2021年2021年排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -排列与组合 . 版块七 . 排列组合问题的常用方法总结学问内容1基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有m1 种不同的方法，在其次类方法中有m2 种方法， 在第 n 类方法中有mn 种不同的方法那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法又称加法原理乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有m1 种不同的方法， 做其次个步骤有m2 种不同方法，做第 n个步骤有mn 种不同的方法那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法又称乘法原理加法原理与乘

2、法原理的综合运用假如完成一件事的各种方法为相互独立的，那么运算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理 假如完成一件事的各个步骤为相互联系的，即各个步骤都必需完成，这件事才告完成，那么运算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理分类计数原理. 分步计数原理为推导排列数. 组合数公式的理论基础， 也为求解排列.组合问题的基本思想方法， 这两个原理非常重要必需仔细学好， 并正确地敏捷加以应用2 排列与组合排列：一般地，从n 个不同的元素中任取m(m n) 个元素，根据肯定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素）排列数：从 n 个不同的元素中取出m( m

3、 n) 个元素的全部排列的个数， 叫做从 n 个n不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号A m 表示n排列数公式： A mn(n1)(n2)(nm1) ， m ， nN，并且 m n 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列n 的阶乘：正整数由 1 到n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出m (m 从 n 个元素中任取 m 个元素的一个组合n. 表示规定： 0.1 n) 个元素并成一组，叫做n组合数：从 n 个不同元素中，任意取出m ( m n) 个元素的全部组合的个数，叫做从 n 个不同元素中，任意取出m 个

4、元素的组合数，用符号Cm 表示1第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -Cn组合数公式：mn(n1)(n2)(nm1)m.n.m.(nm).， m、 nN，并且 m n mm0组合数的两个性质：性质1： CmCn m ；性质 2： CmCC1 （规定 C1 ）nn排列组合综合问题n 1nnn解排列组合问题， 第一要用好两个计数原理和排列组合的定义，即第一弄清为分类仍为分步，为排列仍为组合，同时要把握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素.特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的

5、要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类争论或分步运算，肯定要做到分类明确，层次清晰，不重不漏 3排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这为一种间接解题的方法4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素， 与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列 5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空6插板法： n 个相同元素，分成 m(m n) 组，每组至少一个的分组问题把n个元素排成一排，从n1 个空中选 m1 个空，各插一个隔板，有C m 1 n 1

6、7分组.安排法：分组问题（分成几堆，无序）有等分.不等分.部分等分 之别一般地平均分成n 堆（组），必需除以n ！，假如有 m 堆（组）元素个数相等，必需除以 m ！8错位法：编号为1 至 n 的 n个小球放入编号为1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特殊当n2 ，3，4，5 时的错位数各为1， 2， 9， 44关于 5.6.7 个元素的错位排列的运算，可以用剔除法转化为2 个.3 个.4 个元素的错位排列的问题1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满意特殊元素的

7、要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑，即先满意特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法： 先不考虑附加条件， 运算出排列或组合数， 再减去不符合要求的排列数或组合数求解时应留意先把详细问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理仍为分步计数原理；然后分析题目条件，防止“选取”时重复和遗 漏；最终列出式子运算作答2详细的解题策略有：对特殊元素进行优先支配；懂得题意后进行合理和精确分类，分类后要验证为否不重不漏；对于抽出部分元素进行排列的问题一般为先选后排，以防显现重复；2第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - -

8、- - - - - - - - - - -对于元素相邻的条件， 实行捆绑法； 对于元素间隔排列的问题，实行插空法或隔板法；次序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型典例分析直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类争论）【例 1】 从 5 名外语系高校生中选派 4名同学参与广州亚运会翻译. 交通.礼仪三项义工活动，要求翻译有 2 人参与，交通和礼仪各有 1人参与，就不同的选 派 方 法 共 有 【例 2】 北京财宝全球论坛期间，某高校有14 名理想者参与接待工作如每天排早

9、.中.晚三班，每班4 人，每人每天最多值一班，就开幕式当天不同的排班种数为4A CCC124141281244B CAA141281244CCCA3C14128312443D CCC A141283【例 3】 在平面直角坐标系中， x 轴正半轴上有 5 个点， y 轴正半轴有 3 个点，将 x 轴上这 5 个点和 y 轴上这 3 个点连成 15 条线段，这15 条线段在第一象限内的交点最多有（）A 30 个B 35 个C 20 个D 15 个3第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 4】

10、一个口袋内有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，从中任取 4 个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？如取一个红球记2 分，取一个白球记 1分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？【例 5】 一个口袋内装有大小相同的7 个白球和 1个黑球从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1个黑球，有多少种取法？从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【例 6】 有12 名划船运动员，其中 3 人只会划左舷， 4人只会划右舷，其余5 人既会划左舷也会划右舷从这12 名运动员中选出 6 人平均分在左.右舷划船参与竞赛，有多少种不同的

