2020届全国高考(ⅰ卷)高三新课标(一)卷数学(理)试题(解析版).pdf

《2020届全国高考(ⅰ卷)高三新课标(一)卷数学(理)试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届全国高考(ⅰ卷)高三新课标(一)卷数学(理)试题(解析版).pdf（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、20202020 届全国高考（卷）高三新课标（一）卷数学（理）试届全国高考（卷）高三新课标（一）卷数学（理）试题题一、单选题一、单选题B x|log1x 1，则，则A1 1已知集合已知集合Ax|x1 2，2B（）A Ax|0 x 4C Cx|0 x 2【答案】【答案】CB Bx|2 x 2D Dx|1 x 3【解析】【解析】由题意得：Ax|1 x 3，B x|0 x 2AB x|0 x 2故选 C2 2以下判断正确的个数是（以下判断正确的个数是（）相关系数相关系数r，|r|值越小，变量之间的相关性越强；命题“存在值越小，变量之间的相关性越强；命题“存在xR R，x2 x1 0”的否定是“不存在

2、”的否定是“不存在xR R，x2 x1 0”；“”；“pq”为真是”为真是“p”为假的必要不充分条件；”为假的必要不充分条件；若回归直线的斜率估计值是若回归直线的斜率估计值是 1.231.23，样本点的中心为样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是，则回归直线方程是y 1.23x0.08.A A4 4【答案】【答案】B【解析】【解析】相关系数r值越小，变量之间的相关性越弱，故错误；命题“存在B B2 2C C3 3D D1 1xR，x2 x1 0”的否定是“任意xR，x2 x1 0”，故错误；“p q”为真时，“p”为假不一定成立，故“p qq”为真是“p”为假的不充分条件，“p”为假时，“

3、p”为真，“p q”为真，故“p q”为真是“p”为假的必要条件，故“p q”为真是“p”为假的必要不充分条件，故正确；若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为4,5，则a 51.2340.08，则回归直线方程是y 1.23x0.08，故正确；故选 B.3 3设设a,b是非零向量，则“存在实数是非零向量，则“存在实数，使得，使得a b”是“”是“a b a b”的”的A A充分而不必要条件充分而不必要条件B B必要而不充分条件必要而不充分条件第 1 页 共 6 页C C充分必要条件充分必要条件【答案】【答案】BD D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】由题意结合向量

4、共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可.【详解】存在实数，使得ab，说明向量a,b共线，当a,b同向时，ab a b成立，当a,b反向时，ab a b不成立，所以，充分性不成立.当ab a b成立时，有a,b同向，存在实数，使得a即“存在实数，使得a故选 B.【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4 4B(1,3)B(1,3)，y y）已知正三角形已知正三角形 ABCABC 的顶点的顶点 A(1,1)A(1,1)，顶点顶点 C C 在第一象限，在第一象限，若点若点（x x，在在ABCABC内部，则内部，则 z=z=x

5、+yx+y 的取值范围是的取值范围是A A(1(13，2)2)【答案】【答案】A【解析】【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由题知C（13，2），作出直线l0：x y 0，平移直线l0，由图知，直线l:z x y过 C 时，zmin=13，过 B（0,2）时，zmax=3-1=2，故 z 的取值范围为（13，2），故选 C.B B(0(0，2)2)C C(31 1，2)2)D D(0(0，1+1+3)b成立，必要性成立，b”是“ab a b”的必要而不充分条件.【考点】简单线性规划解法，数形结合思想5 5在如图的程序框图中，在如图的程序框图中，fi(x)为为fi(x)的导函数，若的

6、导函数，若f0(x)sin x，则输出的结果是，则输出的结果是第 1 页 共 6 页（）A Asin x【答案】【答案】CB BcosxC CsinxD Dcosx【解析】【解析】f0 xsinx，f1(x)=cosx，f2(x)=sinx，f3(x)=cosx，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx.题目中的函数为周期函数，且周期T=4，f2018(x)=f2(x)=sinx.故选 C.点睛：法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学

