2020年全国统一高考数学试卷(新课标Ⅰ)(解析版).pdf

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1、20202020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学数学+答案答案一、选择题：一、选择题：（本题共（本题共 1010 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 6060 分）分）1.若 z=1+i，则|z22z|=（）A.0【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得z22z的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：z21i 2i，则z 2z 2i21i2.2B.1C.2D.22故z 2z 2 2.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.2.设集合 A=x|x240，B=x|2x+a0，且 AB=x|2x1，则 a=（）

2、A.4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式x240可得：Ax|2 x2，B.2C.2D.42aB x|x 求解一次不等式2xa 0可得：.2由于AB x|2 x 1，故：故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为a1，解得：a 2.2（）A.5 15

3、1114B.2C.5 4D.52【答案】C【解析】【分析】设CD a,PE b，利用PO212CDPE得到关于a,b的方程，解方程即可得到答案.CD a,PE b2【详解】如图，设，则PO PE2OE2b2a4，由题意PO212ab，即b2a21b2b42ab，化简得4(a)2a1 0，解得b15a4（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.4.已知 A为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点A到 C的焦点的距离为 12，到y 轴的距离为 9，则p=（）A.2【答案】C【解析】【分析】B.3C.6D.9利用抛物线的定义建立

4、方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|xA故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度 x（单位：C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i 1,2,20)得到下面的散点图：pp12，即12 9，解得p226.C至 40C 之间，由此散点图，在 10下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度 x的回归方程类型的是（）A.y a bxC.y a bex【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

5、【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y abln x.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.B.y abx2D.y abln x，f(1)处的切线方程为（）6.函数f(x)x4 2x3的图像在点(1A.y 2x1C.y 2x3【答案】B【解析】【分析】求得函数y fx的导数f x，计算出f1和f 1的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】B.y 2x1D.y 2x1fx x42x3，f x 4x36x2，f1 1，f 1 2，因此，所求切线的方程为y1 2x1，即y 2

6、x1.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题7.设函数f(x)cos(x)在,的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（）61094C.3A.【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点763D.2B.444,0，即可得到cos 0，结合,0是函数fx图象699943，即可求得，再利用三角函数周期公式即可2962与x轴负半轴的第一个交点即可得到得解.4,0，【详解】由图可得：函数图象过点9将它代入函数fx可得：cos4 0694,0是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，又9所以43，解得：2962T 2所以函数fx的最小正周期为故选：C243

7、32【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.y28.(x)(x y)5的展开式中 x3y3的系数为（）xA.5C.15【答案】C【解析】【分析】求得(x y)展开式的通项公式为Tr1 C x5B.10D.20r55ry25y（rN且r 5），即可求得x与(x y)展开式xr的乘积为C5xr6ryr或C5rx4ryr2形式，对r分别赋值为 3，1即可求得x3y3的系数，问题得解.r5rr【详解】(x y)5展开式的通项公式为Tr1 C5xy（rN且r 5）y25所以x的各项与(x y)展开式的通项的乘积可表示为：xxTr1 xC xrr55ry C

8、xrr56ry2y2r5rry和Tr1C5xy C5rx4ryr2xxr在xTr1C5x6r333yr中，令r 3，可得：xT4C5x y，该项中x3y3的系数为10，y2y2r4rr2133在Tr1C5xy中，令r 1，可得：T2 C5x y，该项中x3y3的系数为5xx所以x3y3的系数为105 15故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.(0,)，且3cos28cos5，则sin（）9.已知A.53B.2359C.13D.【答案】A【解析】【分析】用二倍角余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出co

9、s，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5，得6cos28cos8 0，即3cos24cos4 0，解得cos 又(0,),sin1cos2故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.10.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为4，AB BC AC OO1，则球O的表面积为（）A.64【答案】A【解析】【分析】B.48的5.3C.362或cos 2（舍去），3D.32由已知可得等边ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO1的值，根据球的截面性质，求出

10、球的半径，即可得出结论.【详解】设圆O1半径为r，球的半径为R，依题意，得r2 4,r 2，ABC为等边三角形，由正弦定理可得AB 2rsin60 2 3，OO1 AB 2 3，根据球的截面性质OO1平面ABC，OO1 O1A,R OA OO12O1A2OO12 r2 4，球O的表面积S 4R2 64.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。2x y2 0,11.若 x，y 满足约束条件x y1 0,则 z=x+7y 的最大值为

11、_.y1 0,【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数z x 7y即：y 11xz，77其中 z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：2x y2 0，可得点 A 的坐标为：A 1,0，x y1 0据此可知目标函数的最大值为：zmax170 1.故答案为：1【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当 b0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直