11、选法？4第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 7】 如xA， 就1Ax， 就 称A为 伙 伴 关 系 集 合 ， 集 合M1 ，01112 ，3 ，4 的全部非空子集中， 具有伙伴关系的集合的个， ， ，32数为（）A 15B 16C 28D 25【例 8】 从 6 名女生， 4 名男生中，按性别采纳分层抽样的方法抽取5 名同学组成32641064课外小组，就不同的抽取方法种数为 264A C3CB C2CC C5D A 3A【例 9】 某城市街道呈棋盘形， 南北向大街 3条，东西向大街

12、 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种【例 10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步 上两级，如规定从二楼到三楼用7 步走完，就上楼梯的方法有 种5第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 11】亚.欧乒乓球对抗赛，各队均有5 名队员，按事先排好的次序参与擂台赛，双方先由 1 号队员竞赛，负者剔除，胜者再与负方2 号队员竞赛，直到一方全被剔除为止，另一方获胜，形成一种竞赛过程那么全部可能 显现的竞赛过程有多少种？【例 12】设含有 10 个元

13、素的集合的全部子集数为S ，其中由 3 个元素组成的子集数为 T ，就 TS的值为（）A 20128B 15128C 16128D 211286第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 13】设坐标平面内有一个质点从原点动身，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5 次跳动质点落在点(1，0) （答应重复过此点）处，就质点不同的运动方法种数为【例 14】从10 名男同学， 6 名女同学中选 3 名参与体能测试，就选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作

14、答）【例 15】在AOB 的边 OA 上有A1 ，A2 ，A3 ，A4 四点， OB 边上有B1 ，B2 ，B3 ，B4 ，B5 共 9个点，连结线段Ai B j (1 i 4，1j 5) ，假如其中两条线段不相交，就称之为一对“和谐线” ，和谐线的对数共有： （）A 60B 80C 120D 160【例 16】从 7 名男生 5 名女生中，选出5 人，分别求符合以下条件的选法种数有多少种？7第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -A . B 必需当选；A . B 都不当选；A . B 不全当选

15、； 至少有 2 名女生当选； 选出 5 名同学，让他们分别担任体育委员. 文娱委员等 5 种不同工作， 但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任【例 17】甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学. 2 名女同学如从甲.乙两组中各选出2 名同学，就选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（） A 150 种B 180 种C 300 种D 345 种【例 18】从10 名高校毕业生中选 3 人担任村长助理，就甲.乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A 85B 56C 49D 28【例 19】某班级要从 4 名男生. 2 名女生中选派4 人参与某次社区服务，

16、假如要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为（）A 14B 24C 28D 488第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 20】要从10 个人中选出 4 个人去参与某项活动，其中甲乙必需同时参与或者同时不参与，问共有多少种不同的选法？【例 21】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？如其中的一辆车必需停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？【例 22】某班 5 位同学参与周一到周五的值日，每天支配一名同学，其中同学甲只能支配到周一或周二，同学乙不能支配在周五，就他们

17、不同的值日支配有（）A288 种B72 种C42 种D 36 种【例 23】某班有 30 名男生， 30 名女生，现要从中选出5 人组成一个宣扬小组，其中男.女同学均不少于2 人的选法为（）2155302046503020A C2 CCB C5CCC C5C1 C4C4 C1D C3 C2C2 C3503020302030203020【例 24】用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满意以下条件的四位数各有多少个数字 1 不排在个位和千位数字 1 不在个位，数字6 不在千位9第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 -

18、 - - - - - - - - - - - -【例 25】甲.乙.丙.丁.戊5 名同学进行讲笑话竞赛，决出了第一到第五的名 次，甲.乙两名参赛者去询问成果，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会为最差的” 从这个回答分析， 5 人的名次排列共有 （用数字作答）种不怜悯形【例 26】某高校外语系有 8 名奥运会理想者，其中有 5 名男生， 3 名女生，现从中选 3 人参与某项“好运北京”测试赛的翻译工作，如要求这 3 人中既有男生，又有女生，就不同的选法共有（ ）A 45 种B 56 种C 90 种D 120 种【例 27】用 5， 6， 7， 8， 9 组成没有重

19、复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）A 120B 72C 48D 36【例 28】某电视台连续播放 5 个不同的广告，其中有3 个不同的商业广告和2 个不同的奥运宣扬广告，要求最终播放的必需为奥运宣扬广告，且两个奥运宣扬广告不能连续播放，就不同的播放方式有（）A 120 种B 48 种C 36 种D 18 种【例 29】从 6 人中选 4 人分别到巴黎.伦敦.悉尼.莫斯科四个城市游玩，要求每个城市有一人游玩，每人只游玩一个城市，且这6 人中，甲.乙10第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - -

20、 - - - - - - - -两人不去巴黎游玩，就不同的选择方案共有 种（用数字作答）【例 30】从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，如这3 人中至少有 1 名女生，就选派方案共有（）A 108 种B 186 种C 216 种D 270 种【例 31】甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有 6 名男同学. 2 名女同学如从甲.乙两组中各选出 2 名同学，就选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法 共 有 （ ）A 150 种B 180 种C 300 种D 345 种【例 32】将 4名高校生安排到3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，就不同的安排方案

21、有 种（用数字作答）【例 33】用数字 1、2、3、4、5 可以组成没有重复数字，并且比20000 大的五位偶数共有（）A 48 个B 36 个C 24个D 18 个【例 34】一生产过程有 4 道工序，每道工序需要支配一人照看现从甲.乙.丙11第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -等 6 名工人中支配 4 人分别照看一道工序， 第一道工序只能从甲. 乙两工人中支配 1 人，第四道工序只能从甲.丙两工人中支配 1人，就不同的支配方案共有（ ）A 24种B 36 种C 48 种D 72 种【例

22、 35】2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排 如男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，就不同排法的种数为（）A36B42 C 48D 60【例 36】从 6 名女生， 4 名男生中，按性别采纳分层抽样的方法抽取5 名同学组成641064课外小组，就不同的抽取方法种数为 64A C3C2B C2C3C C5D A 3A 2【例 37】 7 名理想者中支配 6 人在周六.周日两天参与社区公益活动 如每天支配3 人，就不同的支配方案共有种（用数字作答）12第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - -

23、 - - - - -【例 38】给定集合 An1、 2、3、n ，映射f : AnAn 满意：当 i 、jAn 、ij 时，f (i )f ( j ) ；任取mAn ，如 m 2 ，就有 m f (1)、f (2)、f ( m) 就称映射 f ：AnAn 为一个“优映射”例如：用表 1 表示的映射 f ：A3A3为一个“优映射”表 1表 2i123f (i )231i1234f (i)3已知表 2 表示的映射 f ： A4A4 为一个优映射，请把表2 补充完整（只需填出一个满意条件的映射） ；如映射 f ：A10A10 为“优映射”，且方程f (i )i 的解恰有 6 个，就这样的“优映射”的

24、个数为 i1234f (i)2314【例 39】将 7 个不同的小球全部放入编号为2 和 3 的两个小盒子里，使得每个盒子 里的球的个数不小于盒子的编号， 就不同的放球方法共有 种【例 40】将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，就不同的放球方法有13第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -（）A10 种B 20 种C 36 种D52 种【例 41】一个口袋内有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，从中任取 4 个球

25、，红球的个数不比白球少的取法有多少种？如取一个红球记2 分，取一个白球记 1分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种？【例 42】正整数a1a2ana2n2 a2n1( nN ， n1) 称为凹数，假如a1a2an ，且a2n 1a2n 2an ，其中 ai0 ，1，2，9(i1，2，)，请回答三位凹数a1a2a3 (a1a3 ) 共有个（用数字作答）【例 43】 2021 年广州亚运会组委会要从小张.小赵.小李.小罗.小王五名理想者中选派四人分别从事翻译.导游.礼仪.司机四项不同工作，如其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，就不同的选派方案共有（ ）

26、A 36 种B 12 种C 18 种D 48 种【例 44】某地奥运火炬接力传递路线共分6 段，传递活动分别由6 名火炬手完成假如第一棒火炬手只能从甲.乙.丙三人中产生，最终一棒火炬手只能从甲.乙两人中产生，就不同的传递方案共有作答） 种（用数字14第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 45】某人手中有 5 张扑克牌，其中 2 张为不同花色的2，3 张为不同花色的A， 有 5 次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【例 46】从 7 人中选派 5 人

27、到 10 个不同交通岗的5 个中参与交通协管工作， 就不同的选派方法有（）A C5 A5 A5 种B A5C 5 P5 种C C 5 C 5 种D C 5 A5710 5710 5107710【例 47】12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，如每个路口4 人，就不同的安排方案共有（）444444443C4 C4C4AA C C C 种B3 CC C 种 C C C A种 D 1284 种12841284128333【例 48】袋中装有分别编号为 1、2、3、4 的 4 个白球和 4 个黑球，从中取出3 个球，就取出球的编号互不相同的取法有（）A 24种B 28 种C 32 种D 3

