2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版).pdf

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1、绝密绝密启用前启用前20192019 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标（新课标）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A 1,0,1,2，B x x 1，则AA1,0,12若z(1i)2i，则 z=A1iB1+iC1iD1+iB0,12B D0,1,2C1,13西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80位，阅读过

2、西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A0.5B0.6C0.7D0.84（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为A12B16C20D245已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项为和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=A 16B 8C4D 26已知曲线y aex xln x在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则Aa e，b 1Ba=e，b=1Ca e1，b 1Da e1，b 1精品文档，欢迎分享。2x37函数y x在6,6的图象大致为2 2xABCD8如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正

3、三角形，平面 ECD平面 ABCD，M是线段 ED 的中点，则ABM=EN，且直线 BM、EN 是相交直线BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线CBM=EN，且直线 BM、EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线9执行下边的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出s的值等于精品文档，欢迎分享。2精品文档，欢迎分享。A.2124B.2125C.2126D.2127x2y210双曲线 C：=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若42PO=PF，则PFO 的面积为3 243 22ABC2 2D3 211设fx是定义域为 R 的偶函数，且在0,单调

4、递减，则1Af（log3）f（41Bf（log3）f（4Cf（32222332）f（2）2）322323）f（2）f（21）f（log3）4Df（223）f（2321）f（log3）412设函数fx=sin（x四个结论：）(0)，已知fx在0,2有且仅有 5 个零点，下述5fx在（0,2）有且仅有 3 个极大值点精品文档，欢迎分享。3精品文档，欢迎分享。fx在（0,2）有且仅有 2 个极小值点fx在（0,）单调递增1012 29，)5 10的取值范围是其中所有正确结论的编号是A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知 a a，b b 为单位向量，且 a

5、 ab b=0，若c c 2a a 5b b，则cos a a,c c _.S10_.14记 Sn为等差数列an的前 n 项和，a10，a2 3a1，则S5x2y215设F1，F2为椭圆 C:+1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限.若MF1F23620为等腰三角形，则 M 的坐标为_.16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥 OEFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型

6、所需原料的质量为_.三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，精品文档，欢迎分享。4精品文档，欢迎分享。每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成A、B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在

7、体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值为 0.70（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）18（12 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知asin（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围19（12 分）Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，BE=BF=2，图1是由矩形ADEB、其中AB=1，AC bsin A2精品文档，欢迎分享。5精品文档，欢迎分享。FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF

8、 重合，连结 DG，如图 2.（1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；（2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小.20（12 分）已知函数f(x)2x ax b.32（1）讨论f(x)的单调性；（2）是否存在a,b，使得f(x)在区间0,1的最小值为1且最大值为 1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.1x221已知曲线 C：y=，D 为直线 y=上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，22B.（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0，ADBE 的面积.5)为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中

9、点，求四边形2（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。精品文档，欢迎分享。6精品文档，欢迎分享。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，A(2,0)，B(2,)，C(2,4)，D(2,)，弧AB，BC，4曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,)，曲线M3是弧CD.（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；2（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在 M 上，且|OP|3，求P 的极坐标.23选修 4-5：不等式选讲（10 分）设x,y,zR，且x y

10、z 1.222（1）求(x1)(y 1)(z 1)的最小值；（2）若(x2)(y 1)(z a)2221成立，证明：a3或a1.3精品文档，欢迎分享。7精品文档，欢迎分享。20192019 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标（新课标）参考答案参考答案一、选择题1A2D3C4A5C6D7B8B9C10 A11C12D二、填空题132314415(3,15)16118.8三、解答题17解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35b=10.050.150.70=0.10（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+

11、50.20+60.10+70.05=4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.0018解：（1）由题设及正弦定理得sin AsinAC2sinBsin A因为sinA0，所以sinAC2sinB由ABC 180，可得sinAC2 cosB2，故cosB2 2sinBB2cos2因为cosB2 0，故sinB212，因此B=60精品文档，欢迎分享。8精品文档，欢迎分享。（2）由题设及（1）知ABC的面积SABC3a4csin Asin120 C31由正弦定理得a sinCsinC2tanC2由于ABC为锐角三角形，故0A

