2021届百师联盟高三冲刺卷(二)新高考卷数学试题(解析版).pdf

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1、20212021 届百师联盟高三冲刺卷（二）新高考卷数学试题届百师联盟高三冲刺卷（二）新高考卷数学试题一、单选题一、单选题1 1已知集合已知集合A=x|x 10，B=x|x 2，则，则A Ax|2 x 10B Bx|x 2【答案】A【详解】AAB（）C Cx|x10D Dx|2 x 10B x|2 x 10，故选 A.12i(i为虚数单位为虚数单位)，则，则z的虚部为（的虚部为（）1i2 2已知复数已知复数z满足满足z A A102B B32C C3i2D D12【答案】B【详解】z 12i1i 13i3，所以z的虚部为.故选 B.2221i1i3，则，则sin 2（）45B B3 3若若co

2、sA A2425725C C2425D D725【答案】B73【详解】sin2 cos2 21，故选 B.42554 4已知向量已知向量a和和b不共线，向量不共线，向量AB amb，BC 5a a3b b，CD 3a a3b b，若，若2A B D三点共线，则三点共线，则m（）A A3 3【答案】A【详解】ABD三点共线，BD BC CD 2a6b AB amb，解得m3.故选 A.5 5已知函数已知函数fx的部分图象如图所示，则的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（的解析式可能为（）B B2 2C C1 1D D2第 1 页 共 17 页A Afx4ln x11cosx2x2cosxB

3、BfxxeD DfxC Cfx【答案】Dcosxln x2sin x2ln x2x cosx【分析】根据图象得函数fx定义域为x|x 0，图象关于y轴对称，结合选项一一判断即可【详解】根据图象得函数fx定义域为x|x 0，图象关于y轴对称，即fx为偶函数对于 A 选项，f14 2，排除；11cos12对于 B 选项，函数定义域为R，排除；对于 C 选项，函数定义域为x|x 0，fx函数为非奇非偶函数，排除；对于 D 选项，函数fx符合图象要求故选：D【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，从函数的值域判断图象的上下位；(2)从函数的单调性判断；(3)从函数的奇偶

4、性判断；(4)从函数的特征点排除不合要求的选项.6 6 为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度微量元素的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度若海鱼的新鲜度h与其死亡后时间与其死亡后时间t(小时小时)满足的函满足的函数关系式为数关系式为h 1mat.若该种海鱼死亡后若该种海鱼死亡后 2 2 小时，海鱼的新鲜度为小时，海鱼的新鲜度为80%，死亡后，死亡后 3 3小时，海鱼的新鲜度为小时，海鱼的新鲜度为60%，那么若不及时处理，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大

5、约经过（这种海鱼从死亡后大约经过（）第 2 页 共 17 页cosxln x2sinxcosxln x2sin x，故小时后，海鱼的新鲜度变为小时后，海鱼的新鲜度变为40%.(.(参考数据：参考数据：ln2 0.7，ln3 1.1)A A3.33.3【答案】B2h21ma 0.8【详解】由题思可得：，解得a 2，m 0.05，3h 3 1ma 0.6 B B3.63.6C C4 4D D4.34.3所以ht10.052.令ht10.052 0.4，可得2t12，两边问时取对数，tt故t ln122ln 2ln33.6小时，故选 B.ln2ln27 7“勾三股四弦五勾三股四弦五”这一原理早在大禹

6、治水就被总结出来，后来在九章算术一书中，这一原理早在大禹治水就被总结出来，后来在九章算术一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达勾股定理得到了更加规范的一般性表达.书中的勾股章说：书中的勾股章说：“把勾和股分别自乘，然把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦.”.”把这段话列成算式即为把这段话列成算式即为5,12,13，6,8,10，7,24,25，8,15,17，弦=勾2股2.现有现有 1010 个勾股数组个勾股数组3,4,5，9,12,15，9,40,41，10,24,26，11,60,61，12,16,20，若从中抽取

7、两个数组，若从中抽取两个数组，则这两个数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为（则这两个数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为（）A A215B B29C C115D D145【答案】A【详解】这 10 个勾股数组中三个数能构成等差数列的数组有3,4,5，6,8,10，2C429,12,15，12,16,20共 4 个，所以概率为2.故选 A.C1015x2y28 8已知两点已知两点FA分别是双曲线分别是双曲线C：221(a 0，b 0)的右焦点和左顶点，的右焦点和左顶点，ab过点过点F作作C的渐近线的垂线的渐近线的垂线FH(H为垂足为垂足)，若，若HA HF，则双曲线，则双曲线C的离心率的离心

