初升高衔接数学篇.pdf

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1、数学篇第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示知识点：1. 集合的含义：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合；集合中每个对象称为这个集合的元素；2. 集合中元素的性质： （1）确定性：集合中的元素必须是确定的；（2）互异性：集合中的元素必须是互不相同的；（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的；集合常用大写字母表示，比如：.,CBA元素常用小写字母表示，比如：.,cba若a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作Aa；若a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作Aa；3. 几个常见的数集： （1）N：自然数集；（2）)(*NN：正整数集；（3）Z

2、：整数集；（4）Q：有理数集；（5）R：实数集；4. 集合的表示方法： （1）列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于大括号；如： “中国的直辖市”构成的集合北京，上海，天津，重庆；注：注：元素之间要用逗号分隔，列举时与元素顺序无关；（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体方法是： 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征；5. 集合的分类（按元素个数分） ： （1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；1.1.2 集合间的基本关系知识点： 1. 子集：一般地，对于两个

3、集合BA,，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记做BA（或AB ） ，读作“A含于B” （或“B包含A” ） ；2. 集合相等：如果集合A是集合B的子集（BA） ，且集合B是集合A的子集（AB ） ，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作BA；3. 真子集：如果集合BA，但存在元素,Bx且Ax，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB；4. 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；5. Venn 图：在数学上，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这

4、种图称为 Venn 图；用 Venn 图表示 A 包含于 B最后由集合之间的关系可得以下结论：（1） 任何一个集合是它本身的子集， 即AA；（2）对于集合,CBA如果,BA且CB ，那么CA；1.1.3 集合的基本运算知识点：1. 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作BA（读作“A并B” ） ，即,|AxxBA或Bx；可用 Venn 图表示2. 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作BA（读作“A交B” ） ，即,|AxxBA且Bx；可用 Venn 图表示3. 全集：一般地，如果一个集合含有我们所

5、研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U；4. 补集： 对于一个集合A， 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作ACU，即,|UxxACU且Ax；可用 Venn 图表示BAACUBA获取1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念知识点：1. 函数的概念：设BA,是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的一个函数，记作Axxfy),(，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x值相对应的y值叫做函数

6、值，函数值的集合| )(Axxf叫做函数的值域；2. 函数三要素： （1）定义域；（2）对应关系f；（3）值域；3. 区间的表示：定义名称符号数轴表示|bxax闭区间ba, |x axb开区间),(ba |x axb半开半闭区间ba, |x axb半开半闭区间ba,4. 函数相等：根据函数的定义可知，值域可由定义域和对应关系确定，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等；5. 抽象函数定义域的理解： （1）已知)(xf的定义域为A，求)(xf的定义域，其实质是已知)(x的取值范围为A，求x的取值范围；（2）已知)(xf的定义域为B，求)(xf的定义域，其实质是

7、已知)(xf中x的取值范围为B，求)(x的取值范围，此范围就是)(xf的定义域；1.2.2 函数的表示法知识点：1. （1）解析法：解析法是指用数学表达式表示两个变量之间的关系；注：注：如果已知函数类型，可以用待定系数法；如果已知)(xgf的表达式，想求)(xf的解析式，可以设),(xgt 然后把)(xgf里的每一个x都换成t；如果条件是一个关于)(),(xfxf的方程，可以用x的任意性进行赋值。比如把每一个x换成x，其目的是再得到一个关于)(),(xfxf的方程，然后消元消去);( xf （2） 图像法： 用图象表示两个变量之间的对应关系这样可以直观形象地表示两变量之间的变化趋势；注：注：

8、画图时一般很难把所有点都描出来， 故为了使画出来的图能反映变量间的变化规律， 我们要尽量选择关键点： 最高点， 最低点和与yx,轴相交的交点；（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系函数三种表示法的优缺点结论：如何作函数的图象：一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象， 画图时要注意一些关键点， 如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等；如何求函数的解析式：求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法， 与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要

9、注明定义域.主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)；2. 分段函数： （1）一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数；（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集；（3）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象；研究分段函数，要牢牢抓住两个要点：(1)分段研究；(2)合并表达.因为分段函数无论分成多少段， 仍是一个函数， 对外是一个整体；1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值知识点：1. 函数的单调性相关概念：一般地，设函数)(xf的定义域为I：(1

10、)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,21xx当21xx 时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是增函数；(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,21xx当21xx 时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是减函数；如果函数)(xfy 在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数)(xfy 在这一区间具有单调性，区间D叫)(xfy 做的单调区间；2. 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“， ”分开，不能用“” ，可以用“和”来表示；在单调区间D

