灰色预测模型及其在电力需求中的应用.pdf

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1、西安建筑科技大学硕士论文 灰色预测模型及其在电力需求中的应用 专 业：应用数学 硕 士 生：刘 苗 指导老师：燕 列 雅 副教授 摘 要 灰色系统理论是中国著名学者邓聚龙教授创立的，以部分信息已知、部分信息未知的不确定性系统为研究对象.灰色预测模型是灰色系统理论的重要内容之一，已被广泛应用于经济、工业、农业等各领域.因此，对灰色预测模型的研究有着重要的意义.本文以灰色系统理论为基础，以 GM(1,1)模型为核心，进而对灰色预测模型进行研究.一方面，在原模型背景值优化的基础上，进一步对其残差模型进行优化，通过实例比较，优化的残差 GM(1,1)模型可以有效地提高预测精度；另一方面，鉴于马尔科夫模

2、型和灰色预测模型都可直接应用于相关时间序列的预测，将马尔科夫模型与灰色预测模型结合，既发挥了灰色预测模型少数据、短时间、小波动的优势，又体现了马尔科夫模型适用于随机波动较大问题的特点，在此基础上，考虑到原 GM(1,1)模型中背景值的构造会影响模型的预测精度，本文采用改进背景值的 GM(1,1)模型与马尔科夫模型组合，以期提高模型精度，从而实现不同模型之间的互补.作为该方法的应用，本文对陕西省全社会及居民生活用电需求进行了预测，结果表明，将改进背景值的 GM(1,1)模型与马尔科夫模型组合后，预测精度比较高，且计算过程较简单，其结果可以为陕西省未来几年的电力需求提供一定的参考依据.电力需求会受

3、到国内生产总值、电价等诸多因素的影响.本文通过灰色关联分析，从外在因素和内部结构两个角度对陕西省电力需求结构及其影响因素进行了剖析，具有实际意义，可供电力部门参考.关键词：关键词：GM(1,1)模型；马尔科夫链；背景值；灰马尔科夫模型；灰色关联分析 西安建筑科技大学硕士论文 西安建筑科技大学硕士论文 Grey Forecasting Model and Its Application in Electric Power Demands Speciality:Applied mathematics Name:Liu Miao Instructor:A.P.Yan Lieya ABSTRACT T

4、he grey system theory is founded by Professor Deng Julong who is the famous scholar in China.，the research object of which is the uncertainty system that partial information is known and some is unknown.Grey forecasting model is one of the important content in the grey system theory,which has been w

5、idely applied in the economy,industry,agriculture,biological and so on.Therefore,the study of the grey forecasting model has important significance.In this paper,the grey forecasting model was studied with GM(1,1)model as the core and based on grey system theory.On the one hand,the residual model wa

6、s optimized based on the background value optimization of the original model.By comparing the example,the accuracy of the prediction can be improved by the optimization of the residual GM(1,1)model effectively.Meanwhile,in view of the grey forecasting model and Markova model can be used in predictio

7、n of related time series directly,the combinations of the grey forecast model and Markova not only played the advantage of a little gray prediction model data,a short period of time,small fluctuations,but also embodies the characteristics that Markov model is applicable to random fluctuations.Based

8、on this situation,taking into account the structure of the background value in the original GM(1,1)model affected the precision of the model,the combination of GM(1,1)model that improved the background value of and the Markov model was studied in this paper,in order to improve the model precision,so

9、 as to achieve complementarity between the different models.As the application of the method,electricity demand of the whole society of Shaanxi Province and the residential was forecasted in this paper,the results showed that the prediction accuracy of improved gray Markov model is relatively high,a

10、nd the calculation process is relatively 西安建筑科技大学硕士论文 simple.The results can provide some reference for electricity demand of Shaanxi Province,in the next few years.The power demand will be affected by the GDP,the price and other factors.In this paper,electricity demand of Shaanxi Province and its i

11、nfluencing factors were analyzed by the gray relational analysis,from two angles on the external factors and internal structure.The study has practical significance and can provide some reference for the electricity demand.Key words:GM(1,1)model;Markova chain;the background value;the grey Markova mo