12、线过可行域且在y 轴上截距最大时，z值最小，在 y轴上截距最小时，z 值最大.12.设a,b为单位向量，且|a b|1，则|a b|_.【答案】3【解析】【分析】整理已知可得：ab ab22，再利用a,b为单位向量即可求得2ab 1，对ab变形可得：ab a 2ab b，问题得解.2【详解】因为a,b为单位向量，所以a b 1所以ab ab2a 2ab b22ab 122解得：2ab 1所以ab ab2a 2ab b322故答案为：3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.x2y213.已知 F 为双曲线C:221(a 0,b 0)的右焦点，A为 C 的右顶点，B为 C

13、上的点，且 BF垂直于 xab轴.若 AB的斜率为 3，则 C的离心率为_.【答案】2【解析】【分析】b2根据双曲线的几何性质可知，BF，AF ca，即可根据斜率列出等式求解即可ax cx c2y2xb22【详解】联立221，解得b，所以BF.abay a222a b cb2BF223，AF ca，即ac a 3，变形得ca 3a，c 2a,依题可得，AFcaaca因此，双曲线C的离心率为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题14.如图，在三棱锥 P ABC的平面展开图中，AC=1，AB AD 则 cosFCB=_.，3，ABAC，AB

14、AD，CAE=30【答案】【解析】【分析】在ACE中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF，利用勾股定理计算出BC、BD，可得出BF，然后在BCF中利用余弦定理可求得cosFCB的值.【详解】14AB AC，AB 3，AC 1，由勾股定理得BC AB2 AC2 2，6，同理得BD 6，BF BD 在ACE中，AC 1，AE AD 3，CAE 30，由余弦定理得CE2 AC2 AE22ACAEcos30 1321 331，2CF CE 1，在BCF中，BC 2，BF 6，CF 1，CF2 BC2 BF21461由余弦定理得cosFCB .2CF BC2124故答案为：1.4【点睛】本题考查利用余弦

15、定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 15191519 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 2020、2121 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分.15.设an是公比不为 1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项（1）求an的公比；（2）若a11，求数列nan的前n项和1(13n)(2)n.【答案】（1）2；（2）Sn9【解析】分析】（1）由已知结合等差

16、中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出an的通项，根据nan的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设an的公比为q，a1为a2,a3的等差中项，【的2a1 a2a3,a1 0,q2 q2 0，q 1,q 2；（2）设nan前n项和为Sn，a11,an(2)n1，Sn112(2)3(2)2 n(2)n1，2Sn1(2)2(2)23(2)32(n 1)(2)n1 n(2)n，得，3Sn1(2)(2)(2)n1n(2)n1(2)n1(13n)(2)nnn(2)，1(2)31(13n)(2)n.Sn9【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等

17、差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.16.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE ADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO 6DO6（1）证明：PA平面PBC；（2）求二面角BPCE的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证明PA平面PBC，只需证明PA PB，PA PC即可；（2）以 O为坐标原点，OA为 x轴，ON为 y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB的法向量为n，平面PCE的法向量为m，利用公式cos m,n 2 5.5nm计算即可得到答案.|n|m|【详解】（1）由题设，知DAE为

18、等边三角形，设AE 1，则DO 11623，CO BO AE，所以PO，DO 22264PC PO2OC266,PB PO2OB2,44BA3 2OA，所以BA，sin602又ABC为等边三角形，则PA2 PB23 AB2，则APB 90，所以PA PB，4同理PA PC，又PCPB P，所以PA平面PBC；（2）过 O作ONBC交 AB于点 N，因为PO平面ABC，以 O为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(121313,0,0),P(0,0,),B(,0),C(,0)，24444413213212PC (,)，PB (,)，PE (,0,)，444

19、44424设平面PCB的一个法向量为n (x1,y1,z1)，nPC 0 x13y12z1 0由，得，令x12，得z1 1,y1 0，nPB 0 x13y12z1 0所以n (2,0,1)，设平面PCE的一个法向量为m(x2,y2,z2)mPC 0 x23y22z2 03由，得，令x21，得z2 2,y2，mPE 032x22z2 0所以m (1,3,2)3nm|n|m|2 22 55，1033故cos m,n 设二面角BPCE的大小为，则cos2 5.5【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.17.甲、乙、丙三位同学进行

20、羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【答案】（1）【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独

21、立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.1，2317；（2）；（3）.1616411【详解】（1）记事件M:甲连胜四场，则PM；216（2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为411P PABAB PACAC PBCBC PBABA 4，24所以，需要进行第五场比赛的概率为P 1P 43；4（3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M:甲赢，记事件N:丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，9

22、11.所以，甲赢概率为PM72232由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，45所以丙赢的概率为PN1297.3216【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.x218.已知 A、B分别为椭圆 E：2 y21（a1）的左、右顶点，G为 E 的上顶点，AG GB 8，P为直线ax=6上的动点，PA 与 E的另一交点为 C，PB与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD过定点.x2【答案】（1）（2）证明详见解析.y21；9【解析】【分析】G0,1，（1）由已知可得：Aa,0，Ba,0，即可求得AGGB a21

