通信原理I第3章- 随机过程.pdf

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1、2009-9-91第三章 随机过程第三章 随机过程?随机过程的一般表述随机过程的一般表述?平稳随机过程平稳随机过程?高斯过程高斯过程?平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统?窄带随机过程窄带随机过程?正弦波加窄带高斯过程正弦波加窄带高斯过程?循环平稳随机过程循环平稳随机过程?加性噪声加性噪声?匹配滤波器匹配滤波器2009-9-921 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(1)?随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量随机变量)?样本函数：随机过程的具体实现样本函数：随机过程的具体实现?样本空间：所有实现构成的全体样

2、本空间：所有实现构成的全体?所有样本函数及其统计特性构成了随机过程所有样本函数及其统计特性构成了随机过程()ix t 1(),(),iSx tx t=()X t2009-9-931 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(2)?分布函数与概率密度分布函数与概率密度?一维分布函数一维分布函数()()11111,FxtP X tx=()()()1111111,Fxtpxtx=?一维概率密度一维概率密度?n 维分布函数维分布函数()()()()()()()12121122,;,nnnnnFxxxtttP X txX txX tx=()()()1212121212,;,;,nnnnnnnnpxxxttt

3、Fxxxtttxxx=?n 维概率密度维概率密度2009-9-941 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(3)?随机过程的数字特征随机过程的数字特征()()1(),()XE X txpx t dxtm=()()()()1212122121212,()(),;,Xt tE X t X tx x p x x t t dxdxR =?均值均值 2222()()()()()()XXD X tEX tE X tEXtttm=?方差方差?自相关函数自相关函数()()()1211221212,()()()(),()()XXXXXXt tE X ttX ttt tttCmmmmR=?自协方差函数自协方差函数

4、()()()121212,()()XXXXt tCt ttt=?相关系数相关系数()()()()1212,0 Xt tX tX t=若，称和不相关。=若，称和不相关。2009-9-951 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(4)?两随机过程的联合分布函数和概率密度两随机过程的联合分布函数和概率密度?(n+m)维联合分布函数维联合分布函数()()()()()()()()()11111111,;,;,;,;,mn mnnmmnnmFxxttyyttP X txX txY tyY ty+=()()()1111111111,;,;,;,;,;,;,n mnnmmnmnnmmnmpxxttyyttFx

5、xttyyttxxyy+=?(n+m)维联合概率密度维联合概率密度()()()()()()11(),;,mnnmX tX tY tY t+对于维随机向量对于维随机向量,n mnmn mnmn mFF Fpp p+=若有或=若有或()()X tt和Y相互独立和Y相互独立2009-9-961 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(5)?两随机过程的数字特征两随机过程的数字特征()()()()1212212,()();XYRt tE X t Y txyp x t y t dxdy =?互相关函数互相关函数()()()1211221212,()()()(),()()XYXYXYXYCt tE X tm

6、 tY tm tRt tm t m t=?互协方差函数互协方差函数()()1212,0XYttCtt=若有若有()()X tt和Y不相关和Y不相关2009-9-972 平稳随机过程平稳随机过程(1)?狭义平稳狭义平稳(严平稳严平稳)()()()()12121212,;,;,nnnnnnpxxxtttpxxxtttn=+，=+，?一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔(t2 t1)有关有关()()111111;pxtpxt=+()()()2121221212,;,;,pxxttpxxtt =+?数字特征数字特征222()()()XXXE X tmD X

7、tEXtm=()()()()()()()1221212,()XXXXXXXRt tRttRCt tRmC =?广义平稳广义平稳(宽平稳宽平稳)(1)()XE X tm=()()12(2),XXRt tR=()()11px=()21221,;pxxtt=2009-9-982 平稳随机过程平稳随机过程(2)?各态历经性各态历经性(遍历性遍历性)：随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态：随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态遍历过程必定是平稳过程，反之不然。遍历过程必定是平稳过程，反之不然。1()lim()21()()lim()()2TTTTTTx tx t dtTx t x t

