2021年【教案】因式分解的常用方法目前最牛的教案.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解为代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，为我们解决很多数学问题的有力工具因式分解方法敏捷，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅为把握因式分解内容所必需的，而且对于培育同学的解题技能，进展同学的思维才能，都有着非常特殊的作用中学数学教材中主要介绍了提取公因式法.运用公式法.分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法.技巧和应用作进一步的介绍一.提公因式法.： ma+mb+mc=m(a+b+c)二.运用公式法.在整式的乘.

2、除中，我们学过如干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：222222222（ 1） (a+b)(a- b) = a-b -a-b =(a+b)(a -b) ；323(2) (a b)= a 2ab+b a2ab+b =(a b) ；(3) (a+b)(a22-ab+b) =a+b - a+b =(a+b)(a-ab+b ) ；323222333322(4) (a-b)(a+ab+b ) = a-b -a-b =(a -b)(a+ab+b ) 下面再补充两个常用的公式：2222(5)a+b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；333222(6)a+b +c -3

3、abc=(a+b+c)(a+b +c-ab-bc-ca) ；例.已知 a，b， c 为ABC 的三边，且a2就ABC 的外形为（）b2c2abbcca ，A. 直角三角形B 等腰三角形C等边三角形D 等腰直角三角形解： a 2b 2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca三.分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1.分解因式：amanbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系；解：原式 = ( am= a

4、(m= ( man )n) n)( a(bmb(mb)bn)n)每组之间仍有公因式！例 2.分解因式：2ax10 ay5bybx第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解法一：第一.二项为一组；解法二：第一.四项为一组； 第三.四项为一组；其次.三项为一组；解：原式 = (2 ax10ay)(5bybx)原式 = (2axbx )(10ay5by)= 2a( x5 y)b( x5 y)= x(2 ab)5 y(2ab )= (x5 y)( 2ab)= (2ab )( x5 y)练习：分解因式1

5、. a2abacbc2. xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3.分解因式：x2y 2axay分析：如将第一.三项分为一组，其次.四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能连续分解，所以只能另外分组；解：原式 = ( x2= ( x= ( xy 2 ) y)( xy)( x(axy) yay)a( xy) a)例 4.分解因式：a 22 abb 2c 22解：原式 = (a= (a2abb) 2b 2 )c 2c2= (abc)( abc)练习：分解因式3 . x2x9 y23 y4 . x2y 2z22 yz综合练习：（ 1） x3x 2 yxy 2y3（ 2） ax2bx 2bxax

6、ab（ 3） x 26 xy9 y 216a 28a1（ 4） a 26ab12b9b 24a（ 5） a 42a 3a 29（ 6） 4a 2 x4a 2 yb 2 xb 2 y（ 7）x 22xyxzyzy 2（ 8）a 22ab 22b2ab1（ 9）y ( y2)(m1)( m1)（ 10） (ac)( ac) b(b2 a)（ 11）a 2 (bc)b 2 (ac)c 2 (ab)2abc（ 12）a 3b 3c33abc四.十字相乘法.（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2( pq )xpq( xp )( xq) 进行分解；特点：（ 1）二次项系数为1；（ 2）常数项为

7、两个数的乘积；（ 3）一次项系数为常数项的两因数的和；摸索：十字相乘有什么基本规律例. 已知0 a 5，且 a 为整数，如2 x2式，求符合条件的a .3 xa 能用十字相乘法分解因解 析 ： 凡 为 能 十 字相 乘的 二 次 三 项式ax2+bx+c ， 都要 求b24ac0 而且为一个完全平方数；第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -于为98a 为完全平方数， a1例 5.分解因式：x25x6分析：将6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5；由于6=2 3=(-2) (-3)=1 6=

8、(-1) (-6) ，从中可以发觉只有2 3的分解适合，即2+3=5 ；12解： x 25 x6 = x 2(23) x2313= (x2)( x3)1 2+1 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数；例 6.分解因式：x27 x6解：原式 = x 2(1)(6) x(1)(6)1-1= ( x1)( x6)1-6（ -1） +（ -6） = -7练习 5.分解因式 (1) x 214 x24(2) a 215a36(3) x24 x5练习 6.分解因式 (1)x 2x2(2) y 22 y15(3) x 210 x24（二）二次项系数

9、不为1 的二次三项式ax 2bxc条件：（ 1） a（ 2） c（ 3） ba1a 2c1c2a1c2a2 c1a1 a 2ba1 c2c1c2a 2c1分解结果：ax 2bxc = (a1 xc1 )( a 2 xc2 )例 7.分解因式：3 x211x10分析：1-23-5（ -6） +（ -5） = -11解： 3x 211x10 = ( x2)( 3x5)练习 7.分解因式： （ 1） 5 x27 x6（ 2） 3 x 27 x2（ 3） 10 x 217 x3（ 4）6 y 211 y10（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8.分解因式：a 28ab128b 2分析：将 b 看成常