7、问题，是求和还是求项.6 6使函数使函数f(x)3sin(2x)cos(2x)是偶函数，是偶函数，且在且在0,的一个值是（的一个值是（）A A6上是减函数的上是减函数的4B B3C C23D D56第 1 页 共 6 页【答案】【答案】B【解析】【解析】f(x)3sin(2x)cos(2x)2(,由于f(x)为偶函数，则31sin(2x)cos(2x)2sin(2 x)226f(0)2sin()2，sin()1,k，k，当66623k 0时，3，f(x)2sin(2 x)2sin(2 x)2cos2 x，当362x0,时，2x0,，f(x)2cos2 x为减函数，符合题意，所以选B.247 7

8、已知数列已知数列an的前的前 n n 项和为项和为Sn，且满足且满足a1 a21,Sn an21，则下列命题错误则下列命题错误的是的是A Aan2 an1anC Ca2a4【答案】【答案】C【解析】【解析】Sn an21，则Sn1 an11，两式相减得到 A正确；由 A选项得到B Ba1 a3 a5D DS1 S2 S3 a99 a100 S98 S100100 a a99a1a3a5 a99=a1a1a2a3a4a5 a97 a98=S981 a100进而得到 B 正确；同理可得到C错误；由Sn an21得到S1 S2 S3 S98 a1a22a31a41a51.a1001S100100.进

9、而 D正确.【详解】已知Sn an21，则Sn1 an11，两式相减得到an an2an1 an2 anan1，故 A正确；根据 A选项得到a1a3a5 a99=a1a1a2a3a4a5 a97 a98=S981 a100，故 B正确；a2a4a6 a98=a2a2a3a4a5a6 a96a97=a1a2a3a4a5a6 a96a97=S97 a991，故 C 不正确；根据Sn an21，S1 S2 S3 S98第 1 页 共 6 页a1a22a31a41a51.a1001 S100100.故 D 正确.故答案为 C.【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，

10、这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.8 8某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：三棱锥的体积为三棱锥的体积为16 三棱锥的四个面全是直角三角形三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥四个面的面积中最大的值是三棱锥四个面的面积中最大的值是所有正确的说法是所有正确的说法是32A A【答案】【答案】DB BC CD D【解析】【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为1的三棱锥，即SA 1,AB AC 1,BAC 90,SA 平面ABC，则三棱锥的体

11、积为V 01111Sh 111，故是正确的；3326其中SBC为边长为2的等边三角形，所以不正确；其中SBC为面积最大的面，其面积为S 故选 D.第 1 页 共 6 页33，所以是正确的，(2)2429 9如图阴影部分如图阴影部分C1是曲线是曲线y x与与y x所围成的封闭图形，所围成的封闭图形，A A 是两曲线在第一象是两曲线在第一象限的交点，以原点限的交点，以原点 O O 为圆心，为圆心，OAOA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形为半径作圆，取圆的第一象限的扇形 OCABOCAB 部分图形部分图形为为C2，在，在C2内随机选取内随机选取m个点，落在个点，落在C1内的点有内的点有n个，则运用

12、随机模拟的方法得到个，则运用随机模拟的方法得到的的的近似值为（的近似值为（）A A3n2mB Bm3nC C3nmD D2m3n【答案】【答案】B【解析】【解析】分别求出C1的面积和C2的面积，利用几何概型，即可求出的表达式【详解】由题意联立y 1SC1=012，则OA=2.所以SC2=OA=，x与y x得A（1，1）4211nSC161211mxdx xdx=，所以，则，故选 B.mS33263nC202【点睛】本题考查了几何概型的知识，是基础题x2y21010已知双曲线已知双曲线21(a,b0)的左、右顶点分别为的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，右焦点为F，过点，过点2abF且垂直于且垂

13、直于x轴的直线轴的直线l交双曲线于交双曲线于M,N两点，两点，P为直线为直线l上的一点，当上的一点，当APB的外的外接圆面积达到最小值时，点接圆面积达到最小值时，点P恰好在恰好在M（或（或N）处，则双曲线的离心率为（）处，则双曲线的离心率为（）A A2【答案】【答案】A【解析】【解析】设出点P的坐标，根据两角差的正切公式，结合基本不等式和正弦定理进行求第 1 页 共 6 页B B3C C2 2D D5解即可.【详解】解：A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)，直线l的方程为x c，设P(c,m)，则kPAmm,kPB，cacamm2a m2atanAPB caca22.2mmbm b1m c

