2021年普通高等学校招生全国统一考试真题(新高考全国Ⅱ卷)数学试题(解析版).docx.pdf

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1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试真题（新高考全国 II 卷）（适用地区：海南辽宁重庆）数学试题（解析版）本试卷共本试卷共4 4页，页，2222小题，满分小题，满分150150分。考试用时分。考试用时120120分钟分钟一、选择题：本题共一、选择题：本题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中中,只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.2-i1.复数厂7在复平面内对应的点所在的象限为（1-31A.C.第三象限）第一象限B.第二象限D.第四象限【答案】A【解析】2-i【分析】利用复数的除法可化简 M，从而可求对应的点的位

2、置.1-31【详解】W=（2-项1+宣1=空,所以该复数对应的点为l-3i 10102U2 2）该点在第一象限，故选：A.2.设集合U=1,2,3,4,5,6,A=1,3,6,3=2,3,4,则人皿弟矶=()A.3【答案】BB.1,6C.5,6D.1,3【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求【详解】由题设可得吊3=1,5,6,故Ac（吊功=1,6,故选：B.3.抛物线y y =2px=2px（pQpQ）的焦点到直线y=x+ly=x+l的距离为&贝=（A.1B.2C.2A/22 2）D.4【答案】B【解析】【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得。的值.【详解】抛物线的焦

3、点坐标为其到直线_+1=。的距离：=J1+1解得：P=2P=2（。=一6舍去）.故选：B.4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为。，半径尸为6400km的 球，其上点/的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到 一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为5=2刀产（1 cosa）（单位：km2）-则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42%D.50%【答案】【解析】

4、【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.由题意可得，5占地球表面积的百分比约为:【详解】64002/产（1 cos。）=1-cosa=6400+36000 042=42%4-2-2故选：C.5.正3D.竺也3四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（A.20+12右B.28A/2C.哥3【答案】D【解析】【分析】由四棱台几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高力=#2一（2号回2=72,下底面面

5、积月=16,上底面面积禹=4,所以该棱台的体积V=|A（51+52+75X）=|xV2x（16+4+V64）=yV2.故选：D.6,物理量的测量结果服从正态分布N（10,b2）,下列结论中不正确的是（A.b 越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大B.。越小,该物理量在一次测量中大于10概率为0.5某）C.b 越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.b 越小,该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A,S S为数据的方差，所以 b

6、越小,数据在日=10附近越集中，所以测量 结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确；对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D,因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率 不同，所以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错 误.故选：D.7.已知=log52,Z2=log83,c=|,则下列判断正确的是（）A.cbacbaB.bac

7、bacC.acbacbD.abcabc【答案】C【解析】【分析】对数函数的单调性可比较。、力与c的大小关系，由此可得出结论.【详解】a=a=log5 2log5A/5=-=log8 2A/2 log83=b,3=b,即acb.acb.故选：C.8.已知函数f的定义域为R,f（x+2）为偶函数，y（2x+l）为奇函数，则（）A.=。B.f(-1)=0C./(2)=0D./(4)=0【答案】【答案】B【解析】【解析】【分析】推导出函数/(X)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/(1)=0,结合 已知条件可得出结论.【详解】因为函数/(工+2)为偶函数，则/(2+x)=/(2-x),可得/(x+

8、3)=/(l-x),因为函数/(21)为奇函数，则/(1-2X)=-/(2X+1),所以,f(l-x)=-f(x+l),f(l-x)=-f(x+l),所/(+3)=-/(x+l)=/(x-l),即f(x)=f(x+4),f(x)=f(x+4),故函数y。)是以4为周期的周期函数，因为函数尸(x)=f(2x+l)为奇函数，则F(0)=/=0,故/(-i)=-/(i)=o,其它三个选项未知.故选：B.二、选择题：本题共二、选择题：本题共4小题小题,每小题每小题5分，共分，共20分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中,有多有多项项 符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得5分分,部

9、分选对的得部分选对的得2分，有选错的得分，有选错的得0分分.9.下列统计量中，)B.样本x xi i,x,x2 2,-,x,-,xn n的中位数D.样本知易,，的平均数能度量样本x15x2,离散程度的是(A.样本x xt t,x,x2 2,-,-,x,x的标准差C.样本x xl l,x,-,x,x,-,xn n的极差【答案】【答案】AC【解析】【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度,哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由