12、90，0C90，由（1）知A+C=120，所以30C0，则当x(,0)aa,x时，；当f(x)00,时，f(x)0故33 aa f(x)在(,0),单调递增，在0,单调递减；33若 a=0，f(x)在(,)单调递增；若 a0，则当x,a a(0,)x时，；当f(x)0,0时，f(x)0故33a af(x)在,(0,)单调递增，在,0单调递减.33（2）满足题设条件的 a，b 存在.（i）当 a0 时，由（1）知，f(x)在0，1单调递增，所以f(x)在区间0，l的最小值为f(0)=b，最大值为f(1)2ab.此时 a，b 满足题设条件当且仅当b 1，2ab 1，即 a=0，b 1精品文档，欢迎

13、分享。10精品文档，欢迎分享。（ii）当a3 时，由（1）知，f(x)在0，1单调递减，所以f(x)在区间0，1的最大值为f(0)=b，最小值为f(1)2a b此时 a，b 满足题设条件当且仅当2ab 1，b=1，即 a=4，b=1a3 a b，最大值（iii）当 0a3 时，由（1）知，f(x)在0，1的最小值为f 273为 b 或2aba3b 1，b=1，则a 332，与 0a3 矛盾.若27a3b 1，2ab 1，则a 3 3或a 3 3或 a=0，与 0a3 矛盾若27综上，当且仅当 a=0，b 1或 a=4，b=1 时，f(x)在0，1的最小值为1，最大值为 121解：（1）设Dt,

14、1,2Ax1,y1，则x12 2y1.12 x.由于y x，所以切线DA的斜率为x1，故1x1ty1整理得2 tx12 y1+1=0.设Bx2,y2，同理可得2tx22 y2+1=0.故直线AB的方程为2tx 2y 1 0.1所以直线AB过定点(0,).2（2）由（1）得直线AB的方程为y tx1.2精品文档，欢迎分享。11精品文档，欢迎分享。1y tx22由，可得x 2tx 1 0.2y x2于是x1 x2 2t,x1x2 1,y1 y2tx1 x21 2t21，|AB|1t2x1 x2 1t2x1 x224x1x2 2t21.2t 12设d1,d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1t2

15、1,d21|AB|d1d2t23t21.2.因此，四边形ADBE的面积S 1 设M为线段AB的中点，则Mt,t2.2由于EM AB，而EM t,t22，所以t t22t 0.AB与向量(1,t)平行，解得t=0或t 1.当t=0时，S=3；当t 1时，S 4 2.因此，四边形ADBE的面积为3或4 2.22.解：（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为 2cos，2sin，2cos.，M2的 极 坐 标 方 程 为4所 以M1的 极 坐 标 方 程 为 2cos0 2sin433M 2cos.，的极坐标方程为344（2）设P(,)，由题设及（1）知精品文档，欢迎分享。12精

16、品文档，欢迎分享。若0 4，则2cos3，解得6；若3244，则2sin3，解得3或3；若354，则2cos3，解得6.综上，P的极坐标为3,26或3,3或3,3或3,5 6.23解：（1）由于(x1)(y 1)(z 1)2(x1)2(y 1)2(z 1)22(x1)(y 1)(y1)(z 1)(z 1)(x1)3(x1)2(y1)2(z 1)2，故由已知得(x1)2(y 1)2(z 1)243，当且仅当x=53，y=113，z 3时等号成立所以(x1)2(y 1)2(z 1)2的最小值为43.（2）由于(x2)(y 1)(z a)2(x2)2(y 1)2(z a)22(x2)(y 1)(y

17、1)(z a)(z a)(x2)3(x2)2(y1)2(z a)2，故由已知(x2)2(y1)2(z a)2(2a)23，当且仅当x 4a1a2a23，y 3，z 3时等号成立精品文档，欢迎分享。13(x2)2(y 1)2(z a)2的最小值为(2a)2因此3(2a)2由题设知313，解得a3或a1精品文档，欢迎分享。精品文档，欢迎分享。14精品文档，欢迎分享。绝密绝密启用前启用前20192019 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标（新课标）答案解析版答案解析版一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 60