8、x t x tdtT +=+=+=+=+?随机过程的数字特征，可以由其任一实现随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数样本函数)的数字特征来代表的数字特征来代表()()()()XXmx tRx t x t =+遍历遍历时间平均代替统计平均时间平均代替统计平均2009-9-992 平稳随机过程平稳随机过程(3)?实平稳随机过程的自相关函数实平稳随机过程的自相关函数()2(0)XE XtR=()()XXRR =()(0)XXRR?偶函数：偶函数：?有界性：有界性：?周期性：周期性：()(),()().XXX tX tTRRT=+=+若则=+=+若则?统计平均功率：统计平均功率：()2()EX

9、 tR=?直流功率：直流功率：2(0)()XXXRR=?交流功率：交流功率：()()()()limRE X t X t =+=+()()E X tE X t =+=+()2EX t=2009-9-9102 平稳随机过程平稳随机过程(4)?平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度(统计平均统计平均)()()2()()limTXxTEFPEPT =()()TTxtF 注：注：()0 XP ()()XXRP 维纳辛钦定理：维纳辛钦定理：()()()()102 XXRPd=?单边功率谱密度单边功率谱密度(实平稳随机过程实平稳随机过程)2(),0()0,0XXPG=ax()()fx2009-9-

10、9143 高斯过程高斯过程(3)?概率积分函数概率积分函数:()()xxaFxp z dz=21()exp22xzxdz=202()xterfxedt =()1()erfc xerf x=()()221erf xx=?标准化正态分布标准化正态分布:21()exp22xp x=?概率分布函数概率分布函数:?误差函数误差函数:2009-9-9154 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统(1)()X t()Y t?输出随机过程的均值输出随机过程的均值()()()()()()E Y tEX tu h u du =()()()()0XXmh u dum H=?输出随机过程的自相关函数与功率谱

11、密度输出随机过程的自相关函数与功率谱密度()()(),YRt tE Y t Y t +=+=+()()()()()()XRuv h u h v dudv=+=+()YR=平稳平稳()()()()()()()()2YYXPRPH=F()x t()()()y tx th t=()h t()()()()E X tuh u du=2009-9-9164 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统(2)()()()X tY t和的互相关函数与互功率谱密度和的互相关函数与互功率谱密度()()(),XYRt tE X t Y t +=+=+()()XRh =()()()()()XYXYXPRPH=F(

12、)()()()()()0,2 XNX tR =例.若输入为白噪声 即，则=例.若输入为白噪声 即，则()()()()()()()()0022XYNNRhh =()XYR ()()01()()TXYRX tY t dtT=()()02Nh=()Y t()h t()X t 延迟延迟()()01TdtT 2009-9-9174 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统(3)()sgn()Hj =()()()()()()?()().XX tRX tX t 例.已知的自相关函数，求和的相关特性例.已知的自相关函数，求和的相关特性?1()()XtXtt=?()()()()()()2 XXPHP=?

13、()()XXRR =?()()()()1 XX XRR =?()?()XXX XRR =奇函数奇函数奇函数奇函数?()?()000 X XXXRR=()()?()()X tX t与同一时刻互不相关与同一时刻互不相关高斯高斯独立独立()()X t 正态随机过程 正态随机过程()Y t 正态随机过程 正态随机过程线性变换线性变换()()XYYXRR =()()XP=()XR=()XR=2009-9-9185 窄带随机过程窄带随机过程(1)?定义：定义：cff?()()cos()cX ta ttt=+=+()()()cossinccscXttXtt =:cff 20%超宽带超宽带()c?()()()

14、()cjtLz tX tjX tXt e=+=+=()()()()()()jtLcsXtXtjXta t e=+=其中=+=其中()()ReRe()cjtLX tz tXt e =()()X t 的等效低通表示的等效低通表示复包络复包络复载波复载波2009-9-9195 窄带随机过程窄带随机过程(2)()()()()4zXPPu=()LXt 的自相关函数和功率谱密度的自相关函数和功率谱密度()()()()*zRE zt z t =+=+()?()?()?()XXX XXXRRjRjR=+=+()()()()2XXRjR =+=+()()()()*LXLLRE Xt Xt =+=+()cjzRe