28、6 种【例 49】现有男.女同学共 8 人，从男生中选 2 人，从女生中选 1 人分别参与数学.物理.化学三科竞赛，共有90 种不同方案，那么男.女生人数分别为（）A男生 2 人，女生 6 人B男生 3 人，女生 5 人C男生 5 人，女生 3 人D男生 6 人，女生 2 人【例 50】将 4 个小球任意放入 3 个不同的盒子中，如 4 个小球各不相同，共有多少种放法？如要求每个盒子都不空，且4 个小球完全相同，共有多少种不同的放15第 15 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -法？如要求每个盒子都

29、不空，且4 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例 51】将 7 个小球任意放入 4个不同的盒子中，每个盒子都不空，如 7 个小球完全相同，共有多少种不同的放法？如 7 个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例 52】四个不同的小球，每球放入编号为1. 2 . 3 .4 的四个盒子中 任凭放（可以有空盒，但球必需都放入盒中）有多少种放法？ 四个盒都不空的放法有多少种？ 恰有一个空盒的放法有多少种？ 恰有两个空盒的放法有多少种？ 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？【例 53】设坐标平面内有一个质点从原点动身，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1 个单位，如经过 5

30、次跳动质点落在点3 ，0 处（答应重复过此点） ，就质点不同的运动方法共 种；如经过 m 次跳动质点落在点n ，0处（答应重复过此点） ，其中 m n ，且 mn 为偶数，就质点不同的运动方法共有 种16第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 54】设集合 I1，2 ，3，4 ，5 ，选择 I 的两个非空子集A 和 B ，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，就不同的选择方法共有（）A50 种B49 种C48 种D47 种【例 55】 f 为集合 M 1，2 ，3 ，4 到集合 N1

31、，2 ，3 的映射， g 为集合 N 到集合 M的 映 射 ， 就 不 同 的 映 射 f的 个 数 为 多 少 ？ g 有 多 少 ？ 满 足f (a)f (b)f (c)f (d )8的 映射 f 有 多 少 ？ 满 足f g( x) x的映 射 对( f ，g ) 有多少？【例 56】排球单循坏赛，胜者得 1 分，负者 0 分，南方球队比北方球队多9 支，南方球队总得分为北方球队的9 倍，设北方的球队数为x 试求北方球队的总得分以及北方球队之间竞赛的总得分；证明： x6 或 x8 ；证明：冠军为一支南方球队17第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word

32、 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 57】已知集合 A1、 2、 3、 4，函数f ( x)的定义域.值域都为A ，且对于任意iA、f (i )i 设a1 、 a2 、 a3 、a4为 1、 2、3、 4 的 任 意 的 一 个 排 列 ， 定 义 数表a1f (a1 )a2f ( a2 )a3f (a3 )a4f (a4 )，如两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这为两张不同的数表， 那么满意条件的不同的数表的张数为（）A 216B 108C 48D 24间接法（直接求解类别比较大时）【例 58】有五张卡片，它的正反面分别写0 与 1，2 与 3，4

33、与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【例 59】从 0 、 2 、 4 中取一个数字，从 1 、 3 、 5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数，就全部不同的三位数的个数为（）A 36B 48C 52D 5418第 18 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 60】以三棱柱的顶点为顶点共可组成个不同的三棱锥【例 61】设集合 S1 、 2 、 3 、 9，集合Aa1 、 a2、 a3为 S 的子集，且a1、 a2、 a3 满足 a1

34、a2a3 ， a3a2 6 ，那么满意条件的子集A 的个数为（）A 78B 76C 84D 83【例 62】将甲.乙.丙.丁四名同学分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲.乙两名同学不能分到同一个班，就不同分法的种数为 （）A 18B 24C 30D 36【例 63】某高校外语系有 8 名奥运会理想者，其中有 5 名男生， 3 名女生，现从中选 3 人参与某项“好运北京”测试赛的翻译工作，如要求这 3 人中既有男生，又有女生，就不同的选法共有（ ）A 45 种B 56 种C 90 种D 120 种【例 64】对于各数互不相等的正数数组i1 、 i 2、 i n（ n 为不小于 2 的正

35、整数），假如在 pq 时有 i piq ，就称“i p 与 iq ”为该数组的一个“次序” ，一个数组中全部“次序”的个数称为此数组的“次序数”例如，数组 2 、 4 、 3 、 1中有次序“ 2 、 4 ”，“ 2、3”，其“次序数”等于2 如各数互不相等的正数数组a1 、 a2、 a3、 a4、 a5的“次序数”为 4 ，就a5 、 a4、 a3、 a2、 a1的“顺序数”为 19第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -【例 65】已知集合 A5 ， B1 ，2 ，C 1，3 ，4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，就确定的不同点的个数为（）A 33B 34C 35D 36【例 66】甲.乙.丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，如每级台阶最多站2 人，同一级