18、60 分。在每小题给的四个选项分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。中，只有一项是符合题目要求的。21.已知集合A 1,0,1,2，B x x 1，则AB（）A.1,0,1B.0,1C.1,1D.0,1,2【答案】A【解析】【分析】先求出集合 B 再求出交集.【详解】由题意得，B x 1 x 1，则AB【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2.若z(1 i)2i，则zA.1,0,1故选 A（）B.1i1+iC.1iD.1+i【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】z 2i2i(1i)1i故选 D1i(1i)(1i)【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了

19、数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题3.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小精品文档，欢迎分享。15精品文档，欢迎分享。说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90 位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过西游记的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之100=07故选

20、C比为 70【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养采取去重法，利用转化与化归思想解题4.（1+2x2）（1+x）4的展开式中 x3的系数为A.12【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数【详解】由题意得 x3的系数为C4312C44812，故选 AB.0.6C.0.7D.0.8B.16C.20D.24【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数5.已知各项均为正数的等比数列A.16【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于a1,q的方程组，求出a1,q，再利用通项公式即可求得a3的值精品文档，欢迎分享。16an

21、的前 4 项和为 15，且a53a34a1，则a3（）C.4D.2B.8精品文档，欢迎分享。a1 a1q a1q2 a1q315,【详解】设正数的等比数列an的公比为q，则4，2a q 3a q 4a111解得a11,2，a3a1q 4，故选 Cq 2【点睛】应用等比数列前n项和公式解题时，要注意公比是否等于1，防止出错6.已知曲线yaexA.a e,b 1xlnx在点1,ae处的切线方程为y 2x b，则（）B.a e,b 1C.ae1,b1D.ae1,b1【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得b【详解】详解：y/aexlnx1,k

22、 y/|x1 ae1 2a e1将(1,1)代入y 2x b得2 b 1,b 1，故选 D【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求2x37.函数y 在6,6的图像大致为xx2 2A.B.精品文档，欢迎分享。17精品文档，欢迎分享。C.D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由f(4)的近似值即可得出结果2x32(x)32x3【详解】设y f(x)x，则f(x)xxxf(x)，所以f(x)是xx2 2222 2243奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项 C又f(4)

23、40,排除选项 D；42 2263f(6)667，排除选项 A，故选 B2 2【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择 本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查8.如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点，则（）A.BM EN，且直线BM,EN是相交直线B.BM EN，且直线BM,EN是相交直线C.BM EN，且直线BM,EN是异面直线精品文档，欢迎分享。18精品文档，欢迎分享。D.BM EN，且直线BM,EN是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题【详解】BD

24、E，N为BD中点M为DE中点，BM，EN共面相交，选项 C，D为错作EOCD于O，连接ON，过M作MFOD于F连BF，平面CDE平面ABCDEO CD,EO 平面CDE，EO 平面ABCD，MF平面ABCE，MFB与EON均为直角三角形设正方形边长2，易知EO 3,0N 1EN2，MF 32,BF 229452 BM 342447BM EN，故选 B【点睛】本题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系.9.执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于（）精品文档，欢迎分享。19精品文档，欢迎分享。A.2 124B.2 125C.2 126D.2 172【答案】D【

25、解析】分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.【详解】x 1.S 0,S 01,x 1 0.01?不成立2S 0 11,2x 1 0.01?不成立4S 0 1121,62x 1 0.0078125 0.01?成立128171112 217输出S 161222121，故选 D【点睛】循环运算，何时满足精确度成为关键，加大了运算量，输出前项数需准确，此为易错点x2y210.双曲线 C：=1的右焦点为 F，点 P在 C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若42PO=PF，则PFO的面积为精品文档，欢迎分享。20精品文档，欢迎分享。3 2A.4【答案】A【解析】【分析】3 2B.2x1C.x2

26、D.3 2本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题【详解】由a 2,b 2,c a2b26,PO PF,xP6，2bx上，a又 P 在 C的一条渐近线上，不妨设为在y SPFO1133 2，故选 AOF yP 62224【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积11.设fx是定义域为R的偶函数，且在0,单调递减，则（）231 32flog f2 f2A.54321 B.flog8 f23 f224231 32f2 f2C.flog543