14、a camb2当且仅当m 取得最小值时，即m b时，tanAPB取得最大值，即APB最m大.根据正弦定理，此时APB的外接圆半径达到最小值，即APB的外接圆面积达到最小值.2bb，a b，即双曲线的离心率为2.a故选：A【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，不等式的性质，属于中档题.1111已知函数已知函数f(x)ln x12ax(a1)xa(a 0)的值域与函数的值域与函数ffx的值域的值域2相同，则相同，则a的取值范围为（的取值范围为（）A A0,1【答案】【答案】D【解析】【解析】求导得到f(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减，得到B B1,C C0,34D D,433f(x)max

15、 f(1)a 1，计算得到答案.2【详解】f(x)1(ax1)(1 x)axa 1,x 1时，f(x)0；0 x 1，f(x)0，xxf(x)在(0,1)上递增，在(1,)上递减，第 1 页 共 6 页33f(x)max f(1)a 1，即f(x)的值域为,a1.22令f(x)t，则y f f(x)f(t)t3a 1，23a1，2f(t)在(0,1)上递增，在(1,)上递减，要使y f(t)的值域为,则344a 1 1,a，a的取值范围是,，233故选：D.【点睛】本题考查了根据函数值域求参数，意在考查学生的综合应用能力.1212将边长为将边长为 5 5 的菱形的菱形 ABCDABCD沿对角线

16、沿对角线 ACAC折起，顶点折起，顶点B B移动至移动至B处，在以点处，在以点 B B，A A，C C，为顶点的四面体，为顶点的四面体 ABAB CDCD中，棱中，棱 ACAC、B B D D的中点分别为的中点分别为 E E、F F，若，若 ACAC6 6，且四面，且四面体体 ABAB CDCD的外接球球心落在四面体内部，则线段的外接球球心落在四面体内部，则线段 EFEF长度的取值范围为（长度的取值范围为（）A A14，2 32B B14，42C C3，2 3D D3，4【答案】【答案】B【解析】【解析】由题意画出图形，可证 AC平面 BED，得到球心 O位于平面 BED 与平面 ACF的交线

17、上，即直线EF 上，由勾股定理结合OAOB，OEEF，EFEB4可得线段EF长度的取值范围【详解】如图所示：由已知可得，ACBE，且 ACDE，AC平面 BED，E是 AC的中点，第 1 页 共 6 页到点 A、C 的距离相等的点位于平面ACF内，同理可知，到点 B、D 的距离相等的点位于平面ACF 内，球心 O 到点 A，B，C，D的距离相等，球心 O 位于平面 BED与平面 ACF的交线上，即直线EF上球心 O 落在线段 EF上（不含端点 E、F），显然 EFBD，由题意 EA3，EB4，则 OA2OE2+9，且 OB2OF2+FB2OF2+EB2EF2（EFOE）2+16EF2OE2+1

18、62EFOEOAOB，OE2+9OE2+162EFOE，则OE 显然 OEEF，7，2EF714EF，即 EF2EF214EF42又 EFEB4，故选：B【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系以及距离计算，还考查了空间想象能力与转化思维能力，属难题二、填空题二、填空题1313已知已知fx2x 1，设，设2x 1 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，则，则a1 2a23a3 4a4_44【答案】【答案】8【解析】【解析】把等式两边同时对 x求导数，再令x 1，可得a12a23a34a4的值【详解】解：已知fx2x1，设2x1 a0a1xa2x2a3x3a4x4，把等式两边同时对 x