10、平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.如图，在正方体中，。为底面的中心，为所在棱的中点，虬N N 为正方体的顶点.则满足MNLOPMNLOP的是（）B.【答案】【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线切V构造所考虑的线 线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为2,对于A,如图（1）所示，连接 AC,则枷/AC,故ZPOC（或其补角）为异面直线好,所成的角,在直角三角形 OPC,OC=42,CP=1,OC=42,CP=1,故 tan/FOC=故MNOPMNOP不成立，故A错误.对于B,如图（2）所示，取AT的中点为Q,连接PQ,OQPQ,

11、OQ，则OQLNT,PQLMN,OQLNT,PQLMN,由正方体SBQW-MLDT可得做上平面AMXT,而OQ=平面AMXT,故SNLOQSNLOQ，而SN CMN=N,SN CMN=N,故平面SN7M,又 MNuMNu 平面SATO,OQMNOQMN，而OQPQ=Q,QPQ=Q,所以MV_L平面QPQ,而POuPOu平面。P0故MN OP,MN OP,故B正确.对于C,如图（3）,连接BZ）,则BD/MN,BD/MN,由B的判断可得OPYBD,OPYBD,故OPLMNOPLMN，故C正确.对于D,如图（4）,取AZ）的中点Q,ABQ,AB的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,AC,PQ

12、,OQ,PK,OK,则AC/MN,AC/MN,因为 DP=PCDP=PC，故PQ/ACPQ/AC,故PQ/MN,PQ/MN,所以ZQPOZQPO或其补角为异面直线PO,MNPO,MN所成的角，因为正方体的棱长为2,故=OQ=yAOOQ=yAO2 2+AQ+AQ2 2=V1+2=V3,PO=PO=JPK2+OK+OK，=-x/4+1=$,QO PQ-+OPQO PQ-+OP2 2,故ZQPOZQPO不是直角，故PO,不垂直，故D错误.故选：BC.11.已知直线l:ax+by-rl:ax+by-r 0与圆C:x2+y2=r2,点A（a）,则下列说法正确的是()A.若点/在圆。上，则直线/与圆。相切

13、B.若点，在圆。内，则直线/与圆。相离C.若点，在圆。外,则直线/与圆。相离D,若点在直线/上，则直线/与 圆。相切【答案】ABD【解析】【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为。2+,产的大小关系,结合点到直线 的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心C(o,o)到直线/的距离6?=若点A(a)在圆。上，则疽+垢=己所以d=d=：,=时,yja+byja+b则直线/与圆。相切，故A正确；a a+b+br|r|,7 CT+b7 CT+b若点A(a,b)A(a,b)在圆。外，则cr+bcr+b2 2r,r,所以d=d=：,0；f(x)是奇函数.，22【答案】f=犷(答案不唯一)均满足)【

14、解析】【分析】根据藉函数的性质可得所求的/W.【详解】取/(%)=%4,则/(%,%2)=(%!%2)4=X*%2=/(-1)/(2)满足，广3)=*,*o时有r(x)o,满足，广3)=43的定义域为R,R,又r(-X)=-4X3=-f(x)-f(x),故fx)fx)是奇函数，满足.故答案为：/W=%4(答案不唯一)均满足)15.已知向量。+方+U=0,同=1,|牛14=2,a-a-b+b c+c a=b+b c+c a=o【答案】【解析】【分析】由已知可得(方+方+4)2=0,展开化简后可得结果.【详 解】由 已 知 可 得(o+5+c)=a+1+c+2(a-b+b-c+c-a=9+2(a-

15、b+b-c+c-a=a+1+c+2(a-b+b-c+c-a=9+2(a-b+b-c+c-a=Q,Q,因此,db-bC-CUdb-bC-CU.故答案为：-，16.已知函数/(%)=|-1|,%!0,函数f(x)的图象在点A(,/(xj)和点B(X2,/(X2)的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,M,0两点，则取值范围是【答案】(0,1)【解析】【分析】结合导数的几何意义可得耳+工2=0,结合直线方程及两点间距离公式可得AM=Jl+eAM=Jl+e如.|,BN=BN=后余.|易|，化简即可得解.【详解】由题意”=一1=.则fx=,11 1 e ex x-l,x0-l,x0eex x,x0,x0所

16、以点A(jq,l-eA1)和点3(地苛-1),虹=eex,x,k,kBNBN=K,=K,所以e*|K=-l,x=-l,xl l+x+x2 2=0,=0,所以AW:y-l+e*=e ex x (x-X),M(0,eKe ex x +1),所以|AM|=+(e，1xj=Jl+e?占国，同理|BN=y/l+e-xBN=y/l+e-x2 2,尬j I叔I电+e2：.闵一/l+e2X|Jl+e2，八(0,1).所勺剧V|序萨.|对Vl+e2x2 V1+/，故答案为:(0,1)【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件也+2=0,消去一个变量后，运算 即可得解.四、解答题：本题共四、解

