辽宁省沈阳市铁路实验中学2015_2016学年高二数学上学期期中试卷理含解析.doc

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1、2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列有关命题的说法错误的是( )A命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C若pq为假命题，则p、q均为假命题D对于命题p：xR，使得x2+x+10则p：xR，均有x2+x+102等差数列an中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于( )A66B99C144D2973已知条件p： x1，q：，则p是q的( )A充分

2、不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知命题p：xR，使得x+2，命题q：xR，x2+x+10，下列命题为真的是( )ApqB（p）qCp（q）D（p）（q）5设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于( )A6B7C8D96设等比数列an的前n项和为Sn，若=3，则=( )A2BCD37下列说法正确的是( )A函数y=x+的最小值为2B函数y=sinx+（0x）的最小值为2C函数y=|x|+的最小值为2D函数y=lgx+的最小值为28设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y2x的最小值为( )A7B4C1D29已知数列1

3、，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是( )ABC或D10设a0，b1，若a+b=2，且不等式+m2+8m恒成立，则m的取值范围是( )Am9或m1Bm1或m9C9m1D1m911已知变量x，y满足，则u=的值范围是( )ABCD12已知等差数列an的前n项和为Sn且满足S170，S180，则中最大的项为( )ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知a0，b0，ab（a+b）=1，求a+b的最小值为_14变量x、y满足线性约束条件，则使目标函数z=ax+y（a0）取得最大值的最优解有无数个，则a的值为_15已知an是等比数列，则a1a2+

4、a2a3+anan+1=_16下列命题中：ABC中，ABsinAsinB数列an的前n项和Sn=n22n+1，则数列an是等差数列锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a的取值范围是a5若Sn=22an，则an是等比数列真命题的序号是_三、解答题17设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求的值；（2）若cosB=，ABC的周长为5，求b的长19已知各项均不相等的等差数列an的前五项和S5=20，且a1，a

5、3，a7成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn为数列的前n项和，若存在nN*，使得Tnan+10成立求实数的取值范围20为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求k的值及f（x）的表达式（）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值21解关于x的不等式ax2（2a+2）x+402

6、2定义：称为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”已知数列an的前n项的“均倒数”为，（1）求an的通项公式；（2）设cn=，试判断并说明数列cn的单调性；（3）求数列cn的前n项和Sn2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列有关命题的说法错误的是( )A命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C若pq为假命题，则p、q均为假命题D对于命题p：xR，使得x2+x+10则p：xR，均有x

7、2+x+10【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】综合题【分析】根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案【解答】解：命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”故A为真命题；“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件故B为真命题；若pq为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：xR，使得x2+x+10则非p：xR，

8、均有x2+x+10，故D为真命题；故选C【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型2等差数列an中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于( )A66B99C144D297【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到和，用得到d的值，把d的值代入即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13，由a3+a6+a9=3a1+15d=

9、27，得a1+5d=9，得d=2，把d=2代入得到a1=19，则前9项的和S9=919+（2）=99故选B【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题3已知条件p：x1，q：，则p是q的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案【解答】解：由x1，推出1，p是q的充分条件，由1，得0，解得：x0或x1不是必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题4已知命题p：x

10、R，使得x+2，命题q：xR，x2+x+10，下列命题为真的是( )ApqB（p）qCp（q）D（p）（q）【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】本题的关键是判定命题p：xR，使得，命题的真假，在利用复合命题的真假判定【解答】解：对于命题p：xR，使得，当x0时，命题p成立，命题p为真命题，显然，命题q为真根据复合命题的真假判定，pq为真，（p）q为假，p（q）为假，（p）（q）为假【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断5设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于(

11、 )A6B7C8D9【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2（11）+8d=6，解得d=2，所以，所以当n=6时，Sn取最小值故选A【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力6设等比数列an的前n项和为Sn，若=3，则=( )A2BCD3【考点】等比数列的前n项和【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案【解答】解：设公比为q，则=1+q3=3，所