19、求导数，可得8?2x1 a12a2x3a3x24a4x4，再令x 1，可得a12a23a34a4=8，故答案为 8【点睛】第 1 页 共 6 页344本题主要考查求函数的导数，二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和即可求出答案，属于基础题x2y21414已知已知A，F，P分别为双曲线分别为双曲线221(a 0,b 0)的左顶点、右焦点以及右支的左顶点、右焦点以及右支ab上的动点，若上的动点，若PFA 2PAF恒成立，则双曲线的离心率为恒成立，则双曲线的离心率为_._.【答案】【答案】2.【解析】【解析】根据二倍角的正切公式和直线的斜率公

20、式列恒等式，结合P点在双曲线右支，化简得出a，b，c的关系，从而得出双曲线的离心率.【详解】解：A(a,0)，F(c,0)，设P(x0，y0)，kAPy0y0，kFP，x0 ax0cPFA 2PAF，kAP tanPAF，kFP tanPFA，2y0 x0ay02y(x a)200，x0c(y0)21y0(x0a)2x0a222 y0 x0 2ax0 a2 2x0 2ax0 2cx0 2ac，222即y03x0(4a 2c)x0a 2ac 0，又P(x0，y0)在双曲线上，b22y 2x0b2，a20b22(23)x0(4a2c)x02acc2 0恒成立，ab223 0a4a2c 0，c 2a

21、，即e2.2acc2 0故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线的斜率，属于基础题目，第 1 页 共 6 页1515已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn 2an2n1，若不等式，若不等式2n n3(5)an，对，对2nN恒成立，则整数恒成立，则整数的最大值为的最大值为_【答案】【答案】4【解析】【解析】【详解】2当n 1时，S1 2a12，得a1 4，当n 2时，Sn1 2an2，又Sn 2an2n1n，nn两式相减得an 2an2an12，得an 2an1 2，所以anan1n11n22又a1an 2，所以数列n是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，212anna (n1)

22、2 n1，即n2n2因为an 0，所以不等式2n n3(5)an，等价于52n3n2记bn2n311,b ,b，12n2242n1n1bn12n12n 2时，2n34n6bn2nbn11,bn所以n3时，3综上，(bn)max b3，833375,5所以，所以整数的最大值为 4888【考点】1数列的通项公式；2解不等式1616如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系 xOyxOy中，边长为中，边长为 2 2 的正方形的正方形 ABCDABCD沿沿 x x轴滚动（无滑动轴滚动（无滑动滚动）滚动），点，点 D D恰好经过坐标原点，设顶点恰好经过坐标原点，设顶点Bx,y的轨迹方程是的轨迹方程是y

23、 fx，则，则f19_._.第 1 页 共 6 页【答案】【答案】3【解析】【解析】根据正方形的运动，得到点Bx,y的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可.【详解】由题意，当4 x 2时，顶点Bx,y的轨迹是以点A2,0为圆心，以 2为半径的1圆；41圆；4当2 x 2时，顶点Bx,y的轨迹是以点D0,0为圆心，以2 2为半径的当2 x 4时，顶点Bx,y的轨迹是以点C2,0为圆心，以 2为半径的当4 x 6，顶点Bx,y的轨迹是以点A4,0为圆心，以 2 为半径的与4 x 2的形状相同，因此函数y f(x的图象在4,4恰好为一个周期的图象；所以函数y fx的周期是 8；f(19

24、)f(3)1圆；41圆，43，其图象如图：故答案为：3.【点睛】此题考查函数图象的变化，其中由已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解本题的关键，属于较难题.三、解答题三、解答题第 1 页 共 6 页1717ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，已知，已知c 12，b 4 6，O为为ABC的外接圆的圆心的外接圆的圆心.（1 1）若）若cos A4，求，求ABC的面积的面积S；511ABAC，求，求sinB的值的值.24（2 2）若）若D为为BC边上任意一点，边上任意一点，DO DA【答案】【答案】（1）72 63.；（2）524

25、3，得sin A，代入三角形面积公式求得ABC的面积S；5511（2）由DO DA ABAC，利用余弦定理求出AO，再由正弦定理求得sinB24【解析】【解析】（1）由cos A的值.【详解】解：（1）由cos A43，0 A，得sin A，55S 1bcsin A 14 612372 6；22551111ABAC，所以AO ABAC，242411AO ABAOACAO，于是AO24（2）由DO DA 即AO 211AB AO cosOABAC AO cosOAC，2411AB，AO cosOAC AC，22又O为ABC的外接圆圆心，则AO cosOAB 将（1）代入（2），得到AO 2111