17、答题：本题共6小题，共小题，共70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤骤.17.记S是公差不为0的等差数列%的前n n项和，若=$5，角。4=4.(1)求数列%的通项公式;(2)求使s sn naan n成立的力的最小值.【答案】(1)=2-6;(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得。3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】由等差数列的性质可得：$5=5%,则：a a3 3=5a=5a3 3,.-.a,.-.a3 3=O,=O,设等差数列的公差为从

18、而有：a a2 2a a4 4=(a=(a3 3-d)(a-d)(a3 3+d)=-d+d)=-d2 2,S4=q+%+%+。4=(%2d2d)+(%d)+%+(%d)=d)=2d,2d,从而：-d-d2 2=-2d,=-2d,由于公差不为零，故：d-2,d-2,数列的通项公式为：a an n=a=a?t?t+(n-3)d=2n-6.+(n-3)d=2n-6.由数列的通项公式可得：=2-6=-4,则：&=x(-4)+竺或x2=25，则不等式S”%即：n25n2-6,整理可得：(-1)(-6)0,解得：6,又八为正整数，故的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决

19、这类问题的关 键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.18.在ABC中，角A、B B、C所对的边长分别为a a、b b、,b=a+l,c=a+2.,b=a+l,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求ABC的面积；(2)c c是否存在正整数。，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a a的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)空L；(2)存在，且a=2.a=2.【解析】【分析】(1)由正弦定理可得出2c=3a,2c=3a,结合已知条件求出。的值，进一步可求得D、c c的值,利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB,sinB,再利用三角形的面 积公式可求得结果；(2)分析可知

20、，角。为钝角，由cosCba,cba,若ABC为钝角三角形，则C为钝角,2.7 2 _ 2/+（。+1）2_（。+2）2=。22。_302a（a+1）2。（。+1）由余弦定理可得=解得1 a 3，贝！J 0a3,a。+2,可得。1,/aeZ,故a=2.19.在四棱锥Q-ABCDQ-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=y/5,QC=3.AD=2,QD=QA=y/5,QC=3.Q Q(1)证明：平面QADQAD平面ABCD；(2)求二面角B-QD-AB-QD-A的平面角的余弦值.2【答案】(1)证明见解析；(2)j.【解析】【分析】(1)取 AZ)的中点为。，连接QO,CO,

21、QO,CO,可证QOLQOL平面 ABC。,从而得到面QADLQADL面 ABCZ).(2)在平面ABCDfy,ABCDfy,过。作 O77/CD,交于：T,则OTADOTAD，建如图所示的空 间坐标系，求出平面 SD、平面 30)的法向量后可求二面角的余弦值.(1)取 AZ)的中点为。，连接QO,CO.QO,CO.因为QA=QD,OA=OD,QA=QD,OA=OD,则 AZ),而AD=2,QA=S/5，故QO=QO=/5T=2.在正方形 ABCD中，因为AD=2,AD=2,故0=1,故。=后，因为 QC=3,故 g=*“2,故AQOC为直角三角形且QOLOC,QOLOC,因为 QCnA=。，

22、故 Q。上平面 ABCD,因为 09u平面 04,故平面QADLQADL平面 ABCD.(2)在平面 ABCD内，过。作 O77/CD,交于，则0T1AD,0T1AD,结合(1)中QOQO平面 ABC。，故可建如图所示的空间坐标系.则D（0,l,0），2（0,0,2）,B（2-l,0）,故应=（一2,1,2）,庞=（一2,2,0）.设平面的法向量n=（x,y,z）,故=n-BQ=Qn-BQ=Q2x+y+2z，取x=1，贝I y=1,z=|,即0）相切.证明:必&022三点共线的充要条件是MN=g.MN=g.【答案】（1）+/=1;（2）证明见解析.3【解析】【分析】（1）由离心率公式可得a=B

23、a=B进而可得所，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|枷|=右；充分性：设直线MN-.y=kx+bkbQMN-.y=kx+bkb0）相切可得W+i=1,解得*=1,y=（x-扼）可得4x2一6A/2X+3=0，所以玉+工2=,工1=官%2联立，LT+y=1一所以MNMN=Jl+l.+互）2 4工1-花=右，所以必要性成立；充分性：设直线MN:y=kx+b,MN:y=kx+b,（kb0kb 0)相切可得=1，所以b-=kb-=k2 2+l,y/k-+l+l,y/k-+lbby=kx+by=kx+b必，可得(1+3序)F+6灿x+3必3=0,f-联