11、上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有；3. 用定义判断或证明函数单调性：（1） 取值： 给定的区间上任意取21,xx且21xx ；（2）作差：作出)()(21xfxf；（3）变形：将式子)()(21xfxf进行变形转化为可判断正负号的式子；（4）定号：得出)()(21xfxf的正负号；（5）小结：根据正负号得出结论；对于函数值恒正(或恒负)的函数)(xf，证明单调性时，也可以作商)()(21xfxf与 1比较；4. 熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等。若),(xf)(xg都是增函数，)(xh是减函数，则在定义域的交集(非空)上)()(xgxf单调递增，)(

12、)(xhxf单调递增，)(xf单调递减；5. 函数的最大（小）值：一般地，设函数)(xfy 的定义域为, I如果存在实数M，满足：(1)对于任意, Ix都有Mxf)(；(2)存在,0Ix 使得;)(0Mxf那么，称M是函数)(xfy 的最大值.如果存在实数M满足：（1）对于任意, Ix，都有;)(Mxf（2）存在,0Ix ，使得,)(0Mxf那么称M是函数)(xfy 的最小值.注：注：1.若函数)(xfy 在区间,ba上单调递增，则)(xf的最大值为)(bf，最小值为)(af；2.若函数)(xfy 在区间,ba上单调递减，则)(xf的最大值为)(af，最小值为)(bf；3.若函数)(xfy 有

13、多个单调区间，那就先决出各区间上的最值，再从各区间的最值组成的集合中取最大或最小的值，函数的最大(小)值是整个值域范围内最大或最小；6.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数;1xy 如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素；(2)若函数)(xf在闭区间,ba上单调，则)(xf的最值必在区间端点处取得.即最大值是)(af或)(bf，最小值是)(bf或)(af;1.3.2 奇偶性知识点：1.奇偶函数的定义：(1)偶函数：如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数。其实质是函数)(xf上任一

14、点)(,(xfx关于y轴的对称点)(,(xfx也在)(xf图象上；(2)奇函数：如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做奇函数.其实质是函数)(xf上任一点)(,(xfx关于原点的对称点)(,(xfx 也在)(xf图象上；2.奇偶函数的几何特征：一般地，偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称；3.奇偶函数定义域特征： 判断函数奇偶性要注意定义域优先原则， 即首先要看定义域是否关于原点对称；4.奇偶函数的证明： （1）首先看定义域是否关于原点对称；（2）定义域内的任意一个x，若函数满足)()(xfxf则为偶函数；若函数满足)()(xf

15、xf则为奇函数；5.如果知道函数的奇偶性和一个区间,ba上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间,ab 上任一点),(yx，通过关于原点(或y轴)的对称点),(yx (或),(yx)满足的关系式间接找到),(yx所满足的解析式；6.一般地，(1)若奇函数)(xf在,ba上是增函数，且有最大值M，则)(xf在,ab 上是增函数，且有最小值M；(2)若偶函数)(xf在)0 ,(上是减函数，则)(xf在), 0( 上是增函数；7.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即)0(f有意义，那么一定有0)0(f，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；(2)偶函数的一个重要性质：)()

16、(xfxf，它能使自变量化归到), 0 上避免了分类讨论；8.具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在,ba和,ab 上具有相同的单调性；(2)偶函数在,ba和,ab 上具有相反的单调性；第二章 基本初等函数2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算知识点：1.a的n次方根定义：如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中1n，且Nn；2.a的n次方根表示：3.根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数4.注：注：对于na，当n为偶数时，要注意两点： （1）只有0a才有意义；（2）只要na有意义，na必不为负；5. 我们规定正数的正分数指数幂的意义是：) 1, 0(*nNn

17、maaanmnm同样的，负分数指数幂有如下规定：) 1, 0(1*nNnmaaanmnm注：注：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义；0aaa6. 指数幂的运算性质： RsrabaabRsraaaRsraaaarrrrssrsrsr, 0)3(), 0()2(), 0() 1 (2.1.2 指数函数及其性质知识点：1. 指数函数的定义：一般地，函数) 1, 0(aaayx叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R；2. 指数函数) 1, 0(aaayx的图象和性质：3. （1） 判断一个函数是不是指数函数， 关键是看解析式是否符合) 1, 0(aaayx这一结构形式，即x

