2021年2021年平面向量练习题集标准答案.docx
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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-平面对量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念【例 1】 以下命题:向量 AB 的长度与BA 的长度相等;向量 a 与向量 b 平行,那么a 与 b 的方向一样或相反;两个有共同起点的单位向量,其终点必一样;向量 AB 与向量 CD 为共线向量,那么A.B.C.D 必在同始终线上.其中真命题的序号为.【解读】对;零向量与任一向量为平行向量,但零向量的方向任意,故错;明显错;AB 与 CD为共线向量,那么A.B.C.D可在同始终线上,也可共面但不在同始终线上,故错.故为真命题的只有 .【点拨】正确懂得向量的有关概念
2、为解决此题的关键,留意到特别情形,否认某个命题只要举出一个反例即可 .【变式训练1】以下各式: |a| a . a ;(a. b) . c a .(b . c); OA OB BA ;在任意四边形ABCD 中, M 为 AD 的中点, N 为 BC 的中点,那么AB DC 2 MN ; a (cos ,sin ),b(cos , sin ),且 a与 b 不共线,那么(a b) (a b).其中正确的个数为() A.1B.2【解读】选D.| a| a . a 正确; (a . b) . ca . (b . c); OA OB BA 正确;如以下图所示,MN = MD + DC + CN 且 M
3、N = MA + AB + BN ,两式相加可得2 MN AB DC ,即命题正确;. word.zl-第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-由于 a, b 不共线,且 |a| |b| 1,所以 a b,a b 为菱形的两条对角线, 即得 (ab) (ab).所以命题正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例 2】如图, ABCD 为平行四边形,AC.BD 交于点 O,点 M 在线段 DO1上,且 DM=DO31,点 N 在线段 OC 上、且 ON =OC 、设 AB = a、 AD =b、
4、试用 a.3b 表 示 AM , AN , MN .【解读】在 .ABCD 中, AC, BD 交于点 O ,1所以 DO 2 DB 1( AB AD ) 21(ab), 21AO OC 2 AC 1( AB AD ) 21(a b). 211又 DM 3 DO ,ON 3 OC ,1所以 AM AD DM b 3 DO1 b 31(a b)2156a b,61AN AO ON OC 3 OC4412OC 33(a b)2(ab). 3所以 MN AN AM21 (a b)( a3656b)11a b.26【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就为可以将平面任一向量由平面两个不共线的向量表示,即
5、平面对量根本定理的应用,在运用向量解决问题时,常常需要进展这样的变形.【变式训练2】O 为平面 上一点, A.B.C 为平面 上不共线的三点, 平面 的动点 P 满意 OP OA ( AB AC ),假设 1时,那么PA . ( PB PC )的值为 . 2【解读】由得OP OA ( AB AC ),即 AP ( AB AC ),当 1时,得 AP 21( AB AC ), 2. word.zl-第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-所以 2 AP AB AC ,即 AP AB AC AP
6、, 所以 BP PC ,所以 PB PC PB BP 0,所以 PA .( PB PC ) PA . 0 0,故填 0.题型三向量共线问题【例 3】 设两个非零向量a 与 b 不共线 .(1)假设 AB a b,BC 2a 8b,CD 3(a b),求 证 : A, B,D 三 点 共 线 ; (2)试确定实数k,使 ka b 和 a kb 共线 .【解读】 (1)证明:由于AB ab, BC 2a 8b, CD 3(ab),所以 BD BC CD 2a 8b 3(a b)5(a b) 5 AB ,所以 AB , BD 共线 .又由于它们有公共点B, 所 以 A, B,D 三 点 共 线 .
7、(2)由于 ka b 和 a kb 共线,所以存在实数,使 ka b (a kb),所以 (k)a (k1)b.由于 a 与 b 为不共线的两个非零向量,所以 k k1 0,所以 k21 0,所以 k 1.【点拨】 (1)向量共线的充要条件中,要留意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要留意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应留意向量共线与三点共线的区分与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.【变式训练3】O 为正三角形BAC 部一点, OA +2 OB +3 OC =0 ,那么 OAC的面积与 OAB 的面积之比为3
8、2A. B.231C.2D.3【解读】如图,在三角形ABC 中, OA 2 OB 3 OC 0,整理可得 OA OC 2( OB OC ) 0.令三角形 ABC 中 AC 边的中点为E, BC 边的中点为F,那么点O 在点 F 与点 E 连线的1处,即 OE 2OF. 3. word.zl-第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-1hh12设三角形ABC 中 AB 边上的高为h,那么 S OAC S OAE S OEC 2. OE .( 2)2OE h,SOAB1AB .2114h AB h,
9、22由于 AB 2EF, OE 3EF,所以 AB3OE,S OAC所以1 OE . h22S.应选 B. OAB总结提高1 AB . h341.向量共线也称向量平行,它与直线平行有区分,直线平行不包括共线(即重合 )的情形, 而向量平行那么包括共线 (即重合 )的情形 .2.判定两非零向量为否平行,实际上就为找出一个实数,使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量 a 与 b 共线同向时, | a b| | a| | b| ; 当向量 a 与 b 共线反向时,| a b| | a| | b| ;当向量 a 与 b 不共线时, | a b| | a| |b |.典例精析题型
10、一平面对量根本定理的应用【例 1】如图 .ABCD 中、M、N 分别为 DC, BC 中点 . AM =a、 AN =b、 试用 a, b 表示 AB , AD 与 AC【解读】易知AM AD DM1 AD 2 AB ,1AN AB BN AB 2 AD ,AD1 ABa、即2AB1 ADb.22所以 AB 3(2ba), AD 2(2a b). 3所以 AC AB AD 2(ab). 3. word.zl-第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-【点拨】 运用平面对量根本定理及线性运算,平面
11、任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得认真领会.【变式训练1】D 为 ABC 的边 BC 上的中点, ABC 所在平面有一点P,满意 PA BP CP 0,| PD |那么等于 ()| AD |11A. B.32C.1D.2【解读】由于D 为 BC 边上的中点,因此由向量加法的平行四边形法那么,易知PB PC 2 PD ,因此结合 PA BP CP 0 即得 PA 2 PD ,因此易得P,A,D 三点共线且D 为 PA 的中点, 所以| PD | AD | 1,即选 C.题型二向量的坐标运算【例 2】 a (1,1),b (x, 1),u a 2b, v 2a b. (1)假设 u
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- 2021 平面 向量 习题集 标准答案
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