2020年高考真题——数学(全国卷Ⅰ)数学(理)试题(含答案解析).pdf

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1、20202020 年高考真题数学年高考真题数学（全国卷）（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）数学（理）试题（含答案解析）高考真题高考真题高考模拟高考模拟高中联考高中联考期中试卷期中试卷期末考试期末考试月考试卷月考试卷学业水平学业水平同步练习同步练习2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）20202020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）题（含答案解析）1.若 z=1+i，则|z22z|=（）A.0 B.1 C.D.2【答案解析】D【分析】由题意首先求得【详解】由题意可得：故故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法

2、则和复数的模的求解等知识，属于基础题.2设集合 A=x|x240，B=x|2x+a0，且AB=x|2x1，则a=（）A.4 B.2 C.2 D.4【答案解析】B【分析】由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式可得：，.的值，然后计算其模即可.，则.求解一次不等式可得：.由于故选：B.，故：，解得：.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积

3、，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）12020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）A.【答案解析】C【分析】B.C.D.设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得故选：C.（负值舍去）.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.4已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案解析】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.22020 年高考真题数

4、学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知得.，即，解故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度 x（单位：C）的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据图：得到下面的散点由此散点图，在 10C 至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A.C.B.D.【答案解析】D【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因

5、此，最适合作为发芽率故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6函数A.B.的图像在点3和温度的回归方程类型的是.处的切线方程为（）2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）C.D.【答案解析】B【分析】求得函数程，化简即可.【详解】因此，所求切线的方程为故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题，即，.，的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方7设函数在的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（）A.B.C.D.【答案解析】C【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴

6、的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点，42020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数故选：C的最小正周期为【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.8A.5 B.10C.15 D.20的展开式中 x3y3 的系数为（）【答案解析】C【分析】求得展开式的通项公式为展开式的乘积为或（且），即可求得与形式，对分别赋值为 3，1 即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以与展开式的乘积可表示

7、为：或在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：5，该项中的系数为2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）所以故选：C的系数为【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.9已知，且，则（）A B.C.D.【答案解析】A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，的一元二次方程，求解得出，再即，解得或（舍去），又故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.10已知 A、B、C 为球

8、 O 的球面上的三个点，为ABC 的外接圆，若的面积为 4，则球 O 的表面积为（）A.64 B.48 C.36 D.32【答案解析】A【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，6的值，根据球截面性质，2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）得由正弦定理可得，根据圆截面性质平面，球的表面积.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.11已知M：，直线l：，P 为 l 上的动点，过点最小时，直线 AB 的方程为（）P 作M 的切线

9、PA，PB，切点为 A，B，当A.C.B.D.【答案解析】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点据可知，当直线时，的方程到直线 的距离为共圆，且最小，求出以，根为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线【详解】圆的方程可化为，点，所以直线 与圆相离72020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而当直线时，此时最小，所以以即为直径的圆的方程为，由解得，即，两圆的方程相减可得：故选：D，即为直线的方程【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于

10、中档题12若A.B.C.，则（）D.【答案解析】B【分析】设【详解】设，利用作差法结合，则的单调性即可得到答案.为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，此时8，有2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）当时，此时，有，所以 C、D 错误.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.13若 x，y 满足约束条件【答案解析】1【分析】则 z=x+7y 的最大值为_.首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中 z 取得最大值时，其几何意

11、义表示直线系在y 轴上的截距最大，据此结合目标函数几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：据此可知目标函数的最大值为：故答案为：1，可得点 A 的坐标为：.，【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.92020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）14设 a，b 为单位向量，且【答案解析】【分析】，则_.整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：【详解】因

12、为为单位向量，所以，问题得解.所以解得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.15已知 F 为双曲线的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_.【答案解析】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，即可根据斜率列出等式求解即可【详解】依题可得，而，解得，即或，变形得（舍去），化简可得，故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题102020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）16如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，