12、del;grey correlation analysis 西安建筑科技大学硕士论文 I 目 录 1 绪论.1 1.1 研究背景及意义.1 1.2 研究历史及研究现状.1 1.3 本文研究的主要目的与内容.4 2 灰色系统基本理论.5 2.1 灰色系统的基本概念与原理.5 2.1.1 概念.5 2.1.2 基本原理.5 2.2 GM(1,1)模型的建模过程.6 2.2.1 建模思想.6 2.2.2 GM(1,1)模型的建立.6 2.3 残差 GM(1,1)模型.7 2.4 GM(1,1)模型的探讨.9 2.4.1 GM(1,1)模型的的适用范围.9 2.4.2 模型的检验分析.9 2.5 灰色

13、关联分析.11 2.5.1 灰色关联分析概述.11 2.5.2 灰色关联分析方法.11 2.5.3 优势分析.12 3 灰色预测模型.15 3.1 GM(1,1)模型的改进.15 3.1.1 背景值优化的 GM(1,1)模型.15 3.1.2 残差 GM(1,1)模型的优化.16 3.2 灰色组合预测模型.18 3.2.1 马尔科夫链.18 3.2.2 改进的灰色马尔科夫模型的建立.19 4 陕西省电力需求预测.25 4.1 电力需求预测的基础理论.25 4.2 陕西省城市居民电力需求预测分析.25 西安建筑科技大学硕士论文 II 5 陕西省电力需求的灰色关联分析.33 5.1 陕西省电力供需

14、情况.33 5.2 陕西省电力需求的灰色关联分析.34 6 结论.43 致 谢.45 参考文献.47 攻读学位期间公开发表的学术论文.51 西安建筑科技大学硕士论文 1 1 绪 论 1.1 研究背景及意义 在进行系统研究中，因为内外作用的存在以及人们对事物的认识水平的局限性，经常得到带有不确定性的信息.随着人类社会的进步和科学技术水平的不断发展，人们将逐渐深入认识各种不确定性问题，同时研究了对应的不确定性系统1.20世纪后半期，在系统领域中，不断出现各种不确定性系统方法和理论，如概率论、粗糙集、模糊数学等.随之，1982 年中国著名学者邓聚龙教授创立了灰色系统理论，该理论的研究对象是“部分信息

15、未知、部分信息已知”的“贫信息”、“小样本”不确定性系统，通过提取已知信息中的有价值信息，从而掌握系统的运行规律和行为2-3.一般地，我们所熟悉的生态、社会系统等都是灰色系统，在灰理论中，对含有不确定、未知或已知信息的系统进行预测，就是对同时间相关的且在变化的灰色过程的预测.过程中的现象虽然是随机的，却也存在一定的规律，是有界的、有序的.灰色预测就是通过对原始序列的处理，建立预测模型并发现规律，进而对灰色系统的未来状态做出科学的预测.灰色系统理论的这一优势适应了研究实际问题的需要，具有其十分广阔的发展前景4-5.近二十几年来这一新理论得到迅速发展，在经济、工业、农业、能源等众多科学领域中广泛应

16、用，引起各国学者的关注和肯定.1.2 研究历史及研究现状 在灰色系统理论中，灰色预测模型是重要部分之一，经过二十几年的发展，灰色预测理论已经成功应用在众多科学领域中，同时也很好地解决了科学研究及生活生产中的许多实际问题.灰色预测模型是以GM(1,1)模型为核心，扩展到区间预测，数列预测，灾变预测，系统预测和波形预测等众多模型.在灰色系统建模过程中，最重要的思想为累加和累减生成6-8.众多研究者拓展了预测模型，总结出了新模型、新思路和新方法，从而促进了灰色系统理论体系的发展.如邓聚龙教授等对累加生成进行了探讨，并构建了累加生成空间9-11.文12提出了多因素灰色预测模型，增强了因素的变化规律性，