26、1AB|2AC|214496 48，所以4848AO 4 3.由正弦定理得【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理及其意义，训练了正弦定理和余弦定理在求解三角形问题中的应用，属于中档题.1818图图 1 1 是由矩形是由矩形 ADEBADEB，RtRtABCABC和菱形和菱形 BFGCBFGC组成的一个平面图形，其中组成的一个平面图形，其中 ABAB=1=1，第 1 页 共 6 页b3 2R 8 3，得sin B.sin B2BEBE=BFBF=2=2，FBCFBC=60=60，将其沿，将其沿 ABAB，BCBC折起使得折起使得 BEBE与与 BFBF重合，连结重合，连结

27、DGDG，如图，如图 2.2.（1 1）证明：图）证明：图 2 2 中的中的 A A，C C，G G，D D四点共面，且平面四点共面，且平面 ABCABC平面平面 BCGEBCGE；（2 2）求图）求图 2 2 中的二面角中的二面角 BCGABCGA的大小的大小.【答案】【答案】(1)见详解；(2)30.【解析】【解析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED，Rt ABC和菱形BFGC内部的夹角，所以AD/BE，BF/CG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证.因为AB是平面BCGE垂线，所以易证.(2)在图中找到BCG A对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B关于GC的垂线，发现此垂足与

28、A的连线也垂直于CG.按照此思路即证.【详解】(1)证：AD/BE，BF/CG，又因为E和F粘在一起.AD/CG，A，C，G，D四点共面.又AB BE,AB BC.AB 平面 BCGE，AB平面 ABC，平面 ABC平面 BCGE，得证.(2)过 B 作BH GC延长线于 H，连结 AH，因为 AB平面 BCGE，所以ABGC而又BH GC，故GC 平面HAB，所以AH GC.又因为BH GC所以BHA是二面角BCG A的平面角，而在BHC中BHC 90，又因为FBC 60故BCH 60，所以BH BCsin60 3.而在ABH中ABH 90,tanBHAAB13，即二面角BCG A的BH33

29、度数为30.第 1 页 共 6 页【点睛】很新颖的立体几何考题 首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力1919已知函数已知函数fxlnx x1，gx x 2x.2（）求函数（）求函数y fxgx的极值；的极值；（）若实数（）若实数m为整数，且对任意的为整数，且对任意的x 0时，都有时，都有fxmgx0恒成立，求实恒成立，求实数数m的最小值的最小值.【答案】【答案】（）极大值为1ln2，无极小值；（）1.4【解析】【解析】()由题意首先求得

30、导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；()结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.【详解】()设x fxgxlnxx x1，2x2x1x11，2x1xx令x0，则0 x 11；x0，则x；22 1,上单调递减，2x在0,上单调递增，12x极大=11ln2，无极小值.24第 1 页 共 6 页()由fxmgx0，即ln x x1m x 2x 0在0,上恒成立，2ln x x1在0,上恒成立，2x 2xx1x2ln xln x x12设hx，则hx，22x 2xx 2xm

31、 显然x10，x 2x22 02 0，故tx在0,上单调递减x设tx x2ln x，则tx 1由t1 10，t11 1 1 2ln 2ln 2 0，2222 1,1，使得tx00，即x02ln x0 02由零点定理得x0且x0,x0时，tx 0，则hx 0，xx0,时，tx 0.则hx0hx在0,x0上单调递增，在x0,上单调递减hxmax hx0ln x0 x01，2x02x0ln x0 x011 1 1h x,1x,1x 2ln x 0 又由0，000，则2x 2x2x22000由m hx恒成立，且m为整数，可得m的最小值为 1.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性

32、，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.P为平面内的动点，过点为平面内的动点，过点P作直线作直线l的垂线，的垂线，0，直线，直线l：x 4，2020已知点已知点F1垂足为点垂足为点M，且，且PF 11 PMPF PM 0.22（1 1）求动点）求动点P的轨迹的轨迹C的方程；的方程；（2 2）过点过点F1作直线作直线l1（与（与x轴不重合）轴不重合）交交C轨迹于轨迹于A，B两点，两点，求三角形面积求三角形面积OAB的的取值范围取值范围.（O为坐标原点）为坐标原点）第 1 页 共 6 页3x2y2【答案】【答案】（1）（2）(0,1；243【解析】【解析】（1）处理向

33、量等式，代入向量坐标，计算方程，即可（2）分直线斜率是否存在考虑，设出直线l的方程，代入椭圆方程，用m表示三角形面积，换元，结合函数性质，计算范围，即可【详解】（1）设动点Px，y，则H4，y由PF 11PMPF PM 02221PM4221即PF PM4122x1 y2x44PF 2x2y2化简得1433x2y2（2）由(1)知轨迹C的方程为1，当直线l1斜率不存在时A1,，2433B1,2SDAB13AB OF 22当直线l1斜率存在时，设直线l方程为x my 1m 0，设Ax1,y1Bx2,y2 x my122由x2y2得3m 4y 6my9 0.13 4则 144m2144 0，y1

34、y26m9y y，123m243m24SOAB1121OF1 y1 y22y1 y236m2224y1y2123m 42362 63m 4m213m242第 1 页 共 6 页令m21 t(t 1)，则SOAB 6t3t 12t16 69t26t 119t 6t11，当t 1时，f t0，tt21 ft 9t 6在1,上单调递增，t令ft 9t 6，则f t 9 ft f116，SOAB 6131623综上所述，三角形OAB面积的取值范围是0,2【点睛】本道题考查了曲线轨迹方程计算，考查了直线与椭圆位置关系，考查了函数的性质，属于综合性问题，难度偏难2121某医药开发公司实验室有某医药开发公司

35、实验室有n nN*瓶溶液，瓶溶液，其中其中m(mN)瓶中有细菌瓶中有细菌R，现需现需要把含有细菌要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验方案一：逐瓶检验，则需检验n次；次；方案二：方案二：混合检验，混合检验，将将n瓶溶液分别取样，瓶溶液分别取样，混合在一起检验，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌若检验结果不含有细菌R，则则n瓶溶液全部不含有细菌瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌；若检验结果含有细菌R，就要对这，就要对这n瓶溶液再逐瓶检瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为验，此时检验次数总共为n1.(1)(1)假设假设n

36、5，m 2，采用方案一，采用方案一，求恰好检验求恰好检验 3 3 次就能确定哪两瓶溶液含有细菌次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的的概率；概率；(2)(2)现对现对n瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为的概率均为P(0 p 1).若采用方案一若采用方案一.需检验的总次数为需检验的总次数为,若采用方案二若采用方案二.需检验的总次数为需检验的总次数为.(i i)若若与与的期望相等的期望相等.试求试求P关于关于n的函数解析式的函数解析式P f(n);(ii ii)若若P 1e4,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望且采用方案二总次数的期望小于

37、采用方案一总次数的期望.求求n的最大的最大值值.参考数据：参考数据：ln2 0.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln7 1.9513n【答案】【答案】（1）（2）（）P 1 1 nN N*（ii）810n【解析】【解析】（1）对可能的情况分类：前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i)根据第 1 页 共 6 页1E()E()，找到P与n的函数关系；(ii)根据E()E()得到关于n的不等式式，构造函数解决问题.【详解】解：（1）记所求事件为A，“第三次含有细菌R且前 2次中有一次含有细菌R”为事件B，“前三次均不含有

38、细菌R”为事件C，则A BC，且B,C互斥，1113A2A2A3A3113所以P(A)P(B)P(C)33A5A551010（2）iE()n，的取值为1,n1，P(1)(1 P)n,P(n1)1(1 P)n，nnn1(1 P)n1n(1 P)所以E()(1 P)(n1)，由E()E()得n n1n(1 P)，n所以P 1 1 1nn14nN；*n4（ii）P 1e,所以E()n1nen，所以(n1)ne4 n，所以lnn 0,4设f(x)ln xnx(x 0)，4114 xf(x)，x44x当x(0,4)时，f(x)0,f(x)在(0,4)上单调递增；当x(4,)时，f(x)0,f(x)在(4