13、AC=1，CAE=30，则 cosFCB=_.，ABAC，ABAD，【答案解析】【分析】在可得出【详解】由勾股定理得同理得在中，中，利用余弦定理可求得，然后在，可得出，利用勾股定理计算出的值.、，中利用余弦定理可求得，由余弦定理得，在中，由余弦定理得11.2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）故答案为：.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.17设an是公比不为 1 的等比数列，（1）求an的公比；（2）若，求数列的前 n 项和为，的等差中项【答案解析】（1）【分析】；（2）.（1）由已知结合等差中项关系，建立公比 的方程，求解即可得出结论；（

14、2）由（1）结合条件得出求出结论.【详解】（1）设的公比为，为，；（2）设的前项和为，得，的等差中项，的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可，.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，12ABC 是2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，（1）证明：（2）求二面角的余弦值平面；【答案解析】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）要证明平面，只需证明.，即可；（2）以 O 为坐标原点，O

15、A 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的法向量为，平面的法向量为，利用公式计算即可得到答案.【详解】（1）由题设，知为等边三角形，设，则，所以，又为等边三角形，则，所以，则同理，又，所以，所以平面13，；2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）（2）过 O 作BC 交 AB 于点 N，因为平面，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由所以设平面，得，的一个法向量为，令，得，由，得，令，得，所以故，设二面角的大小为，则14.2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）

16、试题（含答案解析）【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.19甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【答案解析】（1）【分析】；（2）；（3）.（1）根据

17、独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.【详解】（1）记事件（2）记事件甲连胜四场，则为乙输，事件为丙输，；为甲输，事件则四局内结束比赛的概率为，所以，需要进行第五场比赛的概率为（3）记事件记事件为甲输，事件为乙输，事件；为丙输，甲赢，记事件丙赢，、15则甲赢的基本事件包括：、2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）、，所以，甲

18、赢的概率为由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，.所以丙赢的概率为.【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.20已知 A、B 分别为椭圆 E：（a1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.【答案解析】（1）【分析】（1）由已知可得：知即可求得：，问题得解.；（2）证明详见解析.，即可求得，结合已（2）设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，

19、即可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：162020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）由椭圆方程可得：，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为172020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）直线的方程为：，整理可得：整理得：故直线过定点【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.21已知函数.（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；（

20、2）当 x0 时，f（x）【答案解析】（1）当x3+1，求 a 的取值范围.时，单调递减，当时，单调递增.（2）【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论 x=0 的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 a 的取值范围.【详解】(1)当由于当当时，时，时，故，单调递增，注意到单调递减，单调递增.，故：(2)由得，18，其中，2020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）当 x=0 时，不等式为：，显然成立，符合题意；当时，分离参数 a 得，记，令则故故函数，单调递增，单调递

21、增，由故当当可得：时，时，恒成立，单调递增；单调递减；因此，,综上可得，实数 a 的取值范围是.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为192020 年高考真题

22、数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）（1）当（2）当时，C1 是什么曲线？时，求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标【答案解析】（1）曲线 C1 表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；（2）【分析】（1）利用消去参数，求出曲线.的普通方程，即可得出结论；（2）当时，曲线普通方程，由的参数方程化为，将曲线为参数），两式相化为直角坐标方程，加消去参数，得联立方程，即可求解.【详解】（1）当两式平方相加得所以曲线时，曲线，的参数方程为为参数），表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；（2）当时，曲线的参数方程为为参数），所以两式相加得曲线得曲线曲线，曲线方程为，平方得的极坐标方程为直角坐标方程为

23、的参数方程化为，为参数），联立方程，202020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）整理得，解得或（舍去），公共点的直角坐标为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.23已知函数（1）画出的图像；（2）求不等式的解集【答案解析】（1）详解解析；（2）【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数（2）作出函数.的解析式，作出图象；的图象，根据图象即可解出【详解】（1）因为，作出图象，如图所示：212020 年高考真题数学（全国卷）数学（理）试题（含答案解析）（2）将函数的图象向左平移 个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得所以不等式的解集为【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题22