时间让同学独立摸索或自由争论， 老师参加争论或巡回对学困生作启示引导.能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让同学回答. 用角的对边.临边.斜边比值的说法明显为受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来争论任意角了， 同学一般会想到 （否就老师进行提示） 连续用直角坐标系来争论任意角的三角函数 .老师对同学回答情形进行点评后布置任务情形：请同学们用直角坐标系重新争论锐角三角函数定义！把锐角 安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角终边上任取一点P

6、，作 PMx 轴于 M ，构造一个 RtOMP，就 MOP=（锐角），设 P（x、y）（ x0.y0），的临边 OM=x.对边 MP=y，斜边长 |OP=r.依据锐角三角函数定义用x.y.r 列出锐角 的正弦.余弦.正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：y P(x、y)sin =对边y=，con=斜边r邻边x=， tan =斜边r对边y=邻边xOMx（图 2）rrx.=.=.=yxy（情形 4）各个比值与角之间有怎样的关系？比值为角的函数吗？追问：锐角 大小发生变化时，比值会转变吗？先让同学想象摸索， 作出主观判定， 再用几何画板动画演示， 同时作好说明说明：保持r不变，让P 绕原点O 旋

7、转即在锐角范畴内变化，六个比值随之变化的直观形象；结论为：比值随的变化而变化 .引导同学观看图 3，联系相像三角形学问，探究发觉：对于锐角 的每一个确定值，六个比值都为确定的，不会随P 在终边上的移动而变化 .yPPOMM x（图 3）得出结论 (强调)：当 为锐角时，六个比值随 的变化而变化；但对于锐角的每一个确定值， 六个比值都为确定的， 不会随 P 在终边上的移动而变化 . 所以， 六个比值分别为以角为自变量.以比值为函数值的函数.（三）分析归纳.自主定义（情境 5）能将锐角的比值情形推广到任意角吗.水到渠成，师生共同进行探究和推广：2第 2 页，共 6 页 - - - - - - -

8、- - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -对于一个任意角 ，它的终边所在位置包括以下两类共八种情形（投影展现并作分析）：终边分别在四个象限的情形：终边分别在四个半轴上的情形：yP(x、y)Oxy角 终边P(x、y)Oxy P(x、y)Oxy xOP(x、y)；yyyyOxP(x、y)OxP(x、y)P(x、y)OxxO P(x、y)（图 4）（指出：不画出角的方向，说明角具有任意性）怎样刻画任意角的三角函数呢？争论它的六个比值：（图 5）（板书）设 为一个任意角，在 终边上除原点外任意取一点P（x， y）， P与原点 O 之间的距离记作r（r=y r

9、r yx 2y 2x rr x0），列出六个比值：y xx y=k+/2 时， x=0，比值 y/x .r/x无意义； = k 时， y=0，比值 x /y .r /y无意义 .追问： 大小发生变化时，比值会转变吗？先让同学想象摸索， 作出主观判定， 再用几何画板动画演示， 同时作好说明说明：使 r 保持不变， P 绕原点 O 逆时针.顺时针旋转即角变化，六个比值随之转变的直观形象；结论为：各比值随的变化而变化 .再引导同学利用相像三角形学问，探究发觉：对于任意角 的每一个确定值，六个比值都为确定的，不会随P 在终边上的移动而变化 .综上得到（强调）：当角变化时， 六个比值随之变化； 对于确定

10、的角 ， 六3第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -个比值（假如存在的话）都不会随P 在角 终边上的转变而转变，六个比值为确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析).因此，六个比值分别为以角为自变量.以比值为函数值的函数.依据历史上的规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：y =sin（正弦）rx =cos （余弦）ry =tan （正切）xr =csc （余割）yr =sec（正弦）xx =cot （余切）y老师强调： sin表示 sin与的乘积吗？不为， si