39、,)上单调递减又f(8)ln8 2 0,f(9)ln9所以n的最大值为 8【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记.第 1 页 共 6 页9 0，42222以原点以原点O O 为极点，为极点，x x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C C 的极坐标方程的极坐标方程为为2cos2 a2（aR,a,a 为常数）为常数），过点，过点P2,1、倾斜角为、倾斜角为30的直线的直线l的参数方的参数方程满足程满足x 23

40、（t为参数）为参数）t，2（1 1）求曲线）求曲线 C C 的普通方程和直线的普通方程和直线l的参数方程；的参数方程；（2 2）若直线）若直线l与曲线与曲线 C C 相交于相交于 A A、B B 两点（点两点（点 P P 在在 A A、B B 之间）之间），且，且PA PB 2，求，求a和和PA PB的值的值3x 2t2(t为参数）【答案】【答案】（1）x2 y2 a2；（2）4 3 2.ty 12【解析】【解析】（1）根据x cos，y sin，化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程，根据点斜式得直线l的普通方程，代入x 213即得参数方程.（2）t解得y 1t，22将直线参数方程代入曲线C

41、 方程，根据参数几何意义得PA PB t1 t2 t1t2，解得a，再根据PA PB t1 t2 t1t2，利用韦达定理解得结果.【详解】（1）由cos2 a得222cossin a222222，222又x cos，y sin，得x y a，C 的普通方程为x y a，过点P2,1、倾斜角为30的直线l的普通方程为y 3x21，3由x 213y 1t得t223x 2t2（t 为参数）直线l的参数方程为；y 1t23x 2t2代入x2 y2 a2，得t22 2 3 1 t 2 3a2 0，（2）将y 1t2第 1 页 共 6 页依题意知 2 2 318 3a2 0则上方程的根t1、t2就是交点

42、A、B 对应的参数，t1t2 2 3a22，由参数 t 的几何意义知PA PB t1 t2 t1t2，得t1t2 2，点 P 在 A、B 之间，t1t2 0，2t1t2 2，即2 3a 2，解得a2 4（满足 0），a 2，PA PB t1 t2 t1t2，又t1t2 2 2 3 1，PA PB 4 3 2【点睛】本题考查直线的参数方程的标准形式的应用，考查基本分析应用求解能力，属基本题.2323设函数设函数 f f（x x）|2|2x x1|+1|+mxmx+2+2，m mR R（1 1）若）若 m m1 1，解不等式，解不等式 f f（x x）6 6；（2 2）若）若f f（x x）有最小

43、值，且关于）有最小值，且关于x x的方程的方程f(x)x x1有两个不等实根，求实数有两个不等实根，求实数m m的取值范围的取值范围【答案】【答案】（1）(3,)；（2）2 m 【解析】【解析】（1）将m 1代入，分x 2533211及x 解不等式即可；22（2）由f(x)有最小值，可先得到m的范围，并求得f(x)的最小值，要使方程fx x2 x1有两个不等实数根，则y f(x)与g(x)x2 x 1有两交点，数形结合，求得m的取值范围.【详解】（1）当m 1时，f(x)2x1 x2，11时，f(x)1 2x x 2 6，得x 3，综合得3x，221515当x 时，f(x)2x 1 x 2 6

44、，得x，综合得 x，23235综上，不等式的解集为(3,)；31（2）当x 时，f(x)1 2x mx 2 (m 2)x 3，21当x 时，f(x)2x 1 mx 2 (m 2)x 1，2当x 第 1 页 共 6 页1(m2)x3,x 2则f(x)，要使f(x)有最小值，1(m2)x1,x 2m2 0则，解得2 m 2，m2 0要使方程fx x x1有两个不等实数根，22则y f(x)与g(x)x x 1有两交点，易知当x 115时，f(x)有最小值m2，g(x)有最大值422作示意图如图所示：则1533m2，得m ，综合得2 m .4222【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题第 1 页 共 6 页