插值法均差与牛顿插值公式.ppt

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1、关于插值法均差与牛顿插值公式现在学习的是第1页，共37页27.09.20222我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多现在学习的是第2页，共37页27.09.20223 拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从直线方程点斜式出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值多项式表示为现在学习的是第3页，共37页27.09.20224当当依次可得到。为写出系数的一般表达式，现引入差商（均差）定义。现在学习的是第4页，共37页27.09.20225一、差商(均差)定义2.称现在学习的是第5页，共37页27.09.20226现在学习的是第6页，

2、共37页27.09.20227二、均差具有如下性质：二、均差具有如下性质：现在学习的是第7页，共37页27.09.20228例例现在学习的是第8页，共37页27.09.20229这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关(差商的对称性)。即现在学习的是第9页，共37页27.09.202210性质3：若f(x)在a,b上存在n阶导数，且节点则n阶均差与导数关系如下：现在学习的是第10页，共37页27.09.202211三、均差三、均差的计算方法的计算方法(表格法表格法):规定函数值为零阶均差均差表现在学习的是第11页，共37页27.09.202212例例1:已知下表，计算三阶差商已知下表，计算三阶差

3、商 1 13 34 47 70 02 215151212解：列表计算解：列表计算一一阶阶差差商商二二阶阶差商差商 三三阶阶差商差商1 10 03 32 21 14 4151513134 47 71212-1-1-3.5-3.5-1.25-1.25现在学习的是第12页，共37页27.09.2022132.3.2 牛顿插值公式现在学习的是第13页，共37页27.09.202214现在学习的是第14页，共37页27.09.202215我们称为牛顿(Newton)均差插值多项式。称为牛顿均差插值多项式的截断误差。现在学习的是第15页，共37页27.09.202216现在学习的是第16页，共37页27.

4、09.202217现在学习的是第17页，共37页27.09.202218现在学习的是第18页，共37页27.09.202219显然：现在学习的是第19页，共37页27.09.202220例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。x0 01 12 24 4 f(x)1 19 923233 3现在学习的是第20页，共37页27.09.202221解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为Lagrange插值多项式为现在学习的是第21页，共37页27.09.202222（2）Newton插值多项式：建立差商表为一一阶阶

5、差商差商二二阶阶差商差商三三阶阶差商差商0 01 11 19 98 82 2232314143 34 43 3-10-10-8-8现在学习的是第22页，共37页27.09.202223Newton插值多项式为（3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列，便得到现在学习的是第23页，共37页27.09.202224v练习：已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2，2)构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数是6，试确定数据y。现在学习的是第24页，共37页27.09.202225四、拉格朗日插值与牛顿插值的比较现在学习的是第25页，共37页27.09.202226现在

6、学习的是第26页，共37页27.09.202227一、差分定义3.2.3.4 差分及其性质差分及其性质现在学习的是第27页，共37页27.09.202228依此类推现在学习的是第28页，共37页27.09.202229差分表现在学习的是第29页，共37页27.09.202230二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系现在学习的是第30页，共37页27.09.202231依此类推现在学习的是第31页，共37页27.09.202232一、牛顿前插公式等距节点插值公式等距节点插值公式现在学习的是第32页，共37页27.09.202233现在学习的是第33页，共37页27.09.202234v牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值无法比的.v但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比现在学习的是第34页，共37页27.09.202235The End现在学习的是第35页，共37页27.09.202236P48 1、8本章作业现在学习的是第36页，共37页27.09.2022感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第37页，共37页