17、减少了其随机性，具有精度高，使用简便等特点.文13提出了随机时间序列预测的新方法，比原模型精度高、算法简单，更适用于预测趋势型随机数据序列.文14通过分析GM(1,1)模型的方程解析式，导出了离散化的GM(1,1)模型，并且讨论了西安建筑科技大学硕士论文 2 其中初始点的选取会影响预测精度，并提出对应的方法，此方法对于解决部分推广形式的灰预测模型存在一定的参考价值.文15-16用来确定时间响应函数中的C的方法是“最小二乘法”，从而优化了GM(1,1)模型.文17提出GM(1,1)模型中，公式(1)()/atXtCeu a=+中的系数C的选取会影响预测精度，对预测公式的系数选取问题提出新的计算方

18、法，同时按理想状态时的绝对误差对新方法作了充分的拓展，并给出计算方法，为建模精度的提高提供了一种新方法.文18-20认为影响GM(1,1)模型精度的关键因素是如何构造背景值z（1），从此角度出发，对预测模型的背景值进行系列研究，提出多种背景值构造方法，其表达式简洁，计算简单，适应性强，取得了较有意义的结果.文21-23对GM(1,1)模型由离散形式转变到白化形式为出发点，从由离散到离散的角度解决了此理论问题，提出了离散灰色预测模型的概念，并研究了原模型与离散模型的关系.文24指出原GM模型的初始条件都是累加序列(1)X的第一个分量，进而进行建模研究，这样导致对新信息的不充分利用，根据灰理论新信

19、息认知原理，在建模过称中令灰色模型(0)(1)()()xkazkb+=的初始条件为(1)X的第n个分量()x n，对GM模型进行改进，提高了预测精度.文25在提出阶段序列概念的基础上，提出了时数分离的方法，用来解决灰色系统问题中非等时距序列问题，该方法将数据序列、时间序列分离后，再进行建模预测.文26在邓聚龙教授提出来的非等间距预测模型的基础上，根据灰色模型的积分定义和指数特征，进而展开研究，提出一种非等间距序列的新建模方法，该方法的预测精度达到预期效果，扩大了模型的应用范围.文27令灰导数白化值为差商(1)(1)(1)()xkxk+，在此基础上建立了逐步优化灰导数的GM建模预测方法，该方法除

20、了适用原来的条件范围，还可以应用于发展系数a的绝对值较大时，提高了模型的预测精度，预测结果较满意.文28根据GM模型中指数的特点，并利用求积分，从而得到一个新背景值的的计算方法，新模型的适用性较强，模拟和预测精度高，不仅适用于高增长序列，也适用于低增长序列，在适用短期预测的同时，还适用于中期和长期预测.文29通过研究原灰预测模型的性质，证明原模型是存在偏差的，并分析了模型偏差的特性，由此提出了无偏预测模型，且在理论上说明了原模型存在误差的原因.文30给出了倒数累加生成的具体定义，令 西安建筑科技大学硕士论文 3(1)(1)()()dxtaxtudt+=，(1)(1)(0)1(0)(1)(1)x

21、xx=，在此基础上提出了GRM(1,1)模型，该方法可适用于初始序列单调递减时模拟精度不高的情况.文31提出了无偏灰微分方程，用来解决GM(1,1)模型建模时存在偏差问题，并且给出无偏GM(1,1)模型的建模方法，还证明了新方法不仅具有白指数规律，还有线性变化一致性.新模型利用了原始序列的初始信息，提高了模型预测精度，也扩大了其适用范围.文32是基于GM(1,1)幂模型的模拟误差分析，提出了无偏GM(1,1)幂模型，并给出了优化参数的方法，该方法可以有效识别初始数据中的参数特性，消除了GM幂模型本身存在的偏差，可以避免原方法中由差分方程与微分方程转换产生的误差，适用于离散模型和无偏GM(1,1

22、)模型.文33提出一种改进的灰模型已用于某地方电力需求的长期预测.另外，许多作者为了得到更符合实际应用的预测效果，对模型的原始序列进行处理时采用的是灰色序列生成方法.文34-35提出序列算子的概念，对不符合建模的数据序列作了缓冲处理，取得较好的预测结果.文36提出平移算子和数据序列的概念，并在此基础上将其与GM(1,1)模型组合，进行分离建模，提高灰色模型的预测精度.文37提出了辅助曲线变化法，该方法能同时兼顾原始序列的特点及其光滑性，它的目的是达到预测模型的残差序列的标准差最小，然后建立找寻最优辅助曲线模型，此方法既能适用于不同模式的初始数据序列，又没有改变初始数据的特性，且能有效提高模型精

23、度.文38通过标准化处理初始序列，提出了余切函数变换，并阐明了离散数据序列通过这种方法处理后光滑度有了一定的提高.文39运用序列算子和影响因子改进了现有序列，将其应用到人口问题预测，并且在加入影响因子后，应用于农业总产值和招生人数的预测的中.文40-42通过对预测模型性质的研究，也取得了丰富的成果.与此同时，还有些作者将灰色模型与其他模型结合应用.如文43将灰色预测模型同线性规划模型组合研究，具有一定的应用价值.文44对娘子关泉灰色系统模型做了研究.文45对遗传算法在灰色预测模型中的应用展开研究.文46-47介绍了灰色系统预测模型在其他一些行业中的广泛应用.以上众多作者的共同目标都是建立高精度

24、的预测模型，提高预测结果.其研究成果总体而言可以归纳为以下几点：一是对原模型进行建模方法改进或参数优化；二是提出某种算子或进行数据变化来提高预测精度；三是将原模型与其他模型结合，构造出灰色组合预测模型.目前的研究对灰色系统理论的发展有着重要的意西安建筑科技大学硕士论文 4 义.1.3 本文研究的主要目的与内容 本文以灰色系统理论为基础，以GM(1,1)模型为核心，进而对灰色预测模型进行研究.研究思路主要是从已有的模型出发，发现不足，希望找到更好地建模方法，并从应用中得到验证，以期能提高灰色预测模型的精度及扩大模型的应用范围.文章具体内容与结构安排如下：第一章主要介绍了灰色系统理论的产生背景，分

25、析了灰色预测模型的研究历史及现状，并对本文研究的主要目的以及内容做了简要介绍；第二章是对灰色系统一些基本理论的介绍，如概念，GM(1,1)模型的建模思想、步骤和残差模型的建立.然后对其使用范围及检验精度做了探讨，最后对灰色关联分析作简单介绍；第三章主要介绍了灰色预测模型.研究了背景值优化的GM(1,1)模型及本文提出的残差GM(1,1)模型的优化，最后介绍了灰色组合预测模型，即灰马尔科夫模型，由此引出了改进的GM(1,1)模型的灰马尔科夫模型；第四章研究了灰色预测模型在陕西省电力需求预测中的应用.首先介绍了电力需求预测的基础理论，接着将改进的GM(1,1)模型的灰马尔科夫模型应用于电力需求预测

26、中，通过比较证明本文提出的模型精度较高，取得了较有意义的结果，可以为陕西省近几年电力需求预测提供一定的依据；第五章是对陕西省电力需求进行灰色关联分析.分别从两个角度，即综合电力消费结构及其影响因素做了灰色关联分析，从而把众多影响因素按照关联排序，以便把握影响的大小.同时说明电力需求的影响因素会对陕西省经济结构的变化产生影响；第六章对文章的归纳总结.西安建筑科技大学硕士论文 52 灰色系统基本理论 2.1 灰色系统的基本概念与原理 2.1.1 概念 概念 一般来说，众多系统的名称源于其研究对象的范围和领域，如经济、农业、工业、生态等.而灰色系统命名的依据则是颜色.控制论中，信息明确的程度一般用颜

27、色的深浅来形容.比如，完全明确的信息用“白”表示，未知的信息用“黑”表示，部分不明确、部分明确的信息用“灰”来表示.对应的，黑色系统的信息是未知的，白色系统的信息是完全明确的，而灰色系统是指其中信息部分是不明确的、部分是明确的35.灰色系统理论主要研究“部分信息未知、部分信息已知”的“贫信息”、“小样本”不确定性系统，它通过提取“部分已知信息”中有价值的信息，进一步实现认识和描述世界的目的.“灰”的基本含义是“信息不完全”.从各个场合和角度，将“灰”的含义引申如表2.1.表2.1“灰”含义的引申 灰 黑 白 从信息上看 不完全 未知 完全 从表面现象看 若明若暗 暗 明朗 在过程上 新旧交替

28、新 旧 在性质上 多种成分 混沌 纯 在方法上 扬弃 否定 肯定 在态度上 宽容 放纵 严厉 在结果上 非唯一解 无解 唯一解 2.1.2 基本原理 基本原理 在灰色理论中，邓聚龙教授发现并总结出有着深刻的哲学内涵的灰色系统基概 念视 角 西安建筑科技大学硕士论文 6 本原理.如最少信息原理，差异信息原理，解的非唯一性原理，认知根据原理，新信息优先原理，灰性不灭原理.从这些原理中我们可以知道信息定有差异，是以认知为依据的，要充分利用已经占有的“最少信息”，而且对认知的作用，新信息大于老信息35.2.2 GM(1,1)模型的建模过程 2.2.1 建模思想 建模思想 研究一个系统，一般应首先建立系

29、统的数学模型，模型的建立一般要经历五个步骤，开发思想、分析因素、量化、动态化、优化，所以叫做五部建模.五步建模的过程就是在各个不同阶段建立对应模型的过程，如图2.2.2.2.2 GM(1,1)模型的建立模型的建立 符号GM(1,1)的含义如下 G M (1,1)Grey Model 1 阶方程 1 个变量(灰色)(模型)设原始非负序列和其累加生成序列分别为(0)(0)(0)(1),(2),()xxxn=X?（0），(1)(1)(1)(1),(2),()xxxn=X?（1）其中 (1)(0)1()(),1,2,kixkxkkn=?(2-1)语言模型 网络模型 量化模型 动态模型 优化模型 图 2

30、.2 建模过称 西安建筑科技大学硕士论文 7构造背景值序列(1)(1)(1)(1),(2),()zzzn=Z?（1），其中(1)(1)0.5()0.5(1)zxkxk=+（1）(2-2)若GM(1,1)模型的参数为T(,)a b=a，且 (0)(0)(0)(2)(3)()xxxn=Y?(2-3)(1)(1)(1)(2)1(3)1()1zzzk=?B (2-4)那么GM模型中a的最小二乘估计为 TT()=aB B B Y (2-5)定义白化方程(1)(1)ddxaxbt+=(2-6)则(1)x的预测值为()(1)(0)(1)1,2,akbbxxeknaa=+=?(2-7)(0)x的预测值为(0)

31、(1)(1)(1)(1)()xkxkxk+=+其中，反映(0)x与(1)x的发展态势的是发展参数a，用来反映数据变化关系的是灰色作用量b，它的确切内涵是灰的.原始数据序列须作准光滑性检验和满足准指数规律是GM(1,1)模型进行预测的前提.2.3 残差GM(1,1)模型 如果我们对GM(1,1)模型的预测结果不满意，可以继续用其残差序列建立新的残差模型，用来进一步修正原模型，希望提高模型精度.定义定义 2.3.135设(0)(0)(0)(0)0000=(1)(2)()n?,，其中(0)(1)0()()()kxkxk(1)=是(1)X的残差序列.如果存在0k,有 00()()()kkn=?(0)(

32、0)(0)(0),+1,(2-8)其 1AGO 序列为 00()()()kkn=?(1)(1)(1)(1),+1,(2-9)西安建筑科技大学硕士论文 8 时间响应函数式为 000(1)()exp()bbkka kkkkaa+=(1)(0)-+(2-10)从而，残差(0)的模拟序列为 00()(1)()kkn=+?(0)(0)(0)(0),(2-11)其中 000(1)()()exp()bkaka kkkka+=(0)(0)-定义定义2.3.235 如果用(0)来修正预测序列(1)X，称时间响应函数式 0(0)0(1)()(0)(0)00(1)(1)(1)()akak kakbbxekkaaxk

33、bbbbxeakekkaaaa+=是残差 GM(1,1)模型.其中，修正值()00(1)()exp()bkaka kka+=(0)0-(2-12)的符号同残差(0)的符号是一致的.这里，不同的残差修正时间响应式是依据(1)X到(0)X不同的还原方式所得到的.定义定义2.3.335 如果(0)(0)(1)()(1)akbxka xea+=那么对应的时间响应式 0(0)0()(0)(0)00(0)()(1)(1)()(1)()akak kakba xekkaxkbba xeakekkaa+=(2-13)称作倒数还原式的残差模型.定义定义2.3.435 如果(0)(1)(1)(0)(1)()()(-

34、1)(1)(1)aa kbxkxkxkexea=那么对应的时间响应式 0(0)0()(0)(0)00(0)(1)(1)(1)=(1)(1)()aakak kaakbexekkaxkbbexeakekkaa+(2-14)西安建筑科技大学硕士论文 9称作累减还原式的残差模型.2.4 GM(1,1)模型的探讨 2.4.1 GM(1,1)模型的的适用范围 模型的的适用范围 GM(1,1)模型广泛的应用空间是由不确定性系统的存在决定的，不过GM模型的应用并不是随意的，发展系数a限制了原始GM(1,1)模型不宜用于中长期预测.或者说GM(1,1)模型虽可做长期预测，但真正精度较高、有实际性意义的预测值还是

35、比较少，其他数据都不具有很大的参考价值，所以对GM(1,1)模型的改进和优化具有一定的意义.2.4.2 模型的检验分析 模型的检验分析 一个模型的精确度反映了这个模型预测的准确性及实用性.下面介绍灰色模型的三种主要检验方法：残差检验，后验差检验和关联度检验48.1.残差检验法 残差是实际值与模拟值之差，残差检验实际上检验的是模拟值与实际值偏离的程度.设原始数据序列与模拟值分别为(0)(0)(0)(1),(2),()xxxn=X?（0），(0)(0)(0)(1),(2),()xxxn=X?（0）则残差序列(0)(0)(1),(2),()eee n=EXX?其中(0)(0)()()()(1,2,)

36、e ixixiin=?计算相对误差(0)()()()()100%100%()()e ix ix iixix i=则有11()niin=为平均相对误差，1100%p=(-)为模型精度.2.后验差检验 后验差检验是以预测误差作为基础，与误差的方差有关指标的大小及误差较小的点出现的概率是由绝对值的大小来决定的.它是一种基于概率统计的基本方法.设原始序列(0)X的方差和预测残差序列E的方差分别为 2(0)(0)2111()niSxixn=(2-15)西安建筑科技大学硕士论文 10 22211()niSe ien=(2-16)其中(0)(0)11()nixxin=，11()niee in=后验差比值为

37、21SCS=(2-17)最后计算小误差概率 1()0.6745pP e ieS=(2-18)C和p是后验差检验的两个重要指标.一般地，根据C和p可把模型的精度分为“不合格、勉强、合格、好”四级，见表2.2.表2.2 模型精度等级 模型精度等级 小概率误差 p 均方差比值 一级（好）0.95p 0.35C 二级（合格）0.800.95p0.350.5C 三级（勉强）0.750.80p0.50.65C 四级（不合格）0.70p 由表2.2可得模型精度的级别为max pC所在级别，所在级别.3.关联度检验 关联度检验实际上是根据模拟值曲线与建模数据曲线的相似程度来检验的.一般来说，曲线之间的几何形状

38、越接近，说明相似度越大，模型精度越高.设模型的原始数据序列和模拟序列分别为(0)(0)(0)(1),(2),()xxxn=X?（0），(0)(0)(0)(1),(2),()xxxn=X?（0）以(0)X为参考序列，则(0)X与(0)X的关联系数为(0)(0)(0)(0)11(0)(0)(0)(0)1min()()+0.5max()()()()0.5max()()k nk nkk nxkxkxkxkxkxkxkxk =+(2-19)通过计算关联系数，可进一步求得关联度为 11()1niin=(2-20)西安建筑科技大学硕士论文 11一般情况下要求0.6，关联度越大，说明模型精度越高.2.5 灰色

39、关联分析 2.5.1 灰色关联分析概述 灰色关联分析概述 一般来说经济、农业、社会、教育、生态等抽象系统中含有多种因素，这些因素共同产生作用，从而影响此系统的发展态势.我们肯定想知道在这些因素中，次要因素和主要因素分别是什么，影响系统发展的因素会有哪些，对系统的发展起到抑制作用的因素又会有哪些这些都是在对系统进行分析时我们普遍关心的问题.比方说粮食生产系统中影响粮食产量的因素有许多，如气候、水利、种子、土壤、技术、政策等.为了取得良好的经济和生态效益，则需要对粮食生产系统作分析.考虑各序列之间的联系是否紧密，我们可以通过序列曲线的几何形状的相似程度来判断，这是灰色关联分析的主要思想.一般地，曲