27、21 D.f23 f22 flog54【答案】C【解析】【分析】精品文档，欢迎分享。21精品文档，欢迎分享。2 3 1 32flog,f2,f2由已知函数为偶函数，把 ，转化为同一个单调区间上，再 34 比较大小【详解】1 fx是 R 的偶函数，f log3 f log34 4 323 2 32log341 20 2，又fx在(0，+)单调递减，f log34 f 2 f 2，231 f22 f23 flog3，故选 C4【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力12.设函数fx=sin（x）(0)，已知fx在0,2有且仅有 5个零点，下5述四个结论：

28、fx在（0,2）有且仅有 3 个极大值点fx在（0,2）有且仅有 2 个极小值点fx在（0,）单调递增1012 29的取值范围是，)510其中所有正确结论的编号是A.【答案】D【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求大，理解深度高，考查数形结合思想【详解】B.C.D.f(x)sinwx(w0)，在0,2有且仅有 5个零点0 x 2，5精品文档，欢迎分享。22精品文档，欢迎分享。11229 wx 2w，w，正确如图x1,x2,x3为极大值点为 3个，正555510确；极小值点为 2个或 3个不正确当0 x w，当w 29时，时，wx10105f105w

29、2920491051001001002正确，故选 D【点睛】极小值点个数动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13.已知 a a，b b 为单位向量，且 a ab b=0，若c c2a a【答案】【解析】【分析】根据|c5b b，则cos a,c _.2.3|2结合向量夹角公式求出|c|，进一步求出结果.2a 5b，a b 0，【详解】因为c所以ac2a2 5ab 2，|c|24|a|24 5ab5|b|29，所以|c|3，ac22所以cos a,c a c133【点睛】本题主要

30、考查平面向量的数量积、向量的夹角 渗透了数学运算、直观想象素养使用转化思想得出答案S10_.14.记 Sn为等差数列an的前 n项和，a10，a23a1，则S5【答案】4.【解析】【分析】精品文档，欢迎分享。23精品文档，欢迎分享。根据已知求出a1和d的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果.【详解】因a23a1，所以a1d 3a1，即2a1d，10a1109dS10100a12 4所以54S525a15a1d2【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案x2y215.设F1，F2为椭圆C:+1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若MF1F236

31、20为等腰三角形，则M的坐标为_.【答案】3,15【解析】【分析】根据椭圆 定义分别求出MF1、MF2，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.【详解】由已知可得MF1 F1F22c8MF1 MF22a12,MF24设点M的坐标为又SMF1F2x36201520M的坐标为3,15【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体精品文档，欢迎分享。24的2a236,b236,c2a2b216,c4，x0,y0 x00,y00，则SMF F F1F2 y

32、0 4y0，12121482 22 4 15,4y0 4 15，解得y0 15，2，1，解得x03（x03舍去）精品文档，欢迎分享。ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.3【答案】1188【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得，四棱锥 O-EFGH的底面积为46 4到底面BB1C1C123 12cm2，其高为点 O

33、212的距离为 3cm，则此四棱锥的体积为V1123 12cm又长方体3的 体 积 为ABCD A1B1C1D1V2466144cm2，所 以 该 模 型 体 积 为V V2V114412132cm2，其质量为0.9 132 118.8 g【点睛】此题牵涉到的是3D打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22

34、22、2323 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求作答。作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成A,B两组，每组 100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：精品文档，欢迎分享。25精品文档，欢迎分享。记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的

35、值；C的估计（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1)a 0.35，b 0.10；(2)4.05，6.【解析】【分析】(1)由P(C)0.70可解得和b的值；(2)根据公式求平均数.【详解】(1)由题得a0.200.150.70，解得a 0.35，由0.05 b 0.15 1 P(C)1 0.70，解得b 0.10.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05，乙离子残留百分比的平均值为0.0530.1040.1550.3560.2070.1586【点睛】本

36、题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asin（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围【答案】(1)B【解析】分析】精品文档，欢迎分享。26A C bsin A23;(2)(33,).82精品文档，欢迎分享。(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解得B 3.(2)根据三角形面积公式SABC112ac sin B，又根据正弦定理和得到S225ABC关于C的函数，由于ABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于域，最后求解SABC2来计算C的定义(C)的值

