2015年高考新课标I卷理科数学试题及答案详细解析.pdf

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1、20152015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学新课标新课标 I I卷卷（河南、河北、山西、江西河南、河北、山西、江西）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。全卷满分本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。全卷满分 150150 分。考试分。考试时间时间 120120 分钟。分钟。第卷第卷一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。（1）设复数 z 满足1+z1 z=i，则|z|=

2、（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20cos10-con160sin10=（A）33112（B）2（C）2（D）2【答案】D【解析】试题分析：原式=sin20cos10+cos20sin10=sin30=12，故选 D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题 P：nN，n22n，则P 为（A）nN,n22n（B）nN,n22n（C）nN,n22n（D）nN,n2=2n【答案】C【解析】试题分析：p:nN,n2 2n，故选 C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮

3、投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C320.620.40.63=0.648，故选 A.考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式x2（5）已知 M（x0，y0）是双曲线 C：y21上的一点，F1、F2是 C 上的两个焦点，若2uuuu ruuuu rMF1MF20，则 y0的取值范围是（A）（-33，）33（B）（-33，）66（C）（2 32 32 22 2，）（D）（，）3333【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方

4、程（6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（）A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛【答案】B考点：圆锥的体积公式uuu ruuu r（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点BC 3CD，则（）uuu rr4uuu ruuu r1uuu r4uuu

5、 r1uuu（A）AD ABAC (B)AD ABAC3333uuuuu ruuuuuuu ruuu r4uuu r1uuu r4uuu r1（C）AD ABAC (D)AD ABAC3333【答案】A【解析】试题分析：由题知AD AC CD AC BC AC(AC AB)=ABAC，故选 A.考点：平面向量运算(8)函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(A)（(C)（【答案】D【解析】1+2试题分析：由五点作图知，4，解得=，=，所以f(x)cos(x)，令445+3422kx2k uuu ruuu ruuu ruuu rr1uuu3uuu rruuu r

6、1uuu3r1uuu3r4uuu3）,k）,k (b)（(D)（）,k）,k4 2k,kZ，解得2k 131x2k，kZ，故单调减区间为（2k，4443），kZ，故选 D.4考点：三角函数图像与性质（9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（A）5（B）6（C）7（D）8【答案】C【解析】试题分析：执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5,m 执行第 2 次，S=S-m=0.25,m 12m=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循环，2m=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，2m=0.0625,n=3,S

7、=0.125t=0.01,是，循环，2m=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，2执行第 3 次，S=S-m=0.125,m 执行第 4 次，S=S-m=0.0625,m 执行第 5 次，S=S-m=0.03125,m m=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，2m=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循2执行第 6 次，S=S-m=0.015625,m 环，执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,m 输出 n=7，故选 C.考点：程序框图（10）(x x y)25m=0.00390625,n=7,S

8、=0.0078125t=0.01,否，2的展开式中，x5y2的系数为（A）10（B）20（C）30（D）60【答案】C【解析】试题分析：在(x2 x y)5的 5 个因式中，2 个取因式中x2剩余的 3 个因式中 1 个取x，12C2=30，故选 C.其余因式取 y,故x5y2的系数为C52C3考点：排列组合；二项式定理（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20，则 r=（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】B考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12.设函数f(x)=ex

9、(2x1)axa,其中a1，若存在唯一的整数 x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是（）A.-，1）B.-，）C.，）D.，1）【答案】D【解析】试题分析：设g(x)=ex(2x1)，y axa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y axa的下方.因为g(x)ex(2x1)，所以当x 时，g(x)0，当x 时，g(x)0，所以当x 时，g(x)max=-2e，12121212当x 0时，g(0)=-1，g(1)3e 0，直线y axa恒过（1,0）斜率且a，故a g(0)1，且g(1)3e1 aa，解得考点：导数的综合应用第 II 卷3a1，故选 D.2e本卷包括必考题和选考题两

10、部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若函数f(x)=xln（x+a x2）为偶函数，则a=【答案】1考点：函数的奇偶性x2y2（14）一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标准方程164为。【答案】(x)2 y2【解析】试题分析：设圆心为（a，0），则半径为4|a|，则(4|a|)2|a|222，解得a ，故圆的方程为(x)2 y23225.43232254考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程x1 0y（15）若x,y满足约束条件x y 0，则的

11、最大值为 .xx y4 0【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.考点：线性规划解法yxyx（16）在平面四边形 ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是【答案】（6 2，6+2）【解析】试题分析：如图所示，延长BA，CD 交于 E，平移AD，当A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得即BCBE，sinEsinC2BE，解得BE=6+2，平移 AD，当 D 与 C 重合时，AB

12、最短，此时与oosin30sin75AB 交于 F，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，BFBCBF2，即，解得 BF=6 2，所以 AB 的取值范围为oosinFCBsinBFCsin30sin75（6 2，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）Sn为数列an的前 n 项和.已知an0，an2 an=4Sn3.（）求an的通项公式：（）设,求数列16的前 n 项和14n6【答案】（）2n1（）【解析】试题分析：（）先用数列第 n 项与前 n 项和的关系求出数列an的递推公式，可以判断

13、数列an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列an的通项公式；（）根据（）数列bn的通项公式，再用拆项消去法求其前 n 项和.试题解析：（）当n 1时，a12 2a1 4S13 4a1+3，因为an 0，所以a1=3，当n 2时，an2 anan21an1=4Sn34Sn13=4an，即(anan1)(anan1)2(anan1)，因为an 0，所以anan1=2，所以数列an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以an=2n1；（）由（）知，bn=1111()，(2n1)(2n3)2 2n12n3所以数列bn前 n 项和为b1b2L bn=()()L(=161.4n61112351

