(完整)初中数学经典几何难题及答案.pdf

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1、经典难题第 1 页 共 43 页经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB ，EFAB ，EGCO求证： CD GF （初二）第 1 题图第 2 题图2、已知：如图，P是正方形ABCD 内点， PAD PDA 150求证： PBC 是正三角形 （初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形， A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）第 3 题图第 4 题图4、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC，M、N 分别是 AB 、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交

2、 MN 于 E、 F求证： DEN F经典难题（二）1、已知： ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM BC 于 M（1）求证： AH 2OM；（2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二）A N F E C D M B D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A P C D B A F G C E B O D 经典难题第 2 页 共 43 页第 1 题图第 2 题图2、设 MN 是圆 O 外一直线，过O 作 OA MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证： APA

3、Q （初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE ，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证： APAQ （初二）第 3 题图第 4 题图4、如图，分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边， 在 ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，点 P是 EF 的中点求证：点P 到边 AB 的距离等于AB 的一半（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，AEAC， AE 与 CD 相交于 F求证： CECF （初二）P C G F B Q A D E O Q P B

4、D E C N M A G A O D B E C Q P N M A D H E M C B O 经典难题第 3 页 共 43 页第 1 题图第 2 题图2、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，且 CECA ，直线 EC 交 DA 延长线于F求证： AEAF （初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP，CF 平分 DCE求证： PAPF （初二）第 3 题图第 4 题图4、如图， PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证： AB DC，BCAD （初三）经典难题（四）1、已知： A

5、BC 是正三角形， P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求： APB 的度数（初二）第 1 题图第 2 题图2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB （初二）P A D C B A P C B O D B F A E C P F E P C B A E D A C B F A F D E C B D 经典难题第 4 页 共 43 页3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BCAC BD （初三）第 3 题图第 4 题图4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AE

6、CF求证： DPA DPC （初二）经典难题（五）1 、 设P是 边 长 为1的 正 ABC内 任 一 点 ， L PA PB PC ， 求 证 ：L2第 1 题图第 2 题图2、P 是边长为1 的正方形ABCD 内的一点，求PAPBPC 的最小值EAACBPDAPCBF P D E C B A C B D A 经典难题第 5 页 共 43 页3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长第 3 题图第 4 题图4、如图， ABC 中， ABC ACB 800，D、E 分别是 AB、AC 上的点， DCA 300， EBA200，求 BED 的度数经典难题（

7、一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB ，EFAB ，EGCO求证： CD GF。 （初二）证一：连接OE。EGCO ，EF AB，O、G、E、F 四点共圆，且OE 为直径。GF=OEsinGOF。又 OCD 中， CD=OC sinCOD。 GOF+COD=180 ，OC= OE 为 O 半径，CDGF。证二：连接OE，过 G 作 GH AB 于 H。EGCO ，EFAB ，O、G、E、F 四点共圆，且OE 为直径。 GEO=HFG 。 又 EGO= FHG=Rt ， GEO HFG。 GF:OE=GH:OG 。又 GHCD， GH:CD=OG:OC ，即 GH

8、:OG=CD:OC ， GF:OE=CD:OC ，而 OE=OC， CDGF。2、已知： 如图， P 是正方形ABCD 内点， PAD PDA 150A P D E A F G C E B O D A F G C E B O D ACBPDH 经典难题第 6 页 共 43 页求证： PBC 是正三角形 （初二）证明：3、如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形， A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC，M、N 分别是 AB 、CD 的中点， AD 、BC 的延

9、长线交 MN 于 E、 F求证： DEN F经典难题（二）1、已知： ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM BC 于 M（1）求证： AH 2OM ；（2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二）A D H E M C B O A N F E C D M B D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 经典难题第 7 页 共 43 页FMHOABCDEMHOABCDEF2、设 MN 是圆 O 外一直线，过O 作 OA MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证： APA

10、Q （初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE ，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证： APAQ （初二）4、如图，分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边， 在 ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，G A O D B E C Q P N M O Q P B D E C N M A 经典难题第 8 页 共 43 页点 P是 EF 的中点求证：点P 到边 AB 的距离等于AB 的一半（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，AEAC， AE 与 C

11、D 相交于 F求证： CECF （初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，且 CECA ，直线 EC 交 DA 延长线于F求证： AEAF （初二）E D A C B F A F D E C B P C G F B Q A D E 经典难题第 9 页 共 43 页3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP，CF 平分 DCE求证： PAPF （初二）4、如图， PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证： AB DC，BCAD （初三）经典难题（四）1、已知： ABC 是正三角形， P

12、是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求： APB 的度数（初二）F E P C B A A P C B O D B F A E C P D 经典难题第 10 页 共 43 页2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BCAC BD （初三）4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证： DPA DPC （初二）F P D E C B A C B D A P A D C B 经典难题第 11 页 共 43 页经典

13、难题（五）1、 设P是 边 长 为1的 正 ABC内 任 一 点 ，LPAPBPC， 求 证 ：L2APCB经典难题第 12 页 共 43 页2、已知： P 是边长为1 的正方形ABCD 内的一点，求PA PBPC 的最小值3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长4、如图， ABC 中， ABC ACB 800，D、E 分别是 AB、AC 上的点， DCA 300， EBA200，求 BED 的度数ACBPDACBPD经典难题第 13 页 共 43 页经典难题（一）1.如下图做GHAB, 连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG, 即