11、n为函数记号，为一个整体、 相当于函数记号f（ x）. 其它几个三角函数也如此投影显示图六，指导同学分析其对应关系，进一步体会其函数内涵： 正弦yr 余弦xr 正切yx 余割ry 正割rx 余切xy（图六）指导同学识记六个比值及函数名称.老师指出： 正弦.余弦.正切.余切.正割.余割六个函数统称为三角函数， 三角函数有特别丰富的学问和思想方法，我们以后主要学习正弦. 余弦.正切三个函数的相关学问和方法，对于余切.正割.余割，只要同学们明白它们的 定义就够了 （遵循大纲要求）.引导同学进一步分析懂得：已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定的实数，把它看成一个弧度数， 就对应

12、着唯独的一个角， 从而分别对应着六个唯独的三角函数值 . 因此，（板书） 三角函数可以看成为以实数为自变量的函数， 这将为以后的应用带来许多便利.（四）探究定义域（情形 6）（ 1）函数概念的三要素为什么？函数三要素：对应法就.定义域.值域.正弦函数 sin 的对应法就为什么？正弦函数 sin 的对应法就，实质上就为sin 的定义：对 的每一个确4第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -定的值，有唯独确定的比值y/r与之对应，即 y/r= sin.(2)布置任务情形：什么为三角函数的定义域？恳求出

13、六个三角函数的定义域，填写下表：三角函数sincostancotcscsec定义域引导同学自主探究：假如没有特殊说明， 那么使解析式有意义的自变量的取值范畴叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然为指：使比值有意义的角 的取值范畴 .关于 sin =y/r .cos=x/r ，对于任意角 （弧度数），r 0，y/r .x/r恒有意义，定义域都为实数集R.对于 tan=y/x ，= k+/2时 x=0，y/x无意义， tan的定义域为： | R，且k+/2 .、老师指出 : sin .cos .tan的定义域必需紧扣三角函数定义在懂得的基础上记熟，cot .csc. sec的定义域不要求记忆.（关

14、于值域，到后面再学习）.（五）符号判定.形象识记（情形 7）能判定三角函数值的正.负吗？试试看！引导同学紧紧抓住三角函数定义来分析，r 0、 三角函数值的符号打算于x. y 值的正负 ，依据终边所在位置总结出形象的识记口诀：yyyxxx（同好得正.异号得负）sin = y/r：上正下负横为0cos=x/r ：左负右正纵为0tan= y/x ：交叉正负练习巩固.懂得记忆1.自学 例 1：已知角 的终边经过点P（2 ，-3 ），求的六个三角函数值 .要求：读完题目，摸索：运算什么.需要预备什么 .闭目心算，对比解答，仿照书面表达格式，巩固定义.课堂练习：p19 题 1：已知角 的终边经过点 P（-

15、3 ，-1 ），求的六个三角函数值 .要求心算，并提问中下同学检验，-点评：角 终边上有无穷多个点，依据三角函数的定义，只要知道终边上5第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -任意一个点的坐标，就可以运算这个角的三角函数值（或判定其无意义）.补充例题：已知角 的终边经过点 P（x ，-3 ），cos =4/ 5 ，求的其它五个三角函数值 .师生探究：已知y=-3 ，要求其它五个三角函数值，须知r=？， x =？ .依据定义得 xx2(3) 2 = 45（方程思想）， x0，解得 x=4，从而 -

16、-. 解答略 .2.自学 例 2：求以下各角的六个三角函数值：(1) 0；(2) /2； (3) 3/2 .提问，据反馈信息作点评.修正.师生探究： 紧扣三角函数定义求解， 第一要在终边上取定一点； 终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点.仍为特殊点？要敏捷，只要能够算出三角函数值， 都可以；取特殊点能使运算更简明；课堂练习： p19 题 2.（改编）填表：角 （角度）090180270360角 （弧度）sin cos tan处理：要求取点用定义求解，针对运算过程提问.点评，懂得巩固定义.强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0. /2.3/2等，今后常常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.（六）回忆小结.建构网络要求全体同学依据老师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1你为怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数详细为怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，-，在终 边上任意取定一点P，-）2你如何判定和记忆正弦.余弦.正切函数的定义域？（依据定义，- ）3你如何记忆正弦.余弦.正切函数值的符号？（依据定义，想象坐标位置 ， -）（七）布置课外作业1书面作业：习题4.3 第 3.4.5 题.2仔细阅读p22“阅读材料：三角函数与欧拉”，明白欧拉的生平和奉献，6第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -