山东省2021届高三第二次模拟考试数学试题(新高考卷,含答案解析).pdf

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1、山东省（新高考）2021 届高三第二次模拟考试卷数学（）2021.3注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答題区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.已知集合“=

2、0,0,B=xeZ|A:-X-20,若JA5=0,l,则CBA=（A.-1,1B.1,2C.-1,1,2D.-1,22）2.已知复数z=（a-3i）（3+2i）（g R）的实部与虚部的和为7,则的值为（）A.1D.-2 3.某自來水厂一蓄水池可以用甲、乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开敖的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需（B.0C.2A44.小时B.7小时C.6小时D.14小时X3x+y6是h9成立的（丿3A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件5.己知函数/（%）=尸+兀2_4兀

3、,且Z（log2a）/（3）,则实数0的取值范围为（A.(YO,2)U(8,+0）的最小正周期为兀，若/在-召冷 上单调递增,上单调递减，则实数血的取值范围是（）B.C.D.71 48 3兀若a、b、c均为单位向量，且a b=0y（a-c）（b-c）M 0,则a+b-c的最大值为（A.x/2-1B.1D.2-多项选择题：本题共4小題，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9已知正方体ABC-ABCfi的棱长为4,M为DQ的中点.N 为ABCD所在平面上一动点,则下列命题正确的是（）71A.若MN与平面ABCD所成的

4、角为丁，则点N的轨迹为圆4B.若MN=4,则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2兀C.若点7V到直线与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线D.若9N与所成的角为扌，则点N的轨迹为双曲线10.将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是（A.4位女同学分到同一组的概率为厶35）数学试题第2页（共8页）3B男生甲和女生乙分到甲组的概率为打1432C有且只有3位女同学分到同一组的概率为訂34D.4位男同学不同时分到甲组的概率为看11.总:大利画家列奥纳多 达 芬奇（1452.4-1519.5）的画作抱银貂的女人中，女士脖颈上黑 色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的

5、美与光泽，达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力 的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的 函数解析式：/（x）=acosh-,其中。为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为acoshx=-相应地双曲正弦函数的表达式为sinhx=若直线兀=加与双曲余弦函2 2数0与双曲正弦函数C2的图象分别相交于点虫，B,曲线。在点/处的切线人与曲线Q在点3处 的切线/2相交于点则下列结论正确的为（e+C）A cosh（x-y）=coshxcosh y-sinh xsinh yBv=sinh xcosh x是偶函数C（coshx）f=sinhx

6、D.若MB是以力为直角顶点的直角三角形，则实数m=0212关于函数/（x）=-+lnx,下列判断正确的是（）A.x=2是/（X）的极大值点B.函数y=/（x）-x有且只有1个零点C.存在正实数上，使得f（x）kx恒成立D.对任意两个正实数X,X2,且x2xlt若/（可）=/（兀），则4-x2 4数学试题第3页（共8页第II卷三.填空题：本大题共4小题，每小题5分13.(x+pz)6的展开式中卩宁的系数是 _ 14.如图，在平而四边形ABCD中，=BD=辻,MB丄AC,AC=41 AB则CD的最小值为 _ cos、1 S X S 1215.已知函数/(%)=2,则关于兀的方程/(X)-3/(X)

7、+2=0的实根的个数X-l,I X|1是 _.216.已知圆G：(x+3)2+b=l，C2:(x-3)+y=81,动圆C与圆G、C?都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为 _:直线/与曲线E仅有三个公共点，依次为P.Q、R，则PR的最大值为 _22四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.S17(10分已知为为等差数列色的前/?项和，-=9,an=21.21(1)求数列陽的通项公式:(2)若4=一一，求数列$的前项和人an%+1数学试题第4页(共8页)18.（12分）在川二C+25c-4a=15cosJ：（）AABC的面积5=3这三个条件中任选2两个，补充在

8、下面问題中，然后解答补充完整的题目.在ZBC中，内角曲，B,C的对边分别为a,b,c,己知6=3,且 _,_,求c.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）已知四棱锥E-4BCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB/DC.AD=DC=2,AB=49为等边三角形，且平面/DE 丄平面ABCD（1）求证:AEBD；（2）是否存在一点尺 满足EF=AEB（OA1）,且使平面与平面3CE所成的锐二面角的余弦值为逅.若疗在，求出久的值，否则请说明理由.13数学试题第5页（共8页）20.(12分)某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有(neNj份血液样本，有以 下两种检验

9、方式：逐份检验，需要检验n次；混合检验，将其k(ke N*且 2)份血液样木分 别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检 验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 Q 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这R份再逐 份检验，此时这k份血液的检验次数总共为斤+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检 验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(Opl).(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k(kG N*且力12)份血液样本，记

10、采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为冬.记E(f)为随机变量f的数学期望.若E(gJ=E(2)，运用概率统计的知识，求出P关于的函数关系式p=M，并写出定义域；丄 若p=l-e,且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次 数期望值更少，求R的最大值.参考数据:ln2 0.693b In3 1.0986,In5 1.6094数学试题第6页(共8页)21（12分）己知椭圆C:a b的离心率e 斗且经过点（1,訂点凡场为椭2圆C的左、右焦点.（1）求椭圆C的方程：（2）过点斤分别作两条互相垂直的宜线也，且A与椭圆交于不同两点九

11、B,【2与宜线x=l交于点P.若AF=FB9且点。满足QA=AQB,求尺0片面积的最小值数学试题第7页（共8页22(12分)已知函数f(x)=ex-ax2-x.(1)当4=1时，求曲线，=/(X)在点(1,/(1)处的切线方程；(2)若函数F(x)=f(x)+x有两个极值点西，勺，求证：x2/(3),?.|log2a-2|3-2|=1,即log2a3,解得0a8,故选C-216.【答案】C11.【解析】-=-=1,粘1 绻.+i皱所以a,aw.|为以1为首项，公差d=l的等差数列,所以=l+(n-l)x 1=,所以陽=丄yann由,所以w=10,故选Cm 107【答案】B【解折】由题盘可得=7

12、1,求得0)=2,CD令2kit-2x-2/ai+yke Z,求得后-xkn ,kG Z,2321212由2比牛加送咖+尹皿求得航+誇“细+慘心,因为/(X)在彳上单调递增，在号劄上单调递减,巴S竺3 12m 5冗2 1212_所以实約的取值范围是注討,故选B.8.【答案】B【解析】由题意知,|a|=|6|=|c|=b又ab=0,222 (a-c)(b C)=Q b a c b c+|c|a-b+c=1 A|+Ac|=”+”+|c|+2a b-2(u c+b c)5 1+1+1+0 2x 1=I,0+Q-c|Sl,即k+b-c|的最大值为】，故选B.22二、多项选择题：本题共4小題，每小题5分

13、，共20分.在每小題给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】ACD【解析】如图:对于A,根据正方体的性质可知，MD丄平面ABCD,所以ZMND为与平面ABCD所成的 角，所以AMND=-9所以DN=DM=-DD,=丄x4=2,所以点N的紈迹为以D为圆心，2为半422径的圆，故A正确；对于B,在直角三角形MDN中，DN-4MN-MD=4 -2 =2/3-取MD的中点E，因为P为MV的中点，所以PE/DN,且PE=：DN=,l2222因为DN丄ED,所以PE丄ED,即点P在过点E且与DQ垂直的平面内，又PE=，所以点P的轨迹为以巧为半径的

14、圆，其面积为兀(命兀，故B不正确；对于C,连接NB,因为BB、丄平面ABCD，所以丄棚，所以点N到立线BBX的距离为NB,所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在育 线CD上，所以点“的轨迹为以为焦点，QD为准线的抛物线，故C正确；对于D,以D为原点，DA、DC、DD分别为x.y.z轴建立空间直角坐标系,则 4,0,0),B(4,4,0).D,(0,0,4),设 N(兀”0),则 乔二(0,4,0),丽=(x,y,-4)因为JN与肋所成的角为中，所以|cosv丽万丙|=cos中,所以I22丿斗整理得-=b所以点N的轨迹为双曲线，故D正确,4*+才+1616216故选ACD.10

15、.【答案】AB【解析】X位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为C；C：=70,A选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为,2 170 35对：B选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为C：C：=15,其概率为=1 c 2x对；C选项，有且只有3位女同学分到同一组C：C：2=32种，则有口只有3位女同学分到同一组的概率为3?70 35,错；16D选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为士，70则4位男同学不同时分到甲组的概率为=错，70 70故选AB.11.【答案】ACD【解析】coshxcoshy-sinhxsinhy=占+尹，一*占一xey+-=cosh(x-y

16、),A正确;7=sinhA:cosh x=4记力(x)=4-2,2x则A(-x)=-=-h(x),力(x)为奇函数，即=sinhxcoshx是奇函数，B错谋;4即(cosh x)r=sinh x C正确:对于TX因为加丄x轴，因此若刃是以力为直角顶点的直角三角形,=0,由伶彳=0,解彳3加=0,D正确，2故选ACD.12.【答案】BD【解析】A：函数/(x)的定义域为(0厂),7(x)=-+-=-,x兀 入则当xe(O,2)时，f(x)0,/(对单调递增,所以x=2f(x)的极小值点，故A错误；B：y=f(x)-x=+lnx-x,/=+丄_1=：-?弓上20,/(2)-2=l+ln2-2=ln

17、2-lkx,即-+nxkx,则k0,/z(x)单调递增：当xw(l,+oo)时，F(x)0,%(x)单调递减，所以A(x)A(l)=-30,所以g0(x)kx恒成立，故C错：D：因为/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+单调递増，A=2是/(x)的极小值点.T对任意两个正实数旺，x2t且x2 X,若/(xt)=/(x2),则0州21)，则X2,由/(Xj)=/(x2),得一+InXi=+lnx2,-=nx2-lnxX9XX?Xx2即fe5)=lni,即迩二凹=血，解得沪2凹，兀皿严辿二2XKKxctxZin/rlnz2t2-2所以x+x2=-一-tint故要证Xj+x2 4,需证X1+X2

18、-40,上)卡、2/222/2 2 4/In/需证一;-40,需证-0.tinttint则rin/0,证2尸_2_4flnf0.令/(/)=2z2-2-4rlnr(rl),H()=4一41nf-4(f 1),丹()=4一弓=芈也0(/1),所以Ht)在(1,+爭)上是增函数.因为/T1时，丹一0,则H(r)0,所以H(r)在(1,+)上是增函数.因为(一1时，H(T0,则H(/)0,所以-2-4血 o,tint:.x+x2 4,故D正确，故选BD.第II卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.【答案】-60【解析】.(；c+y-z)0=x+(p_Z)y,所以，(x+y z)的展开通项为

19、4=C：x4(yz),(y-z)r的展开式逋项为爆叭=C；y*(-z)*=C：(-1/所以，(x+y-z的展开式通项可以为Tr=C：C：x6 yrk其中05力5厂56且无、reN,片，z(-1)*z*,6-r=1k=36rkr=5令r-k=2、解得上,一因此，(x+y-z)的展开式中初夕的系数是c：C；(-l)60,故答案为一60.14.【答案】3【解析】设ZADB=0,2衙 在力中，由正弦定理得理=BDsin 6sm ZBAD*7整理得AB sinZBAD=sin-3即半=，sin0sm ZBAD由余弦定理得AB=AD 卜BDJ2 AD BD cosnun 315.【答案】53【解析】由/(

20、X)-3/(X)+2=0,知/=2或/(x)=I,:由函数/(兀)解析式，知：当/(x)=2时，有宀1=2,解得*屈 满足|x|l；2当加时，若cos亍1且-1X1,有“0；若/一1=1，解得X=满足1划1 综上知：方程一共有5个根，故答案为516.【答案】+-=1或兰+艺=1，学25161672【解析】已知圆CI:(x+3)+y =l,C2:(X-3)+/=81，则圆G内含于圆C?,圆G的圆心为Cj-2223,0),半径为=1；圆G的圆心为C2(3,0),半径为石=9.设动圆C的半径为尸，分以下两种情况讨论：圆c与圆G外切.与圆q内切，由题意可得此时，圆C的圆心轨迹E是以C?分别为左、右焦点

21、，长牠长为2a严10的椭圆,幻=5,c,=3,则bi=Ja；_c；=4,此时,轨迹E的方程为二+兰=1；25 16圆C与圆G、C?都内切，且rxrr2f由题惫可得此时，圆C的圆心轨迹E是以C：分别为左.右焦点，长粧长为2勺=8的椭圆,幺2=4,C2=3,02=5/公-C；=77,此时，轨迹E的方程为召+与=1，综上所述，轨迹E的方程为-+-=1或兰+疋=1.25 1616722Y v由于貢线/与曲线E仅有三个公共点，则官线/与椭圆+-=1相切.167若直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x二4,町设直线/的方程为x=4,联立当直线/的解率存在时，设宜线2的方程为y=kx+m.联立由正弦定理得5

22、sinC-4sin/l=5sinBcos&因为sin C=sin(i4+5)=sin/cos E+cos/sin 8,所以5 cos 5 sin J-4sinA4!-3因为sin J 0,所以cosB=,sinB=vl-cos2B=-jrjr57T7T5因为A=C+-f A+B+C=nf所以B=一2C,22所以cs2叫尹卜in%,因为Cw(o,7t),所以sine二半,在/ABC中，由正弦定理得c=如匹sin 3方案二：选条件.因为S=2obsinC=3,b=3,所以asinC=2,2因为A=C+-s A+B+C=n,所以2?=-2C.2 2A ciriA!H=sin*-2C)3cosC在，B

23、C中,由正弦定理得備二cos2C所以3 sin C cos Ccos2C即3sin2C=4cos2C.0=C+itit因为2,所以0C=,02C兀,2v0C0,所以cos200.又sin 2C+cos 2C=lr所以cos2C=|,所以sin匕产斗所以si心孕22在AJBC中，由正弦定理得“瞬=笄警=石.sin化-2“smBCOs2C|512J方案三；选条件.因为5c-4a=15cosA b=3、所以5c-4a=5bcosA由正弦定理得5 sin C-4sin/=5 sinBcosA9因为sin C=sin(J+5)=sinA cosB+cosAsinB,所以5cossinA=4sinA 41

24、-32因为sin Or所以cos 8=,sin 5=Vl-cosB=55因为gocsing,所以心】0.(i 在AABC中，由余弦定理得b =a+c-2accosB所以a +c =2222225.(ii由(i)(ii)解得c=y/5 或 c=2躬.19.【答案】(1)证明见解析；(2)存在7=使得平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦2值为逅.13【解析】1取的中点G,连接DG,vBG=-AB=CD.BG/CDr2 四边形BCDG是平行四边形，DG=BC=AG=AD=2,:MDG为笹边三角形，DG=AB,：.HABD是直角三角形，AAD丄3D,2 平面/QE丄平面ABCD,BDu平面ABC

25、Dt AD=平面ADEQ平面ABCD、BD丄平面ADE,AEci平面ADE，:/E丄BD(2)F为恥中点即可满足条件.取的中点卩，连接EH,则E丄AD,取力 Q 的中点连接EH,平面4DE丄平面ABCD.EHu平面必 Q,所以EH丄平面ABCD,EH=BD=2，如图建立空间建角坐标系D-xyz,则0（0,0,0）,（2,0,0）,（0,2命,0）,C（-l,V3,0）,（1,0,5）,则刃=（2,0,0）,C5=（l,V3,0）,丽=（一1,2命,冋，丽而=（入2屈,屈）,丽=（1-久,2屈弟-屈）,设平面ADF的法向址为m=（知必召）,平面BCE的法向量为刃=（x2,y2,z2）.DFm=0