14、15711)2n12n3考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法（18）如图，四边形ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面 AEC平面 AFC（2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值33【答案】（）见解析（）EG2 FG2 EF2，EGFG，ACFG=G，EG平面 AFC，EG面 AEC，平面 AFC平面 AEC.6 分uuu r uuu ruuu r（）如图，以 G 为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y 轴正方向，|GB|为单

15、位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，3，0），E(1,0,2)，uuu ruuu r22F（1,0，），C（0，3，0），AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，）.2210 分uuu ruuu ruuu r uuu rAECF3ruuu r 故cos AE,CF uuu.3|AE|CF|所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为3.12 分3考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年

16、宣传费 x1 和年销售量 y1（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。46.6 56.3 6.8289.81.61469108.8u r1表中 w1=x1,，w=8wi1ni（）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利率的

17、预报值最大？附：对于一组数据(u1,v1),(u2,v2)，(un,vn),其回归线v u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：n=(u u)(v v)iii12(u u)ii1n=vu，【答案】（）y c dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型（）$y 100.668 x（）46.24y 100.668 x.6 分y关于x的回归方程为$考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识（20）（本小题满分 12 分）x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y kxa(a0)交与M,N两点，4（）当k=0 时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点

18、P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由。【答案】（）ax y a 0或ax y a 0（）存在【解析】试题分析：（）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a代入曲线 C 的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN 的斜率为 0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（）由题设可得M(2 a,a)，N(2 2,a)，或M(2 2,a)，N(2 a,a).x21y x，故y 在x=2 2a处的到数值为a，C 在(

19、2 2a,a)处的切线方程为42y a a(x2 a)，即ax y a 0.x2故y 在x=-2 2a处的到数值为-a，C 在(2 2a,a)处的切线方程为4y a a(x 2 a)，即ax y a 0.故所求切线方程为ax y a 0或ax y a 0.5 分（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为k1,k2.将y kxa代入 C 得方程整理得x24kx4a 0.x1 x2 4k,x1x2 4a.k1k2y1by2b2kx1x2(ab)(x1 x2)k(ab)=.x1x2x1x2a当b a时，有k1k2

20、=0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以P(0,a)符合题意.12 分考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力（21）（本小题满分 12 分）已知函数f（x）=x3ax,g(x)ln x.14()当a为何值时，x轴为曲线y f(x)的切线；（）用minm,n表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)(x 0)，讨论h（x）零点的个数.【答案】（）a -；（）当a 或a 时，h(x)由一个零点；当a 或a 时，h(x)有两个零点；当 a 时，h(x)有三个零点.54343434543454【解析】试题分析：（）先利

21、用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（）根据对数函数的图像与性质将x分为x 1,x 1,0 x 1研究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.试题解析：（）设曲线y f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)0，f(x0)0，即13x ax 01300，解得x0,a .4243x2a 0034因此，当a 时，x轴是曲线y f(x)的切线.5 分（）当x(1,)时，g(x)ln x 0，从而h(x)minf(x),g(x)g(x)0，h(x)在（1，+）无零点.当x=1 时，若a ，则f(1)a 0，h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故

22、x=1 是h(x)的零点；若a ，则f(1)a 0，h(1)minf(1),g(1)f(1)0,故x=1 不是h(x)的零点.当x(0,1)时，g(x)ln x 0，所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数.()若a 3或a 0，则f(x)3x2a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)，5f(1)a，所以当a 3时，f(x)在（0，1）有一个零点；当a 0 时，f(x)在（0，1）41454545454无零点.a3a3 ()若3 a 0，则f(x)在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故a当x=时，f(x)取的最小值，最小值为f()=3a32aa1.334若f()0，即

23、a0，f(x)在（0,1）无零点.a334若f()=0，即a ，则f(x)在（0,1）有唯一零点；a334若f()0，即3 a ，由于f(0)，f(1)a，所以当 a 54a33414545434时，f(x)在（0,1）有两个零点；当3 a 时，f(x)在（0,1）有一个零点.10 分综上，当a 或a 时，h(x)由一个零点；当a 或a 时，h(x)有两个零点；当 a 时，h(x)有三个零点.12 分考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时

24、，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是eO 的直径，AC 是eO 的切线，BC 交eO 于（I）543434543454E若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是eO 的切线；（）若OA 3CE，求ACB 的大小.?【答案】（）见解析（）60考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1:x=2，圆C2：x12y 221,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求C1，C2的极坐标方程；（II）若

25、直线C3的极坐标方程为R，设C2与C3的交点为M,N,4求VC2MN的面积【答案】（）cos 2,22cos4sin4 0（）【解析】试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得C1，C2的极坐标方程；（）将将=代入22cos4sin4 0即可求出|MN|，利用三角形面积公式即412可求出VC2MN的面积.试题解析：（）因为x cos,y sin，C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos4sin4 0.5分（）将=4222cos4sin4 0代入，得3 2 4 0，解得1=2 2，2=2，|MN|=12=2，因为C2的半径为 1，则VC2MN的面积21sin45o=.考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系1212（24）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|，a0.（）当a=1 时，求不等式f(x)1 的解集；（）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于 6，求a的取值范围【答案】（）x|x 2（）（2，+）【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式f(x)1 化为一元一次不等式组来解；（）将f(x)化为分段函数，求出f(x)与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.23考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法2020-2-8