10、数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解；18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a 28ab128b 2 = a 2= (a 8b 8b )( a(16b )a 16b )8b(16b)练习 8.分解因式 (1) x23 xy2 y 2 (2) m 26 mn8n 2 (3) a 2ab6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 9. 2 x 27 xy6 y 2例 10 .x2 y23 xy21-2y把 xy 看作一个

11、整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x2 y)( 2 x3 y)解：原式 = ( xy1)( xy2)练习 9.分解因式： （ 1） 15x 27 xy4 y2（ 2） a 2 x26ax8综合练习10.（ 1） 8x67 x 31（ 2） 12x 211xy15 y2（ 3） ( xy)23( xy)10（ 4） (ab)24a4b3（ 5）x2 y 25x 2 y6 x2（ 6）m24mn4n 23m6n2（ 7） x 24 xy4 y 22 x4 y3 （ 8）5( ab) 223(a 2b 2 )10(ab) 2（ 9）4

12、 x24 xy6x3 yy 210（ 10）12( xy) 211(x 2y2 )2( xy) 2摸索：分解因式：五.换元法；abcx2(a 2 b 2c 2 )xabc例 13.分解因式（1） 2005x 2(2005 21) x2005（ 2） ( x1)( x2)( x3)( x6)x 2解：（1）设 2005= a ，就原式 = ax 2= (ax( a 21)( x1)xa a)= (2005 x1)( x2005)（ 2）型如abcde的多项式， 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘；原式 = (x 27 x6)( x 25 x6)x 2设 x 25 x6A ，就 x 27x6A2

13、 x原式 = ( A2 x) Ax 2 = A 22 Axx2= ( Ax)2 = ( x26 x6) 2练习 13.分解因式（1）(x 2xyy2 ) 24 xy( x2y 2 )（ 2） (x 23 x2)( 4 x 28 x3)90（ 3）(a 21) 2(a 25) 24( a 23) 2例 14.分解因式（1） 2x 4x36 x 2x2观看： 此多项式的特点为关于x 的降幂排列， 每一项的次数依次少1， 并且系数成“轴对称”；这种多项式属于“等距离多项式”；方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法；解：原式 =x2 ( 2 x2x61 x1 ) = x 2x 22(

14、 x 21 )(xx21 )6x设 x1 xt ，就 x 21t 222x原式 = x2 （2 t 22)t6 = x22t 2t10第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -= x2 2t5 t22= x22 x125x12xx22= x2x5 xxx2= 2 xx5 x2x2 x1= ( x1) 2 (2 x1)( x2)（ 2） x 44 x3x 24x1解：原式 =22412211=x ( x4 x12 )xx2xxx4 x1x设 x1 xy ，就 x21x2y 22原式 = x2 ( y

15、24 y213) = x2 ( y11)( y3)22= x ( x1)( xxx3) =xx1 x3x1练习 14.（ 1）6x47 x336x27 x6（ 2） x 42 x3x212( xx 2 )六.添项.拆项.配方法；例 15.分解因式（1） x33 x 24解法 1拆项；解法 2添项；原式 = x313x 23原式 = x33 x24x4 x4= (x= ( x1)( x21)( x 2x1)x13(x3x1)( x1)3)= x(x 2= x(x3x4)1)( x4)(4 x4)4( x1)= (x= (x1)( x21)( x4 x4)2) 2= (x= ( x1)( x21)

16、( x4 x4)2) 2（ 2） x 9x 6x33解：原式 = ( x91)( x61)( x31)= ( x3= ( x31)( x 61)( x 6x 31)x 31(x 3x31)( x311)1)( x31)= ( x练习 15.分解因式1)( x 2x1)( x62 x33)（ 1） x 39 x8（ 2） (x1) 4(x 21) 2( x1) 4（ 3） x 47 x21（ 4） x4x22ax1a 2（ 5）x 4y4( xy) 4（ 6）2a 2b 22a 2 c22b 2c 2a 4b 4c4七.待定系数法； 例 16.分解因式x2xy6 y2x13 y6分析： 原式的前

17、3 项 x2xy6 y 2 可以分为 ( x3 y)( x2 y) ，就原多项式第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -必定可分为( x3 ym)( x2 yn)解：设 x 2xy6 y 2x13 y6 = ( x3 ym)( x2 yn ) (x3 ym)( x2 yn) = x2xy6 y 2(mn) x(3n2m) ymnx2xy6y 2x13y6 = x2xymn6 y21(mn) x(3nm22m) ymn对比左右两边相同项的系数可得3n2mmn613 ，解得n32原式 = ( x3