26、一,得DA-m=0屮-小+2、阴+（辰屈）口，取心仲J2小2召=0心严儿J,取”卜返1,3）,CB /I=0一，得EB-n-乞+2血2-屈2=0工戸I/_卩-1+62|懈B,cosm,w|=|解得2=1或2（舍去九,23所以存在宀使得平面与平面咻所成的锐二面角的余弦值为浮320.【答案叫;”8【解析】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检骏出來为/事件,则巩炉业誉嗚（2）根据题意，可知（盒）=匚 金的可能值为匚R+1，则P（42=l）=（l-p）P（=Zr+l）=l-（l-p）所以 2)=(l-p/+(Zr+l)(l-(l-p)*)=+l-(l-p)由E=EG),得斤=丘+1(1一(ke

27、 N 且12).由于p=l-9则E(%)=*+1辰3所以k+-以即1n-0,4设/(x)=lnx-中，=x(h当(0,4)时,f(x)0,/G)在(0,4)上单调递增;当xe（4,+oo）时，/（x）0,/（9）=ln9-右21n3-：v0,所以的战大值为8Z 答案】寻弓“6.【解析】（1）由题意:，得9所以椭圆的方程为+-=1.43（2）由（1）可得（70）,若直线A的斜率为0,则厶的方程为x=-l与直线尢=1无交点，不满足条件；设玖线li:x=my-t若加=0,则；1=1则不满足QA=AQB,所以加工0,设（“2丁2），。（乂0，儿）由3乂+4y12,得（3冲2+4）尸_6砒_9=o,、x

28、=my-6m9即(-l-Xi，-y)=2(x2+l,y2)1(召一X。必一几)=2(尢2-心九-升)QA=AQB则-y严几儿必一儿=几(力一儿)所以汁节为解得汗駕“久 于是I梱二J1+祠,直线 的方程为X=丄歹一1,m兀=_丄_联立 v 八一万，一，解得P(1,2M),所以用二2/+加2.X=1I1，.3(沪+1)(1)2所以Sa”=日殖卜闪川=丄同一 =3匕|+同尸6,当且仅当w=l时，(S&药)丽=6.22.【答案】(1)j=(-3)x+l；(2)证明见解析.【解析】(1)当a=l时，/(x)=e-x-Xt则/a)=/2xl,所以 =/(l)=e-3,又/(l)=e-2,所以切线方程为y=

29、(e-3)(x-l)+02,即y=-3)x+lA2(2)由题意得F(x)=ex-ax2,则F,(x)=ex-2ax 因为函数F(x)有两个极值点科，x2,所以F(x)=0有两个不相等的实数根X,召.令h(x)=e-2ax,则A(x)=e-2a 当a 0恒成立.则函数力(x)为R上的增函数，故Mx)在R上至多有一个零点，不符合题意；当a 0时，令/f(x)=0,得x=ln(2z),当XG(-o,ln(2a)时，川0,故函数/心)在(ln(2a),4o)上单调递増,rfxfx因为函数A(x)=0冇两个不相等的实数根壬，x2,所以加x)min=力(ln(2a)=2a-2aIn(2a)才,不妨设西 X

30、2,则Xj ln(2a)1,又A(0)=l0,所以x,e(0,ln(2a).心令G(x)=h(x)h(2 ln(2a)-x)=e-4ax-+4a ln(2a)，x4/7*则G(jc)=r+斗-仏24a=0 所以函数G(R)在R上单调递增.由x2 ln(2a),可得G(X2)G(ln(2a)=0,即A(x2)A(21n(2a)-x2),又X,习是函数方(x)的两个零点，即A(XJ)=A(X2),所以(Xi)(21n(2a)-X2).因为x2 ln(2a),所以2 ln(2a)-x2 ln(2a)f又X ln(2a),函数力(x)在(Y),ln(2a)上单调递减,所以x,21n(2a)-x2,即Xj+x2 2轨,所以2yx 21n(2a),因此(ln(2tz).2