40、线越接近的对应序列的关联度越大.在数理统计中，用来进行系统分析的方法，如方差分析、主成分分析，对数据量的要求较大，数据不足时相对较难找到规律，还要求服从某个典型的分布，而且计算量大，一般要计算机辅助，特别是我国现阶段数据灰度大，有时不会存在典型的规律，所以，数理统计方法就不能较好解决问题.灰色关联分析方法恰好能解决这一不足之处，它不管样本多少或者有没有规律，且计算量不大，方便.灰色关联分析针对的是系统的发展态势，我们只有对因素或系统间的关联关系很清楚，才能分清什么是优势、劣势，哪些是主导因素、潜在因素.从而为进行系统分析、预测、规划与发展打好基础35.2.5.2 灰色关联分析方法 灰色关联分析

41、方法 灰色关联分析用来定量分析系统中的各因素间的关联程度.对一个抽象系统或现象作分析，通常要先选取影响系统行为的序列，下面介绍一下计算关联度的步骤：第一步：求序列的初值像.令(1),(2),()(1)iiiiiixxx nx=XX,(1,2,)in=(2-21)第二步：求始点零化像.00()()()iikx kx k=X (2-22)西安建筑科技大学硕士论文 12 0000(1),(2),()iiiixxxn=X 1,2,kn=；1,2,im=在第一步与第二步中Y的初值像与始点零化像的求法同理.第三步：求关联度.由 10021()()(0,1,2,)2insiikYykynin=+=?1002

42、1()()(1,2,)2jmsjjkXxkxmjm=+=?1000021()()()()2jinssjjjjkXYxkykxnyn=+0,1,2,in=?，1,2,jm=?得灰色关联度为 11ijijjissijssssYXYXXY+=+(2-23)0,1,2,in=?，1,2,jm=?以上是相对关联矩阵的求解步骤，当我们求绝对关联矩阵时，只需从第二步开始.关联度的大小次序主要是反映各因素之间的关联程度的，按顺序将n个参考序列相对同一比较序列的关联度排列起来，则组成了关联序.灰色关联序反映了各参考序列之间的优劣关系49.2.5.3 优势分析 定义 优势分析 定义2.5.135 设12,mXXX

43、?为相关因素行为序列，12,sY YY?为系统特征行为序列，且,jiX Y的长度相同，(1,2,;1,2,)ijisjm=?为iY与jX的关联度，那么 111212122212()mmijsssm=?为灰色关联矩阵.西安建筑科技大学硕士论文 13同理，灰色绝对关联矩阵 111212122212()mmijsssm=A?灰色相对关联矩阵 111212122212()mmijsssmrrrrrrrrrr=B?以及灰色综合关联矩阵 111212122212()mmijsssm=C?我们求出灰色关联矩阵后,便可以对系统相关因素或系统特征作进一步的优势分析.定义定义2.5.235 如果,1,2,l jm

44、?，满足(1,2,)ilijis=?那么称为相关因素lX优于相关因素jX，记ljXX?.如果1,2,()jmjl=?，恒有ljXX?，称lX为最优因素.定义定义2.5.335 如果,1,2,k is?，满足(1,2,)kjijjm=?那么称系统特征kY优于系统特征iY，记kiYY?.如果1,2,()is ik=?，恒有ki?YY，称kY为最优特征.定义定义2.5.435 如果,1,2,k is?，满足 11mmkjijjj=那么称系统特征kY准优于系统特征iY，记kiYY?；如果1,2,ks?，使得1,2,()is ik=?，有kiYY?，那么称kY为准优特征.定义 定义 2.5.535 如果