8、率e（）A A2 6【答案】BB B2 2C C3D D2 a2ab,，【详解】结合图形设H在第一象限，则由几何性质可得HA HF b，Hcc过点H做HM垂直于x轴于点M，则在Rt AMH中，由勾股定理得第 3 页 共 17 页22 ab a2e1 a b，化简得 e 2 0，即离心率e 2，故选 B.cc22二、多选题二、多选题9 9现有如下性质：现有如下性质：（1 1）fx图象的一个对称中心为图象的一个对称中心为,0；（2 2）对任意的）对任意的xR R，6都有都有fx1 fx fx2，且，且x1 x2的最小值为的最小值为f x；（3 3）在在0,上为增上为增24函数函数.下列四个选项中同

9、时满足上述三个性质的一个函数不可能是（下列四个选项中同时满足上述三个性质的一个函数不可能是（）A Ay sinx43B By sin2x 3C Cy sin2x【答案】ACD23D Dy sinx6【详解】由题选项中的函数均形如fxsinx，由性质（2）知fx的半周期为，即周期为，2，排除 AD.因为fx图象的一个对称中心为,0，BC62均满足此性质.当x0,y sinu 2x时，而在,为增函数，故43363 6y sin2x 在0,为增函数，符合，故B 正确.当x0,时，3442227 27y sin 2x,2x，而y sinu在为减函数，故333636在x0,为减函数，不合题意，C 不正确

10、.故选 ACD.41010已知正数已知正数a，b满足满足ab ab，则（，则（）A A11 2a1b1aB B111a2b22C C22b12D Dlog2alog2b 2【答案】ABD【详解】因为正数a，b满足ab ab，所以a1b11，且a 1，b 1，第 4 页 共 17 页11 2所以a1b11a1b12 2，对于 A 选项，又ab ab可得111，ab111 11 11所以2221，即22，故 B 正确；当a b 3时，ab2abab232311，故 C 错误；因为ab ab 2 ab，所以ab 4，42所以log2alog2b log2ablog24 2，故 D 正确，所以选 AB

11、D.1111 在正方体在正方体ABCD A点点P为线段为线段AD1上的动点，上的动点，点点Q为线段为线段CC1中点，中点，1BC11D1中，中，则下列四个选项中为真命题的是（则下列四个选项中为真命题的是（）A A当当P为线段为线段AD1中点时，中点时，P Q C A四点共面四点共面B B直线直线CB1平面平面PBC1C C三棱锥三棱锥DBPC1的体积为定值的体积为定值D D二面角二面角PBC1D的大小为定值的大小为定值.【答案】BCDBC【分析】根据正方体的性质，由直线AD1和CC1的位置关系判断 A，1与平面ABC1D的位置关系判断 B，AD1与平面BDC1的位置关系及体积公式判断C，平面A

12、BC1D1与平面BDC1的位置关系判断 D【详解】对于 A，AD1和CC1是异面直线，当P为线段AD1中点时，AP和CQ异面，所以PQCA四点不共面.故 A 错误.对于 B，平面PBC1与平面ABC1D1重合，而CB1平面ABC1D1，所以CB1平面PBC1.故 B 正确.对于 C，AD1/平面DBC1，P AD1，点P到平面DBC1的距离即为点A到平面第 5 页 共 17 页DBC1的距离.则VDBPC1VPDBC1VADBC1，而SDBC1为定值，A到平面DBC1的距离为定值，所以三棱锥DBPC1的体积为定值.故 C 正确；对于 D，因为二面角PBC1D的大小，即为平面ABC1D1与平面B

13、DC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角PBC1D的大小为定值.故 D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查异面直线的判断，直线与平面垂直、平行的判断与应用，平面与平面的关系的判断解题关键是掌握正方体的性质，在正方体中有许多直线、平面间的平行与垂直，掌握住这些位置关系有助于空间想象能力运用x 1,x 01212已知函数已知函数fx，则下列关于函数，则下列关于函数fx说法正确的是说法正确的是2x36x29x1,x 0（）A A函数函数fx有一个极大值点有一个极大值点B B函数函数fx在在0,上存在对称中心上存在对称中心C C若当若当x1,a时，函数时，函数fx的值域是的值域是