15、 =()()()LXzcPP=+=+c()XP ()XP()LXP ()zP 基带随机过程基带随机过程?()()()()EX tjX tX tjX t=+=+()()()()()()*ccjtjtE zt ez te+=+=+2009-9-9205 窄带随机过程窄带随机过程(3)()()()csXtXt和的统计特性和的统计特性()()()LcsXtXtjXt=+=+?()()()()cjtLz tX tjX tXt e=+=+=()()()()?()()()()?()()()()cossincossincccsccXtX ttX ttXtX ttX tt =+=+=()()()00.csE X

16、 tE XtE Xt=若，=若，()()()()().csX tXtXt若是高斯过程，和也是高斯过程若是高斯过程，和也是高斯过程()()()().csX tXtXt若是广义平稳过程，和是联合广义平稳随机过程(互相关函数仅与时间间隔有关)若是广义平稳过程，和是联合广义平稳随机过程(互相关函数仅与时间间隔有关)()()()()cossincsXXXcXcRRRR =+=+()()()()()cossincsscX XX XXcXcRRRR =2009-9-9215 窄带随机过程窄带随机过程(4)()()()()000 csXXXRRR=()()000.csscX XX XRR=同一时刻不相关同一时

17、刻不相关()()()()()cossincsXXXcXcRRRR =+=+()()()()()cossincsscX XX XXcXcRRRR =2.=()()0E X t=奇函数奇函数()()00XR=高斯高斯独立独立2009-9-9225 窄带随机过程窄带随机过程(5)c对于严格限频信号，当时有，f(z)近似高斯分布近似高斯分布2009-9-9277 循环平稳随机过程循环平稳随机过程(1)?定义：随机过程的均值和自相关函数是时间的周期函数例定义：随机过程的均值和自相关函数是时间的周期函数例.可表示某些数字基带信号的随机过程可表示某些数字基带信号的随机过程()()()()nnX ta g t

18、nT=()()()()*nnaann kaaE amRa aRk+=其中广义平稳随机序列，；=其中广义平稳随机序列，；()()0,g ttT 符号波形(确定函数)，符号波形(确定函数)，?均值均值()()()()nnE X tEa g tnT=()()anmg tnT=周期为周期为T2009-9-9287 循环平稳随机过程循环平稳随机过程(2)?自相关函数自相关函数()()()()*nmnmE a agtnT g tmT=+=+()()()(),*XRt tE Xt X t +=+=+()()()()()()*anmRmn gtnT g tmT=+=+()()(),XXRtkT tkTRt t

19、 +=+=+()()X t 循环平稳 循环平稳()()X t的平均自相关函数和功率谱密度的平均自相关函数和功率谱密度()()()()221,TXXTRt tRt tdtT+=+=+()()XR=()()()()jXXPRed=2009-9-9298 加性噪声加性噪声(1)?加性噪声独立于有用信号加性噪声独立于有用信号?噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声噪声来源：人为噪声、自然噪声、内部噪声?噪声分类：确知噪声、随机噪声噪声分类：确知噪声、随机噪声?随机噪声分类随机噪声分类?单频噪声单频噪声(外台，窄带外台，窄带)：并不总是存在：并不总是存在?脉冲噪声脉冲噪声(点火、闪电，幅度大、时间短，频

20、带宽点火、闪电，幅度大、时间短，频带宽)：安静期长：安静期长,对模拟话音影响不大，但对数字通信易造成误码，可使用纠错编码对模拟话音影响不大，但对数字通信易造成误码，可使用纠错编码?起伏噪声起伏噪声(热、散弹、宇宙热、散弹、宇宙)：普遍存在不可避免，可认为是一种高斯噪声，并且在相当宽的频率范围内具有平坦的功率谱密度：普遍存在不可避免，可认为是一种高斯噪声，并且在相当宽的频率范围内具有平坦的功率谱密度2009-9-9308 加性噪声加性噪声(2)?白噪声：功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，是一种理想宽带过程白噪声：功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，是一种理想宽带过程()()02XNP=()