14、GHF OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。2. 如下图做 DGC 使与 ADP 全等，可得 PDG 为等边，从而可得DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC, 和 DCG=PCG150 所以 DCP=300 ，从而得出 PBC 是正三角形EDCBA经典难题第 14 页 共 43 页3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E. 连接 C2F与 A2E并延长相交于 Q点，连接 EB2并延长交 C2Q于 H点，连接 FB2并延长交 A2Q于 G点，由 A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ，EB2=12AB=12BC=FC1 ，

15、又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以 GEB2=GFQ 又 B2FC2=A2EB2，可得 B2FC2 A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又 GFQ+HB2F=900和 GFQ=EB2A2 , 从而可得 A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。经典难题第 15 页 共 43 页4.如下图连接 AC并取其中点 Q ，连接 QN和 QM ，所以可得QMF= F， QNM= DEN和 QMN= QNM ，从而得出DEN F。经典难题（二）1.(1) 延长 AD到 F连 BF ，做 OGAF, 又 F=ACB= BHD ，可得 BH=B

16、F, 从而可得HD=DF ，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM经典难题第 16 页 共 43 页(2) 连接 OB ，OC,既得BOC=1200，从而可得 BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。3. 作 OFCD ，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG， OQ。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG=，由此可得 ADF ABG ，从而可得 AFC= AGE 。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC= AOP 和 AGE= AOQ，AOP=AOQ，从而可得AP=AQ 。经典难题第 17 页 共 43

17、页4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG ，CI，FH 。可得 PQ=2EGFH+。由 EGA AIC ，可得 EG=AI ，由 BFH CBI，可得 FH=BI 。从而可得PQ=2AIBI+= 2AB，从而得证。经典难题（三）1. 顺时针旋转 ADE ，到 ABG ，连接 CG. 经典难题第 18 页 共 43 页由于ABG= ADE=900+450=1350从而可得B，G， D 在一条直线上，可得AGB CGB。推出 AE=AG=AC=GC ，可得 AGC 为等边三角形。AGB=300，既得 EAC=300，从而可得 A EC=750。又 EFC=DFA=450+300=7

18、50. 可证： CE=CF 。2. 连接 BD作 CH DE，可得四边形CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ，可得 CEH=300，所以 CAE= CEA= AED=150，又 FAE=900+450+150=1500，从而可知道F=150，从而得出AE=AF 。经典难题第 19 页 共 43 页3. 作 FGCD ，FEBE，可以得出GFEC 为正方形。令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tanBAP=tan EPF=XY=ZYXZ-+，可得 YZ=XY-X2+XZ ，即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出 ABP PEF ，得到

19、PAPF ，得证。经典难题第 20 页 共 43 页经典难题（四）1. 顺时针旋转ABP 600，连接 PQ ，则 PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以 APB=1500。2. 作过 P点平行于 AD的直线，并选一点E，使 AE DC ，BE PC. 可以得出ABP= ADP= AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）。可得 BAP= BEP=BCP，得证。经典难题第 21 页 共 43 页3. 在 BD取一点 E，使BCE=ACD ，既得 BEC ADC ，可得：BEBC=ADAC，即 AD ?BC=BE ?AC ，又 ACB= DCE，可得 ABC DEC，既得ABA

20、C=DEDC，即 AB ?CD=DE ?AC，由 +可得 : AB?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。4. 过 D作 AQAE ，AGCF ，由ADESV=2ABCDSY=DFCSV，可得：经典难题第 22 页 共 43 页2AE PQg=2AE PQg，由 AE=FC 。可得 DQ=DG ，可得 DPA DPC（角平分线逆定理） 。经典难题（五）1. （1）顺时针旋转BPC 600，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP， PE，EF 在一条直线上，经典难题第 23 页 共 43 页即如下图：可得最小L=；（2）过 P

21、点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D，F。由于APD ATP=ADP ，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FC PC 又 DF=AF 由可得：最大L ATP=ADP ，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FC PC 又 DF=AF 由可得：最大L 2 ；经典难题第 39 页 共 43 页由（ 1）和（ 2）既得：L2 。2. 顺时针旋转 BPC 600，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF 。经典难题第 40 页 共 43 页既得 AF=213(1)4

22、2+= 23+= 42 32+= 2( 31)2+= 2( 31)2+= 622+。经典难题第 41 页 共 43 页3. 顺时针旋转 ABP 900，可得如下图：既得正方形边长L = 2222(2)()22a+g= 52 2 a+g。经典难题第 42 页 共 43 页4. 在 AB上找一点 F，使BCF=600，连接 EF，DG，既得 BGC 为等边三角形，可得 DCF=100 , FCE=200 ,推出 ABE ACF ，得到 BE=CF ， FG=GE 。推出： FGE 为等边三角形，可得 AFE=800，既得： DFG=400又 BD=BC=BG ，既得 BGD=800，既得 DGF=400推得： DF=DG ,得到： DFE DGE ，从而推得：FED= BED=300。经典难题第 43 页 共 43 页