14、1,5，则，则1 a 4D D当当1 m 5时，函数时，函数gx fxm1fxm恰有恰有 6 6 个不同的零点个不同的零点.【答案】ACD2【详解】当x 0时，f x3x 12x93x1x3，易知函数fx在2,1，3,上单调递增，在1,3上单调递减，f15，f31.A.如图可知，函数fx有一个极大值点 1，故 A 正确；B.由图象可知，函数fx在0,上不存在对称中心，故 B 错误；C.由f45，结合图象易知 C 正确；D.由fxm1fxm 0，可得fx1fxm0，即fx1或2fx m.由图像可知y fx与y 1有 2 个公共点，当1 m 5时，y fx与y m有 4 个公共点，故 D 正确.故

15、选 ACD.第 6 页 共 17 页三、填空题三、填空题1313命题命题“xR，2x2mx90”为假命题，为假命题，则实数则实数m的取值范围是的取值范围是_._.【答案】6 2,62【详解】若原命题为假命题，则其否定“x R，2x2mx90”为真命题.1414x x12x1展开式中的展开式中的x2项的系数为项的系数为_._.28【答案】129【分析】写出2x 1展开式通项，再与x x 1相乘，找出x的指数为2项并合28并，即可求出结果r【详解】2x1展开式的第r 1项为Tr1 C82x88r1128rC8rx8r，rrr 0,1,8.则x x12x1展开式中x2项为280 x2120C8x x

16、121C87x1122C86x2129x28768故答案为：1291515定义定义n个正数个正数p1，p2，pn的的“均倒数均倒数”为为数列数列an的前的前n项的项的“均倒数均倒数”为为【答案】8083【详解】由已知可得数列an的前n项的“均倒数”为n，若各项均为正数的，若各项均为正数的p1 p2 pn1，则，则a2021_._.2n11a1a2ann1，Sn2n12可得Sn2n1n，则n 2时，Sn1 2n11n1 2n 3n1，an SnSn1 4n1，当n 1时，a1 S13，满足an 4n1，an 4n1，a2021 4202118083.第 7 页 共 17 页1616已知三棱锥已知

17、三棱锥V ABC，VAVC 5，AB BC 1，AC 2，二面角，二面角1V AC B的余弦值为的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为，则该三棱锥的外接球的体积为_._.3【答案】6【详解】取AC中点为M，连结VM，BM，VAVC 5，AB BC 1，VM AC，BM AC，VMB就是二面角V AC B的平面角，AM 1911222，VM 5，BM 12222291VB2122 VB 6，cosVMB 391222所以VA2 AB2VB2，VC2BC2VB2，VAB与VCB都是直角，46VB所以该三棱锥的外接球球心是的中点，V 6323四、解答题四、解答题1717已知等差数列已知等差数列an和

18、正项等比数列和正项等比数列bn满足：满足：a1b1 2，b5 a11，且，且3b4是是b5和和b6的等差中项的等差中项.（1 1）求数列）求数列an和和bn的通项公式；的通项公式；（2 2）设）设cn anbn，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Sn.3n2n【答案】（1）an 3n1，bn 2；（2）Sn2n12.22n【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项公式列出方程求解即可；（2）根据（1）可得cn，分组求和即可求解.第 8 页 共 17 页【详解】（1）设d为数列an的公差，q为数列bn的公比，由题意得6b4b5b6，即q2q6 0，解得qbn2或q 3，数列bn各项均为正，所以q

19、 0，即q2.b1qn12n.b5 a11 32 a110d，解得d 3，ana1n1d 3n1n（2）由（1）得：anbn3n12，所以Sn 22 52 123n12n 2n253n121 22nn23n12122123n2n2n12.223n2n所以Sn2n12.221818在在ABC中，角中，角A、B、C的对边分别为的对边分别为a、b、c，若，若_._.在在cccosB 3bsinC；a2c2b2sin B 3B，且，且；ac42a2c2b24 3S3ABC这三个条件中任意选择一个填在横线上，这三个条件中任意选择一个填在横线上，并完成下列问题：并完成下列问题：（1 1）求角）求角B的大小

20、；的大小；（2 2）若）若b 197，且，且ac，求，求ABC的面积的面积.22【答案】条件选择见解析；（1）B 3；（2）3.4【分析】（1）选：利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出sinB合角B的取值范围可求得角B的值；1，结62选：利用余弦定理可求得sin 2B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；第 9 页 共 17 页选：利用余弦定理结合三角形的面积公式可求得tan B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；（2）利用余弦定理可求得ac的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】（1）选cccosB 3bsinC，由正弦定理得sinC sinCcosB 3sin BsinC，