18、a的系数是 1，指数是x且系数为 1；（2）指数函数) 1, 0(aaayx的性质分底数10 , 1aa两种情况， 但不论哪种情况，指数函数都是单调的；2.1 对数函数2.1.1 对数与对数运算知识点：1.对数的概念：如果) 1, 0(aaNax，那么数x叫做以a为底N的对数，记作Nxalog，其中a叫做对数的底数，N叫做真数；2.常用对数与自然对数：通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，以 e 为底的对数称为自然对数，N10log可简记为Nlg，Nelog简记为Nln；3.一般地，有对数与指数的关系：若0a且1a，则xNNaaxlog；对数恒等式：) 1, 0(log;logaaxaNNa

19、xaa；对数的性质：(1)1 的对数为零；(2)底的对数为 1；(3)零和负数没有对数；.4.由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为0a，且1a；由于在指数式中Nax，而0 xa，所以0N；5.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即bNNaablog),0, 1, 0(Naa据此可得两个常用恒等式：（1）;logbaba(2)NaNalog；在关系式Nax中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算；6. 一般地，如果, 0, 0, 1, 0NMaa那么：(1)NMNMaaaloglog)

20、(log；(2);logloglogNMNMaaa(3)(loglogRnMnMana7. 换底公式：);1, 0, 0, 1, 0(logloglogccbaaabbcca特别的：);1, 0, 1, 0( 1loglogbbaaabba8. （1）换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简；（2）运用对数的运算性质应注意：在各对数有意义的前提下才能应用运算性质；根据不同的问题选择公式的正用或逆用；2.1.2 对数函数的性质知识点：1.对数函数的定义：一般地，我们把函数) 1, 0(logaaxya叫做对数

21、函数，其中x是自变量，函数的定义域是), 0( ；.2.对数函数图象和性质：定义) 1, 0(logaaxya底数1a1a图象定义域), 0( 值域R单调性在), 0( 上是增函数在), 0( 上是减函数共点性图象过点)0 , 1 (，即01loga函数值特点) 1 , 0(x时);0 ,(y), 1 x时);, 0 y) 1 , 0(x时);, 0( y), 1 x时;0 ,(y对称性函数xyalog与xya1log的图象关于x轴对称3.判断一个函数是否为对数函数的方法：判断一个函数是对数函数必须是形如) 1, 0(logaaxya的形式，即必须满足以下条件：系数为 1；底数为大于 0 且不

22、等于 1 的常数；对数的真数仅有自变量x；4.对数大小的比较： 比较两个同底数的对数大小， 首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性； 然后比较真数大小， 再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小。 对于底数以字母形式出现的， 需要对底数a进行讨论；5.（1）在对数函数) 1, 0(logaaxya中，底数a对其图象的影响；无论a取何值，对数函数) 1, 0(logaaxya的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，xyalog) 1, 0(aa的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当10 a时函数单调递减，当1a时函数

23、单调递增；（2）比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如 1 或 0 等)来比较。2.2 幂函数知识点：1.幂函数概念：一般地，函数xy 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数；2.几个特殊的幂函数：2xy 3xy 21xy 1 xy定义域RRR), 0 0|xx值域R), 0 R), 0 0|yy奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性

24、增函数在), 0 上增；在0 ,(上减增函数增函数在), 0( 上减；在)0 ,(上减根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点) 1 , 1 (；(2)0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数；特别地，(3)0时，幂函数的图象在区间(0，)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线xy 对称；(5)在第一象限，作直线) 1( aax，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列；3.幂函数与指数函数，对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为 1，底数为自变量x，指数为一常数

25、这三个条件的才是幂函数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准。如,32xy ,)2(3xy 42xy都不是幂函数；xy 3.1 方程的根与函数的零点知识点： 1.一般地， 对于函数),(xfy 我们把使0)(xf的实数x叫做函数)(xfy 的零点；2.方程、函数、图象之间的关系：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点；3.函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf的实数根，也就是函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标；4.函数零点存在性定理：如果函数)

26、(xfy 在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数)(xfy 在区间),(ba内有零点，即存在),(bac使得0)(cf，这个c也就是方程0)(xf的根；注：注：在函数图象连续的前提下，0)()(bfaf， 能判断在区间),(ba内有零点，但不一定只有一个； 而0)()(bfaf， 却不能判断在区间),(ba内无零点；5.判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数；6.方程)()(xgxf的根是函数)(xf与)(xg的图象交点的横坐标，也是函数)()(xgxfy的图象与x轴交点的横坐标；7.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.