18、y2)( x2 y3)例 17.（ 1）当 m 为何值时，多项式x 2解此多项式；ymx5 y6 能分解因式，并分（ 2）假如 x3ax 2bx8 有两个因式为x1和 x2 ，求 ab 的值；（ 1）分析： 前两项可以分解为(xy)( xy) ，故此多项式分解的形式必解：设 x 2为 ( xy y 2mxa)( x5 yyb )6 = ( xya)( xyb)就 x 2y 2mx5 y6 = x2y 2(ab) x(ba) yab比较对应的系数可得：a bmb a5，解得：a 2a2b 3或b3ab6m1m1当 m1 时，原多项式可以分解；当 m1时，原式 = (xy2)( xy3) ；当 m

19、1时，原式 = ( xy2)( xy3)（ 2）分析： x3ax 2bx8 为一个三次式， 所以它应当分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如xc 的一次二项式；解：设 x3ax2bx8 = ( x1)( x2)( xc)就 x3ax2bx8 = x(33a3c2c) x(2a73c)x2cb23c 2c8 ab =21解得b c14 ，4练习 17.（ 1）分解因式x 2（ 2）分解因式x2（ 3） 已知： x23xy 3xy2 xy10 y 2x2 y 25x3 y 26x9 y7 y14 y26p 能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式；第 6 页，共 27 页 - - -

20、- - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -（ 4） k 为何值时，x22 xyky 23x5 y2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式；其次部分：习题大全经典一： 一.填空题31. 把一个多项式化成几个整式的 的形式，叫做把这个多项式分解因式； 2 分解因式：m -4m=.223. 分解因式：x-4y = .4.分解因式：x24 x4 =；5.将nx -yn分 解 因 式 的 结 果 为 (x 2+y2)(x+y)(x-y)， 就n的 值为.6.如 xy二.挑选题5、 xy6 ，就x2 yxy 22 x2= ，2 y2= ；2

21、27.多项式15m3n 25m2 n20m2n3 的公因式为 ()A. 5mnB. 5m2 n 2C. 5m nD. 5mn2228.以下各式从左到右的变形中，为因式分解的为()A.a3 a3a9B. ababab2D.23C. a4a5a a45m2 m3mm2m10. 以下多项式能分解因式的为（）22222(A)x-y(B)x+1(C)x+y+y(D)x-4x+4211把（ x y） （ y x）分解因式为（）A（ x y ）（ x y 1） B （ yx ）（ x y 1） C（ y x ）（ y x 1） D （ yx ）（ y x 1） 12以下各个分解因式中正确选项（ ）222A

22、10abc 6ac 2ac2ac （ 5b 3c）第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -B（ a b）2（ ba） 2（ ab） 2（ ab 1）C x （ bc a） y （ ab c ） a b c（ b c a）（ x y 1）2D（ a 2b）（ 3a b） 5（ 2b a） （ a 2b）（11b 2a）213. 如 k-12xy+9x为一个完全平方式，那么k 应为（）22A.2B.4C.2yD.4y三.把以下各式分解因式：14 . nxny15. 4 m29n 216 . m mn

23、n nm17. a 32 a 2bab2x218.416x2219.9(mn )216(m2n)；五.解答题20.如图，在一块边长a =6.67cm 的正方形纸片中， 挖去一个边长b =3.33cm的正方形；求纸片剩余部分的面积；21 .如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格为内径d45cm ，外径 D75cm，长 l3m ；利用分解因式运算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土(取 3.14 ，结果保留2 位有效数字 ) 22.观看以下等式的规律，并依据这种规律写出第(5) 个等式；经典二：因式分解小D结d学问总结归纳因式分解为把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互

24、为逆运算，在中学代数中占有重要的位置和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章学问时，应留意以下几点；1. 因式分解的对象为多项式；2. 因式分解的结果肯定为整式乘积的形式；3. 分解因式，必需进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -6. 题目中没有指定数的范畴，一般指在有理数范畴内分解；7. 因式分解的一般步骤为：（ 1）通常采纳一“提” .二“公”.三“分”.四“变”

25、的步骤；即第一看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的为使得分组后有公因式可提或可利用公式法连续分解；（ 2）如上述方法都行不通，可以尝试用配方法.换元法. 待定系数法.试除法.拆项（添项）等方法；下面我们一起来回忆本章所学的内容；1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1.分解因式 x 5x 4x 3x 2x1分 析 ： 这 为 一 个 六 项 式 ， 很 显 然 要 先 进 行 分 组 ， 此 题 可 把x 5x 4x 3 和x 2x1 分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后， 再进一步分解； 也可把 x 5x 4 ， x