23、，结合已知即可求得：a2 9，问题得解（2）设P6,y0，可得直线AP的方程为：y 3y02276y03y0232y0,2,2的坐标为，即可表示出直线CD的方，同理可得点D的坐标为22y9y9y1y10000程，整理直线CD的方程可得：y【详解】（1）依据题意作出如下图象：.y0 x3，联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C94y03x，命题得证.233 y02x2由椭圆方程E:2 y21(a 1)可得：Aa,0，Ba,0，G0,1aAG a,1，GB a,1AGGB a218，a2 9x2椭圆方程为：y219（2）证明：设P6,y0，则直线AP的方程为：y y00 x3，即：y y0 x3

24、639x22 y 19联立直线AP的方程与椭圆方程可得：，整理得：y y0 x393y0227y09x 6y0 x9y081 0，解得：x 3或x y29022226y03y0227y0y y x3将x 代入直线可得：22y9y0990 3y02276y0,2所以点C的坐标为.2y9y9003y0232y0,2同理可得：点D的坐标为2y01y01直线CD的方程为：y 2y06y0y029y0212y03y023x2，y0213y02273y023y0122y09y018y0y0232y03y0238y03y023x2整理可得：y 2x242y01y1y169 y00063 y0整理得：y 4y

25、02y04y03xxy02333 y02233 y02故直线CD过定点3,02【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.19.已知函数f(x)exax2 x.（1）当 a=1时，讨论 f（x）的单调性；（2）当 x0时，f（x）13x+1，求 a 的取值范围.2【答案】（1）当x,0时，f x0,fx单调递减，当x0,时，f x 0,fx单调递增.7e2,（2）4【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论 x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得

26、的函数的最大值即可确定实数 a 的取值范围.xx2【详解】(1)当a 1时，fx e x x，f xe 2x1，由于f xe 20，故f x单调递增，注意到f00，故：x当x,0时，f x0,fx单调递减，当x0,时，f x0,fx单调递增.(2)由fx1313x 1得，exax2 xx 1，其中x 0，22.当 x=0时，不等式为：11，显然成立，符合题意；1exx3 x1.当x 0时，分离参数 a 得，2ax211x2exx2 x1exx3 x1记，22，gx gx x2x3令hx e x12x x1x 0，2x则hx e x1，hxe 10，x故hx单调递增，hx h00，故函数hx单调

27、递增，hx h0 0，由hx 0可得：e x12x x1 0恒成立，2故当x0,2时，gx当x2,时，gx因此，gx0，gx单调递增；0，gx单调递减；max7e2,g247e2,.综上可得，实数 a的取值范围是4【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生

28、在第分。请考生在第 2020、2121 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。一题计分。选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 x coskt,(t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴20.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为ky sin t为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin3 0（1）当k 1时，C1是什么曲线？（2）当k 4时，求C1与C2的公共点的直角坐标【答案】（1）曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；（2）(,).【解析】【分析】（1）利用sin2t cos2t 1消去参

29、数t，求出曲线C1的普通方程，即可得出结论；2x cos t(t为参数）（2）当k 4时，x 0,y 0，曲线C1的参数方程化为，两式相加消去参数t，2y sin t1 14 4得C1普通方程，由cos x,sin y，将曲线C2化为直角坐标方程，联立C1,C2方程，即可求解.x costC(t为参数）【详解】（1）当k 1时，曲线1的参数方程为，y sint两式平方相加得x y 1，所以曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；22x cos4t(t为参数）（2）当k 4时，曲线C1的参数方程为，4y sin t2x cos t(t为参数）所以x 0,y 0，曲线C1的参数方程化为，2y

30、 sin t两式相加得曲线C1方程为x 得y 1，y 1x，平方得y x 2 x 1,0 x 1,0 y 1，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin3 0，曲线C2直角坐标方程为4x 16y 3 0，y x2 x 1C,C联立12方程，4x16y 3 0整理得12x 32 x 13 0，解得x 113或x（舍去），62111 1x,y，C1,C2公共点的直角坐标为(,).4 444【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 21.已知函数f(x)|3x 1|2|x 1|（1）画出y f(x)的图像；（2）求不等式f(x)f(x 1)的解集【答案】（1）详解解析；（2）,【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数fx的解析式，作出图象；（2）作出函数fx1的图象，根据图象即可解出7.6x3,x 11f x 5x1,x 1，作出图象，如图所示：1【详解】（）因为 31x3,x 3（2）将函数fx的图象向左平移1个单位，可得函数fx1的图象，如图所示：由x35x11，解得x 767 6所以不等式f(x)f(x 1)的解集为,