37、域.A CA C bsin A由正弦定理得sin Asin sin Bsin A，因22A C sin B。为0 A，故sinA0，消去sinA得sin2A CACA C因为故 B或者 B，而根据题意0 B，0 222A CAC B 不成立，所以 B，又因为ABC，代入得ABC，故22【详解】(1)根据题意asin3B ，所以B 3.(2)因为ABC是锐角三角形，又由前问B 322ac12AC，故 C 又应用正弦定理，由三角形面积公式有623sin AsinC25，6 A,C，ABC得到112a12sin A3acsin B csin B csin B ABC22c2sinC422sincos

38、C cossin C332233.又因33(sincotC cos)cotC 4sinC43388Ssin(2C)3sinC6 C 2,故333cot S882833,)82ABC3333，故cot S86828ABC3.2故SABC的取值范围是(【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.19.图 1是由矩形ADEB，RtABC和菱形 BFGC组成的一个平面图形，BE=BF=2，其中 AB=1，FBC=60，将其沿 AB，BC折起使得 BE与 BF重合，连结 DG，

39、如图 2.（1）证明：图 2中的 A，C，G，D四点共面，且平面 ABC平面 BCGE；精品文档，欢迎分享。27精品文档，欢迎分享。（2）求图 2中的二面角 BCGA的大小.【答案】(1)见详解；(2)30.【解析】【分析】(1)因为折纸和 粘合 不改变 矩形ABED，Rt ABC和菱形BFGC内部的夹 角，所 以AD/BE，BF/CG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为AB是平面BCGE垂线，所以易证.(2)在图中找到BCG A对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B关于GC的垂线，发现此垂足与【详解】(1)证：A的连线也垂直于CG.按照此思路即证.AD/BE，BF/CG，又因为E

40、和F粘在一起.AD/CG，A，C，G，D四点共面.AB BE,AB BC.又AB 平面 BCGE，AB平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE，得证.(2)过 B 作BH GC延长线于 H，连结 AH，因为 AB平面 BCGE，所以ABGC而又BH GC，故GC平面HAB，所以AH GC.又因为BH GC所以BHA是二面角BCG A的平面角，而在BHC中BHC 90，又因为FBC 60故BCH 60，所以BHBCsin60 3.AB1arctan30，即二面角BH3而在ABH中ABH 90,BHAarctanBCG A的度数为30.【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在

41、粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。20.已知函数f(x)2x3ax2b.28精品文档，欢迎分享。精品文档，欢迎分享。（1）讨论f(x)的单调性；（2）是否存在a,b，使得f(x)在区间0,1最小值为1且最大值为 1？若存在，求出a,b的所有值；若不存在，说明理由.a 4a0.【答案】(1)见详解；(2)或b 1b1【解析】【分析】(1)先求f(x)的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,

42、b的值.【详解】(1)对f(x)2x3ax2b求导得f(x)6x2 2ax 6x(x a3a3当a0时，(,)区间上单调递增，(,0)区间上单调递减，(0,)区间上单调递增；当a0时，(,)区间上单调递增；当a 0时，(,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,)区间上单调递增.(2)若f(x)在区间0,1有最大值 1 和最小值-1，所以a3若a0，(,)区间上单调递增，(,0)区间上单调递减，(0,)区间上单调递增；此时在区间0,1上单调递增，所以f(0)1，f(1)1代入解得b 1，a0，与a0矛盾，所以a0不成立.若a0，(,)区间上单调递增；在区间0,1.所以f(0)1，f(1

43、)1代入解得a3a3的a3a3a3a3a3a).所以有3a0.b1若0a2，(,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,)区间上单调递增.即f(x)在区间(0,)单调递减，在区间(,1)单调递增，所以区间0,1上最小值为f()而f(0)b,f(1)2 a b f(0)，故所以区间0,1上最大值为f(1).aa)3)22(3a(3b 1a3即相减得2a 2，即a(a3 3)(a3 3)0，又因为272 a b 1a3a3a30a2，所以无解.若2a3，(,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,)区间上单调递增.精品文档，欢迎分享。29精品文档，欢迎分享。即f(x)在区间(0,)