12、以q3=2，所以=故选B【点评】本题考查等比数列前n项和公式7下列说法正确的是( )A函数y=x+的最小值为2B函数y=sinx+（0x）的最小值为2C函数y=|x|+的最小值为2D函数y=lgx+的最小值为2【考点】基本不等式【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】Ax0时无最小值；B令sinx=t，由0x，可得sinx（0，1），即t（0，1，令f（t）=t+，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出；C令|x|=t0，令f（t）=t+，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出；D当0x1时，lgx0，无最小值【解答】解：Ax0时无最小值；B令sinx=t，0x，sinx（0

13、，1），即t（0，1，令f（t）=t+，f（t）=1=0，函数f（t）在t（0，1上单调递减，f（t）f（1）=3因此不正确C令|x|=t0，令f（t）=t+，f（t）=1=，函数f（t）在t（0，上单调递减，在tBCD【考点】简单线性规划【专题】计算题；不等式的解法及应用；直线与圆【分析】化简得u=3+，其中k=表示P（x，y）、Q（1，3）两点连线的斜率画出如图可行域，得到如图所示的ABC及其内部的区域，运动点P得到PQ斜率的最大、最小值，即可得到u=的值范围【解答】解：u=3+，u=3+k，而k=表示直线P、Q连线的斜率，其中P（x，y），Q（1，3）作出不等式组表示的平面区域，得到如图

14、所示的ABC及其内部的区域其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）设P（x，y）为区域内的动点，运动点P，可得当P与A点重合时，kPQ=达到最小值；当P与B点重合时，kPQ=达到最大值u=3+k的最大值为+3=；最小值为+3=因此，u=的值范围是故选：A【点评】本题给出二元一次不等式组，求u=的取值范围着重考查了直线的斜率公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题12已知等差数列an的前n项和为Sn且满足S170，S180，则中最大的项为( )ABCD【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得a90，a100，由此可知0，0，0，0，0，

15、即可得出答案【解答】解：等差数列an中，S170，且S180即S17=17a90，S18=9（a10+a9）0 a10+a90，a90，a100，等差数列an为递减数列，故可知a1，a2，a9为正，a10，a11为负；S1，S2，S17为正，S18，S19，为负，0，0，0，0，0，又S1S2S9，a1a2a9，中最大的项为故选D【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知a0，b0，ab（a+b）=1，求a+b的最小值为2+2【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】利用基本不等式的

16、性质即可得出【解答】解：a0，b0，ab（a+b）=1，1+a+b=ab，化为（a+b）24（a+b）40，解得，当且仅当a=b=1+时取等号a+b的最小值为2+2故答案为：2+2【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题14变量x、y满足线性约束条件，则使目标函数z=ax+y（a0）取得最大值的最优解有无数个，则a的值为2【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=ax+

17、y（a0）得y=ax+z，a0，目标函数的斜率k=a0平移直线y=ax+z，由图象可知当直线y=ax+z和直线2x+y=2平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，此时a=2，即a=2故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法15已知an是等比数列，则a1a2+a2a3+anan+1=【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列anan+1每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案【解答】解：由 ，解得 数列anan+1仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，

18、故答案为【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息16下列命题中：ABC中，ABsinAsinB数列an的前n项和Sn=n22n+1，则数列an是等差数列锐角三角形的三边长分别为3，4，a，则a的取值范围是a5若Sn=22an，则an是等比数列真命题的序号是【考点】命题的真假判断与应用【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；简易逻辑【分析】ABC中，利用正弦定理与三角形的边角大小关系可得：ABabsinAsinB，即可判断出正误；由Sn=n22n+1，可得an=，即可判断出正误；若a是最大边，则32+42a2，解得a；若4是最大边，则32

19、+a242，解得a，即可判断出正误由Sn=22an，可得an=，即可判断出正误【解答】解：ABC中，ABabsinAsinB，正确；数列an的前n项和Sn=n22n+1，可得an=，因此数列an不是等差数列锐角三角形的三边长分别为3，4，a，若a是最大边，则32+42a2，解得a5；若4是最大边，则32+a242，解得，则a的取值范围是a5，正确若Sn=22an，可得an=，可知首项与公比都为，因此an是等比数列，正确真命题的序号是 故答案为：【点评】本题考查了正弦定理、数列的前n项和公式与通项公式、三角形三边大小关系、命题真假的判定方法，考查了推理能力，属于中档题三、解答题17设命题p：实数