45、,1,2,l im?，满足 西安建筑科技大学硕士论文 14 11ssilijii=那么称相关因素lX准优于相关因素jX，记XX?lj；如果1,2,lm?，使1,2,()jmjl=?，有XX?lj，那么称lX为准优因素.在系统中，不一定有最优因素和最优特征，必有准优因素和准优特征.西安建筑科技大学硕士论文 153 灰色预测模型 3.1 GM(1,1)模型的改进 3.1.1 背景值优化的 背景值优化的GM(1,1)模型 模型 设非负的原始序列为(0)(0)(0)(1),(2),()xxxn=X?（0）(0)X的一次累加生成序列(1)(1)(1)(1),(2),()xxxn=X?（1）其中 (1)(

46、0)1()()(1,2,)kixkxkkn=?构造背景值序列(1)(1)(1)(1),(2),()zzzn=Z?（1）其中(1)(1)0.5()0.5(1)zxkxk=+（1）若参数列为T(,)a b=a，则其最小二乘估计为 TT()=aB B B Y 白化方程为(1)(1)ddxaxbt+=在区间,1k k+上对方程两边同时积分，有 1(1)(1)(1)(1)()()dkkxkxkaxttb+=1,2,1kn=?设当(1)(1)+zk为(1)()xt在区间,1k k+上的背景值时，则有 11(1)(1)(1)(1)()d(1)d(1)(1)(1)kkkkxttzktkk zkzk+=+=+=

47、+此处的背景值即为(1)()xt在,1k k+上的定积分.令(1)()btxtce=，假设此曲线过点(1)()xk、(1)(1)xk+，那么有(1)()bkxkce=(3-1)(1)(1)(1)b kbkbxkcecee+=+(3-2)西安建筑科技大学硕士论文 16 由(3-1)、(3-2)式得(1)(1)(1)(1)(1)lnln(1)ln()()xkbxkxkxk+=+(1)(1)1(1)()()(1)kbkkxkxkcexk+=+优化后的背景值为(1)(1)1(1)(1)(1)(1)(1)()(1)()dtln(1)ln()kkxkxkzkxtxkxk+=+(3-3)用背景值式(3-3)

48、替代式(2-2)，再由公式(2-1)、(2-3)、(2-4)、(2-5)建模并对新的模型进行拟合和预测50.那么，(1)x的预测值为(1)(0)(1)(1,2,)akbbxxeknaa=+=?(0)x的预测值为(0)(1)(1)(1)(1)()xkxkxk+=+3.1.2 残差 残差GM(1,1)模型的优化模型的优化 对背景值优化后得到一组模拟序列(1)(1)(1)(1),(2),()xxxn=X?（1）原始序列与预测值之差(0)(1)(1)()()()kxkxk=则残差序列(0)(0)(0)(0)(1),(2),()n=?其一次累加序列为(1)(1)(1)(1)(1),(2),()n=?(1

49、)(1)Zk+为(1)()t的背景值，鉴于对原模型背景值改进后可以提高预测的精度，本文考虑对残差模型的背景值作改进是否同样可以提高模型的精度.现令(1)(1)(1)1(1)(1)()(1)(1)(2,3,)2zknxknxknn+=+=?(3-4)显然(1)(1)(1)lim(1)0.5()0.5(1)nzkxkxk+=+其中 西安建筑科技大学硕士论文 17()1121NNiinRN=+（N为序列长度）(1)(1)()(1)ixiRxi=+，(2,3,)iN=?然后建立残差GM(1,1)模型54.其残差修正值为(0)(0)(1)()a kbkakea+=(3-5)优化后的预测值为(0)(0)(

50、0)(1)(1)(1)xkxkk+=+(3-6)(0)(1)k+的符号与原残差序列符号保持一致.例如，原始序列(0)()2.718,7.389,20.086,54.598,148.41,403.43,1096.6k=x，这是一个增长序列，优化后的残差模型的背景值计算公式为(1)(1)(1)1(1)7.72()5.72(1)13.44zkxkxk+=+预测值为(0)(0)0.9912(1)(1)0.4165kxkxke+=+记文50为优化模型，本文改进的模型为优化模型，与原GM(1,1)模型的预测值见表3.1，相对误差比较见表3.2.表 3.1 预测结果 原 GM(1,1)模型 优化模型 优化模