21、在ABC中，C0,，则sinC 0，可得3sin BcosB 1，即12sinB 1，则sinB，662在ABC中，B0,，B5,，B，则B；666366选：a2c2b2sin B 3ac，且a2c2b2 2accos B，2所以2accosBsinB 又33.ac，所以sin2B 22 2B 2，所以2B 2，所以B；334 B，所以2选：a2c2b24 34 312 3SABCacsin B acsin B，3323sin Ba2c2b23tan B 3，由余弦定理得：cosB，则sin BcosB2ac3在ABC中，B0,，所以B 3；（2）因为b 7B，b2 a2c22accosB，3

22、2所以772 a2c2ac，即ac3ac，44113319.，所以ac 1，所以SABCacsin B 122242因为ac【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；第 10 页 共 17 页（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（

23、或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.1919某初中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对某初中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对 4040 名七年级学生进名七年级学生进行了问卷调查，得到数据如表所示行了问卷调查，得到数据如表所示(平均每天喝平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过以上为常喝，体重超过60kg为为肥胖肥胖.单位：人单位：人)不经常饮不经常饮经常饮用经常饮用合计合计用用151518184040肥胖肥胖不肥胖不肥胖合计合计8 8（1 1）将将22列联表补充完整，列联表补充完整，并回答能否有并回答能否有95%的把握认为学生是否肥胖和经常饮用的把握认为学生

24、是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关？碳酸饮料有关？（2 2）已知经常饮用碳酸饮料且肥胖的）已知经常饮用碳酸饮料且肥胖的 8 8 名同学中，有名同学中，有 5 5 名男同学，名男同学，3 3 名女同学名女同学.现从这现从这5 5 名男同学和名男同学和 3 3 名女同学中选名女同学中选 5 5 人进行家访，求被选中的男生人数人进行家访，求被选中的男生人数X的分布列和期望的分布列和期望.nad bc2参考公式及数据：参考公式及数据：K，n abcd.abcdacbdPK2 k00.1000.1000.0500.0500.0100.0100.0010.0012k02.7062.7063.8413.8416

25、.6356.63510.82810.828【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：【详解】（1）肥胖经常饮用8不经常饮用10合计1825.8第 11 页 共 17 页不肥胖合计71515252240240815710由调查数据可知，K的观测值k 0.6733.841152522182没有95%的把握认为学生是否肥胖和经常饮用碳酸饮料有关.（2）被选中的男生人数X的取值为 2，3，4，5323C3C5C32C5515P X 3 则PX 2，55C828C8280514C3C5C3C5151PX 45，PX 55C8

26、56C856分布列为X2345P52815281556156期望EX25.82020如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，中，AC BC，AC BC，四边形，四边形ABB1A1是菱是菱形，形，AA1B12，平面ABB1A1 平面ABC，点，点E是是BB1中点，点中点，点F是是AC上靠上靠3近近C点的三等分点点的三等分点.AB；（1 1）证明：）证明：AC1（2 2）求直线）求直线A1B与平面与平面A1EF所成角的正弦值所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）29.29【详解】证明：（1）取AB中点O，连结AO1，OC在ABC中，AC BC，AC BC，第 12 页 共 1

27、7 页OC AB，在菱形ABB1A1中，由AA1B12可知AA1B为等边三角形，3 AB，AO1OC又AO1O，AO 平面AOC，OC 平面AOC，111 平面AOCAB 平面AOC，AC，111 AB.AC1（2）平面ABB1A1 平面ABC，平面ABB1A1平面ABC AB，OC，OA，OC，OA1两两垂直，由（1）可知AO1如图，以O为原点，OA，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标，不妨设AB 2，则A1,0,0，A10,0,3，C0,1,0，B1,0,0，F,0，1 23 3A1B 1,0,3.由AA，得B12,0,3，1 BB133E,0,BB则1的中点2，2

28、331 2,0,AF,3从而A1E，1.223 3A1En 0AEF设平面1的法向量为n x,y,z，则，AF n 0133x 1xz 022即，不妨取x 1，得y 5，即n 1,5,3.x2y3z 0z 333第 13 页 共 17 页则cos n,A1B nA1B229，n A1B2 29292929所以直线A1B与平面A1EF所成角的正弦值为x2y232121已知椭圆已知椭圆C：221(a b 0)的长轴长的长轴长 4 4，离心率，离心率e，ab2（1 1）求椭圆）求椭圆C的方程；的方程；（2 2）设设A，B分别为椭圆分别为椭圆C左，左，右顶点，右顶点，已知点已知点P为直线为直线l：x