26、 3x 2 ， x1 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解；解一：原式( x 5x 4x 3 )(x 2x1)解二：原式 = ( x 5x 4 )(x 3x 2 )( x1)2. 通过变形达到分解的目的例 1.分解因式 x 33x 24解一：将 3x 2 拆成 2x 2x 2 ，就有解二：将常数4 拆成13 ，就有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式( x 24)( x 210x21)100 的值肯定为非负数第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -分析：现阶段我们学习了

27、两个非负数，它们为完全平方数.肯定值；此题要证明这个多项式为非负数，需要变形成完全平方数；证明： ( x 24)( x 210x21)100设 yx 25x ，就4.因式分解中的转化思想例：分解因式：(a2 bc) 3(ab) 3( bc) 3分析：此题如直接用公式法分解，过程很复杂， 观看 a+b，b+c 与 a+2b+c的关系，努力查找一种代换的方法；解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，敏捷运用公式，对原式进行“代换”为很重要的；中考点拨例 1. 在ABC 中，三边a、b、c满意 a 216b 2c 26ab10bc0求证： ac证明：a 22b16b

28、2c 26ab10bc0说明：此题为代数.几何的综合题，难度不大，同学应把握这类题不能丢分；例 2.已知： x12，就 x 31 xx 3解： x 31( xx 31 )( x 2x11 )x说明：利用x 21(xx 21 ) 2x2 等式化繁为易；题型展现1. 如 x 为任意整数，求证：(7x )( 3x )( 4x 2 ) 的值不大于100；第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解：(7x)(3x)(4x 2 )100说明：代数证明问题在初二为较为困难的问题；一个多项式的值不大于 100

29、，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方为一种常用的方法；2.将a 2(a1) 2(a 2a) 2 分解因式，并用分解结果运算6 27 2422 ；解： a 2(a1) 2(a2a) 2说明：利用因式分解简化有理数的运算；实战模拟1. 分解因式：2. 已知： xy6， xy1，求： x 3y 3 的值；3. 矩形的周长为28cm，两边 x、y使 x 3x 2 yxy 2y 30 ，求矩形的面积；4. 求证： n35n 为 6 的倍数；（其中 n 为整数）5. 已知：a.b.c为非零实数，且a2b2c21，a( 11)bcb( 11)cac( 11 )ab3 ，求 a

30、+b+c 的值；6. 已知： a.b.c 为三角形的三边，比较a2b 2c 2 和4a 2 b 2 的大小；经典三： 因式分解练习题精选一.填空： （ 30 分）1.如 x 22(m3)x16 为完全平方式，就m 的值等于 ；2. x2xm( xn) 2 就 m = n = 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3. 2 x3 y 2 与 12x 6 y 的公因式为4.如mnxy= ( x2y)( x22y)( x4y ) ， 就 m= ，n= ；5.在多项式3y 2 . 5 y315y5

31、中，可以用平方差公式分解因式的有 ，其结果为 ；6.如 x 22(m3)x16 为完全平方式，就m= ；7. x2( ) x2(x2)( x )8.已知 1xx 2x 2004x20050、 就x 2006 .9.如16(ab) 2M25 为完全平方式M= ；10 . x26 x (x3)2 ，x2 9( x3) 211.如9 x2ky 2 为完全平方式，就k= ；212.如 x4x4 的值为 0，就3x212 x5 的值为 ；213.如 xax15(x1)( x15) 就 a = ；14.如 xy4、 x 2y 26 就 xy ；15.方程 x 24x0 ，的解为 ；二.挑选题： （ 10

32、分）1.多项式a( ax)( xb )ab(ax)(bx) 的公因式为（）第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -A . a.B.a (ax)( xb )C. a(ax)D .a( xa )22.如 mxkx9(2x23)，就 m， k 的值分别为（）A .m= 2，k=6 ，B.m=2 ，k=12 ，C.m= 4，k= 12.D m=4 ，k=12.3 .以下名式：x 2y 2 、x2y 2 、x2y 2 、 (x)2(y) 2 、 x4y 4 中能用平方差公式分解因式的有（）A .1 个，

33、 B.2 个， C. 3 个， D.4 个4.运算(111 )(11 )223311(119 211)(11102) 的值为（）A .B .2、 C.2010、 D.20三.分解因式： （ 30 分）1 . x 42 x335 x 22 .3x 63x 23 .25( x2 y) 24(2 yx) 24. x24xy14 y 25. x5x6. x317. ax 2bx 2bxaxba第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -8. x418x281429 . 9x36 y10. ( x1)( x2)( x3)( x4)24四.代数式求值（15 分）1. 已知 2xy1 ， xy32 ，求2 x 4 y 3