20、x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又pq为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由p是q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围【解答】解：（1）当a=1时，p：x|1x3，q：x|2x3，又pq为真，所以p真且q真，由得2x3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为p是q的充分不必要条件，所以q是p的

21、充分不必要条件，又p：x|ax3a（a0），q：x|2x3，所以解得1a2，所以实数a的取值范围是（1，2【点评】充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求的值；（2）若cosB=，ABC的周长为5，求b的长【考点】正弦定理的应用；余弦定理【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出的值（2）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值【解答】解：（1）因为所以即：cosAsinB2sinBcosC=2sinCcosBcosBs

22、inA所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA所以=2（2）由（1）可知c=2aa+b+c=5b2=a2+c22accosBcosB=解可得a=1，b=c=2；所以b=2【点评】本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用，函数与方程的思想，考查计算能力，常考题型19已知各项均不相等的等差数列an的前五项和S5=20，且a1，a3，a7成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn为数列的前n项和，若存在nN*，使得Tnan+10成立求实数的取值范围【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（1）设数列an的公差为

23、d，运用等差数列的求和公式和等比数列的性质，解方程可得a1=2，d=1，再由等差数列的通项即可得到；（2）运用裂项相消求和，求得Tn，再由参数分离和基本不等式即可得到所求范围【解答】解：（1）设数列an的公差为d，由已知得即为，即，由d0，即有，故an=2+n1=n+1；（2）=，存在nN*，使得Tnan+10成立，存在nN*，使得（n+2）0成立，即有解，即有max，而=，n=2时取等号【点评】本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，运用参数分离和基本不等式是解题的关键20为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建

24、造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和（）求k的值及f（x）的表达式（）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】应用题【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元我们可得C（0）=8，得k

25、=40，进而得到建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值【解答】解：（）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为再由C（0）=8，得k=40，因此而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（），令f（x）=0，即解得x=5，（舍去）当0x5时，f（x）0，当5x10时，f（x）0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建5cm厚时，总

26、费用达到最小值为70万元【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一21解关于x的不等式ax2（2a+2）x+40【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；分类讨论；分类法；不等式的解法及应用【分析】已知不等式左边分解因式后，分a=0与a0两种情况求出解集即可【解答】解：不等式ax2（2a+2）x+40，因式分解得：（ax2）（x2）0，若a=0，不等式化为2（x2）0，则解集为x|x2；若a0时，方程（a

27、x2）（x2）=0的两根分别为，2，若a0，则2，此时解集为x|x2；若0a1，则2，此时解集为x|x2或x；若a=1，则不等式化为（x2）20，此时解集为x|x2；若a1，则2，此时解集为x|x2或x【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了分类讨论的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键22定义：称为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”已知数列an的前n项的“均倒数”为，（1）求an的通项公式；（2）设cn=，试判断并说明数列cn的单调性；（3）求数列cn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列的函数特性；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）易知数列an的前n项Sn=n2+2

28、n，利用SnSn1可知当n2时的通项公式，进而可得结论；（2）通过an=2n+1可知cn=，利用作差法计算即得结论；（3）通过cn=，写出Sn、3Sn的表达式，利用错位相减法计算即得结论【解答】解：（1）设数列an的前n项为Sn，依题意有Sn=n2+2n，当n=1时，a1=S1=3；当n2时时，an=SnSn1=2n+1；综上，an=2n+1；（2）an=2n+1，cn=，cn+1=，cn+1cn=0，数列cn是递减数列；（3）cn=，Sn=3+5+7+（2n1）+（2n+1），3Sn=3+5+7+（2n1）+（2n+1），两式相减得：2Sn=3+2（+）（2n+1）=3+（2n+1）=4，Sn=2【点评】本题考查数列的通项及前n项和、数列的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题- 19 -