44、单调递减，在区间(,1)单调递增，所以区间0,1上最小值为f()而f(0)b,f(1)2 a b f(0)，故所以区间0,1上最大值为f(0).a)32(3a(即b 1a)23a3a3a3b 1相减得a2，解得x 332，又因为2a3，所以无解.327若a 3，(,0)区间上单调递增，(0,)区间上单调递减，(,)区间上单调递增.所以有f(x)区间0,1上单调递减，所以区间0,1上最大值为f(0)，最小值为f(1)即a3a3b 1a 4.解得2ab 1b 1a 4a0.综上得或b 1b1【点睛】1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这

45、种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。1x221.已知曲线 C：y=，D为直线 y=上的动点，过 D作 C的两条切线，切点分别为A，22B.（1）证明：直线 AB过定点：（2）若以 E(0，的面积.【答案】(1)见详解；(2)3或4 2.【解析】【分析】可用解析法和几何法证明。解析法可设A，B 两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，然后求5)为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形 ADBE211出 A，B两点处的切线，两条切线交于直线y 之上，所以交点的纵坐标为22联立方程可解x1和x2的关系。之后用两点式求出直线AB方程，最后根据直线AB方程求出它所过

46、的定点.(2)应用四边形面积公式，代入化简出关于x1和x2的对称式。然后分情况讨论求解。如果不知道四面下面积公式则可以将四边形分成两个三角形求面积之后做和，但精品文档，欢迎分享。30精品文档，欢迎分享。会稍微麻烦一些。（此题若用向量积的概念则更为容易）(1)证明：B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，【详解】设 A，因为y 则切线 DA为：yy112x，所以y x，2x1(xx1)-，切线 DB为：y y2 x2(x x2)-，x212y x1 x1x x12122代入y x得2y 1x2 x x x22222(x2 x1)y x1得11x1x2(x1 x2)0，因为x1x20故消

47、去得交点的纵坐标y x1x2，22111因为 DA和 DB 的交点 D为直线y 上的动点，所以有y x1x2，x1x21，222x12y2y y1xx1x2xx1，整理直线 AB为，点 A，B在曲线y 上，则有2y2 y1x2x1x2x12x2x1222x12111得y(x1x2)(xx1)x1x2(x1x2)x(x1x2)x，即222211(x1 x2)x (y)0.当x 0，y 时无论x1,x2取何值时，此等式均成立。因此直线221AB 过定点(0,)，得证。2x x2y1 y2,)，则(2)设 AB的中点为 G，由题得 G点坐标为(122x x2y y25EG (1 0,1)，又BA(x

48、1x2,y1 y2).由题意知EG BA，即222x1 x2y1 y2512()(x x)()(y y)0y x得.即代入EGBA012122222x12x2251212222(x1x2)()(x1x22)0整理得(x1x2)(x1x2)(x1x26)0.2422因x1x20，故(x1x2)(x12x226)0.所以x1x20或x12x2260.，为这里的(x,y)为 D点坐标,然而y 122y x x x x1112由第一问中y 1x2 x x x222221,故2精品文档，欢迎分享。31精品文档，欢迎分享。11112x1 x1x x12，所以x(x1)，又因为x1x22x1221.所以x

49、x1111x(x1)(x11 2)(x1 x2)。即 D坐标为(1(x1 x2),1).2x12x1222那么BA(x1x2,y1 y2),ED (x1 x2),3).设为BA与ED的夹角，那么有22111222S四边形ADBEBAEDsinBA ED(1cos)BA ED(BAED)2222111(x1 x2)2(y1 y2)2(x1 x2)292(x1 x2)(x1 x2)3(y1 y2)224212412(x x)12212代入y x进行化简有S四边形ADBE(x1 x2)93(x1 x2)2216若x1x2若x120，则S四边形 ADBE13(x1 x2)29(x1 x2)2 4x1x

50、2 3.22x2260，则(x1x2)2x12x222x1x24,(x1x2)2x12x222x1x2813428(94)4 2.2216代入有S四边形ADBE所以四边形 ADBE的面积为 3或4 2.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以。思路较为清晰，但计算量不小。（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。则按所做的第一题计分。22.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,CD所在圆的圆