29、4上的动点，上的动点，直线直线PA PB与椭圆与椭圆E分别交于分别交于M N两点，两点，求证：求证：直线直线MN经过定点，经过定点，并求出该定点的坐标并求出该定点的坐标.x2【答案】（1）（2）证明见解析，定点T1,0.y21；4【详解】（1）由题可得2a 4，a 2.又知离心率e c3，所以c 3，则b2 a2c21，a2x2所以椭圆C的方程为 y214（2）当点M是椭圆上顶点时，直线AM的方程为y 1x 2，2383x2可得P4,3，则lPB：y x2与 y21联立解得N,，2554所以直线MN的方程为：x y 1 0，由椭圆的对称性可知，直线MN经过：x轴上的定点，所以直线MN经过定点T

30、1,0.以下证明一般性：设l上任意点P4,m，设Mx1,y1，Nx2,y2则直线PA的方程为：y mx 26my x26联立2x y21 42222消去y得m 9 x 4m x 4m 36 0第 14 页 共 17 页182m26m4m236,2由韦达定理得2x1，解得M22m 9m 9m 9因为直线PB的方程为y mx 22my x22联立2x y21 42222消去y得m 1 x 4m x 4m 4 0 2m222m 4m24,2由韦达定理得2x2，解得N22m 1m 1m 1直线MN经过定点T1,0，即M，N，T三点共线93m26m m232m,2,2因为TM 2，TN 2m 9m 9m

31、 1 m 13393m22m6mm2318m6m 6m 18m222 0因为222m 9m 1m 9m 1m 9m 1所以TM/TN，那么M，N，T三点共线所以直线MN经过定点T1,0，2222已知函数已知函数fxx1e ax，(aR)，其中，其中e是自然对数的底数是自然对数的底数.x2（1 1）讨论函数）讨论函数fx的单调性；的单调性；（2 2）若）若a 1，对于任意的，对于任意的x1，x21,，当，当x1 x2时，不等式时，不等式fx1 fx2mx2x1恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范围的取值范围.x1x2【答案】（1）答案见解析；（2）e2,.xx【分析】（1）f x xe 2ax

32、 x e 2a，然后分a 0、0 a 111、a、a 222四种情况讨论即可；（2）由fx1 fx2mx2x1mm可得fx1 fx2，然后可得函数xxx1x212y fxmmmx2在1,上单调递增，令hx fxx1e x，xxx第 15 页 共 17 页x1,，则hx xex2xm3xm xe 2在1,0在上恒成立，即2x1,上恒成立，然后利用导数求出Fx x3ex 2的最大值即可.xx【详解】（1）f x xe 2ax x e 2a若a 0，ex2a 0，由f x 0，得x 0，则当x,0时，f x 0当x0,时，f x 0，故fx在,0单调递减，在0,单调递增若a 0，由f x 0，得x

33、0或x ln 2a1当a 调递增1时，ln2a 0，则当x,+时，f x 0，故fx在,单2122当0 a 时，ln2a 0，则当x,ln 2a0,时，f x 0当xln2a,0时，f x 0，故fx在,ln 2a，0,单调递增，在ln2a,0单调递减3当a 1时，ln2a 0，则当x,0ln2a,时，f x 02当x0,ln2a时，f x 0，故fx在,0，ln2a,单调递增，在0,ln2a单调递减（2）当a 1时，fxx1e xx2mx2x1mmf x f x2不等式fx1 fx2可变形为1x1x2x1x2即fx1mm fx2x1x2因为上式对于任意的x1，x21,，且x1 x2时恒成立所以函数y fxm在1,上单调递增x令hx fxmmx1ex x2，x1,xxm 0在1,上恒成立x2第 16 页 共 17 页则hx xe 2xx即m x3ex 2在1,上恒成立设Fx x3exxx3 e 6 2，则Fx x2因为x1,时，Fx 0所以函数Fx在1,上单调递减，所以Fxmax F1 e2所以m e 2即实数m的取值范围是e2,mx2x1【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将不等式fx1 fx2变形为x1x2fx1mmm fx2，然后转化为函数y fx的单调性问题.x1x2x第 17 页 共 17 页