24、立，所以X+x2=X I d/C,%!-x26kb6kb1+33b-33b-31+3妒化简得3(号-1)=0,所以比=1,=1k=l所以直线MNMN:-y=x-A/2或y=y=x+yf2,x+yf2,或，所以扼 f=0所以直线MN过点F F(日),M,N,M,N,夕三点共线，充分性成立;所以泌乩夕三点共线的充要条件是|=由.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有

25、相同的分布列，设，表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X=，)=(，=0,1,2,3).(1)已知Po=0.4,Pi=0.3成2=0.2必=0.1,求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于x的方程:p p0 0+p+p x+px+p2 2x-+px-+p3 3x x3 3=x=x的一个最小正实根，求证：当E(X)1E(X)1时，p Po若E(X)1,则p,+2pp,+2p2 2+3p+3p3 3l,l,故p p2 2+2p+2p3 3pp0 0.f f(x)=+2px+2px-(P2+P0+P3)-(P2+P0+P3)，因为为(。)=一(2+乃+3)，广(1

26、)=P2+2己Po V0，故/(X)有两个不同零点X2，且X 0 1 0；xe(,x2)时，/(%)/(x,)=y(1)=0,故1为Po+P/+PPo+P/+P2 2 2 2+P3J=x的一个最小正实根，若%21,因为/(1)=。且在(0%)上为减函数，故1%PO+P/+P2X2+P3X3=X的 一个最小正实根，综上，若(x)1,E(X)1,则p p1 1+2p+2p2 2+3p+3p3 3l,l,故p p2 2+2p+2p3 3pp0 0.此时/(0)=(P2+Po+P3)，故/(X)有两个不同零点土，工4，且X3 0 x4 1,且xc(YO,石)顷工4，+00)时,广。；xe(凡,工4)时

27、，7?(工)。;故/(X)在(70,玛)，(工4，+)上为增函数，在(工3,籽)上为减函数，而/=0,故/(x4)0,故/在(0,工4)存在一个零点。，且P1.所以P P 为Po+Pl*+Po+Pl*+P22+P P3 3X X3 3=X的一个最小正实根，此时P1,P1时,pl.pl.(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.22,已知函数f(x)f(x)=(x-l)el)e-ax-ax+b.+b.(1)讨论f的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)只有一个零点1&CD a V,b b2。；22

28、x x2 2Qa,b2a.Qa,b2a.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：f(x)=x(ef(x)=x(ex x-2a),-2a),当时，若点(YO,0),则/(%)0,/(%)单调递增；当0oO,/(x)单调递增,若%e(ln(2a),0),则/(%)O,/(x)单调递增；当时，/(%)0,/(x)在R上单调递增；当a：时，若XC(YO,0),则/(x)O,/(x)单调递增，若%e(0,ln(2a

29、),则/(%)0,/(x)单调递增；(2)若选择条件：由于!a故l21,/(O)=Z?-1O,而函数在区间（YO,0）上单调递增，故函数在区间（YO,0）上有一个零点./（in（2a）=2aln（2a）1 aln（2a）2+b+b 2a 2a in（2a）1 a in（2a）+2a2a=2oln（2Q）-Qln（2Q）T=11n（2G）2-In（2G）,由于-,l2tz2,故aln（2a）2 ln（2a）20,22结合函数的单调性可知函数在区间(0,+8)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于0a|,故2a 1,2a 1,则/(0)=Z?-l2o-l4,4。0,而函数在区间(0

30、,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点.当Z?0时，构造函数Hx=eHx=ex x-x-1,-x-1,则Hx)Hx)e ex x-1,当点(f,0)时，Hx)0,H(x)Hx)0,H(x)单调递增，注意到丑(0)=0,故H(%)。恒成立，从而有：e ex xx+i,x+i,此时：=-ax=-ax2 2-Z?(x-l)(x+l)-ar2+b+b=(l-a)x2当x .1x .1时，(1a)x+(/?1)0,V1-4Z,取X=JM+1,X=JM+1,则f(xf(x0 0)0,)0,V I ”亘亘+1。，。，一一Q/而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一

31、个零点.y(ln(2a)=2a in(2a)1 a in(2a)丁+b+b 2a 2a in(2a)-1-a in(2a)+2a=2aln(2a)-aln(2a)T=aln(2a)2-ln(2a),由于O0f,0 2a 1,故aln(2a)2 ln(2a)0,结合函数的单调性可知函数在区间(f,0)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性,求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数 形结合思想的应用.