21、()()()02NR =0()P 02N 0()()02N ()R 2009-9-9318 加性噪声加性噪声(3)?带限白噪声带限白噪声00,|()20,XNffP=其他=其他()000()2Rf N Saf=()()002kRf=时，=时，只有以频率只有以频率2f0 对带限白噪声进行抽样时，各样值才互不相关对带限白噪声进行抽样时，各样值才互不相关2009-9-9328 加性噪声加性噪声(4)?窄带平稳白高斯噪声窄带平稳白高斯噪声n(t)通过相干解调通过相干解调()1Hf()cos 2cf t()2Hffcfcf0.12B()()1Hff0.12B()()wnt()n t()pnt()ont(

22、)2Hf()()()()cossin,ccscn tnttntt =()()()()()()()()()()11coscos2sin222pccccscntn ttntnttntt=+=+()()()()12ocntnt=()()()()14conPP =fcfcf2B()nPf02Nf2B()cnPf0N01,24NB =()()()()2201142ocntntN B=()()2002222NntBN B=()()202cntNB=()()2nt=()()2snt=2009-9-9339 匹配滤波器匹配滤波器?滤波器输入：滤波器输入：()()()X ts tn t=+=+?n(t)为高斯白

23、噪声，均值为零，双边功率谱密度为高斯白噪声，均值为零，双边功率谱密度N0/2.()()()s tS?最大输出信噪比准则下的最佳线性滤波器最大输出信噪比准则下的最佳线性滤波器H()()()()()ooY tstnt=+=+()()()()()()12j tostHSed =()()()()20122oNHNd=()()204NHd=()()20ooostrN=()()()()()()0220124j tHSedNHd =Max？()x t()y t()()h tH 0tt=2009-9-934匹配滤波器的原理匹配滤波器的原理?根据许瓦兹不等式，根据许瓦兹不等式，()()()()()()02201

24、24j toHSedrNHd =()()()()()()()()222111222XYdXdYd 2,oEN=()()20122SdN ()()()()()()222011224HdSdNHd max02,oErN=()()212ESd=()()()0*.j tHKSe =此时，=此时，匹配滤波器匹配滤波器()()2s tdt=2009-9-935匹配滤波器的原理匹配滤波器的原理?结论：在白噪声干扰的背景下，当滤波器的传输特性与输入信号频谱的复共轭相一致时，将能在给定时刻结论：在白噪声干扰的背景下，当滤波器的传输特性与输入信号频谱的复共轭相一致时，将能在给定时刻t0获得最大输出信噪比获得最大输

25、出信噪比 2E/N0。这种最大信噪比意义下的最佳线性滤波器被称为匹配滤波器。这种最大信噪比意义下的最佳线性滤波器被称为匹配滤波器。()()()0*j tHKSe =()0Ks tt=()()()()12j th tHed =物理可实现条件：物理可实现条件：t 0 时，要求时，要求h(t)=0，即，即()()000s ttfort=假设假设s(t)在在 t1瞬间消失，则瞬间消失，则 t0 t1，通常取，通常取 t0=t1.2009-9-936匹配滤波器的原理匹配滤波器的原理?匹配滤波器的输出波形匹配滤波器的输出波形()()()()()()osts thd=()0KR tt=()()()()0Ks

26、 ts td=相关器相关器()()()00ostKR=,KE=()().Es t为的能量为的能量通常取通常取 K=1.()()max20ooostNr=2202K EEN=20.2K N E=?输出噪声功率输出噪声功率2009-9-9372009-9-9382009-9-939举例举例()0ost=()()()()()()0tosts th ttdt=0:t 0001cossin22ttt=+=+0cos2tt ()()000coscosttttdt=()()()()()()osts th ttdt=02:tt 或或 2:t 00021cossin22ttt =02cos2tt ()()()()00coscosotsttttdt=t0h(t-t)tt-