2021年全国高考新课标1卷文科数学试题(解析版).pdf

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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试新课标文科数学本卷须知:1 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。1卷2答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案标号。答复非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。5 分，共 60 分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要、选择题：此题共12 小题，每题求的。1.集合 A=0,2,B=-2,-1,0,1,2，那么 AAB=A.0,2B.1,2C.0D.-2,-1,0,1,2解析：选 A2.1-iz=1+2i,

2、贝 U|z|=A.0 B.2 C.11-i2=1+严=十羽某地区经过一年的新农村建设，为更好地了解该地区农村的经济解析:3.农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：JB二严业收人建设前经济收入构成比例那么下面结论中不正确的选项是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍建设后经济收入构成比例D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：选 A4.x y椭圆 C:r+=1 的一个焦点为(2,0)，那么 C 的离心率为a 4C.解析：

3、选 C5./c=2,4=a2-4 a=2 28 的正方形,2,2D.32 2圆柱的上、下底面的中心分别为 O,Q,过直线 OQ 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 那么该圆柱B.12nC.8 _ 2nD.10n的外表积为A.12 2n解析：选 B 设底面半径为 R,那么(2R)2=8 R=2,圆柱外表积=2n RX2R+2n於=12n6.设函数 f(x)=x+(a-1)x+ax，右 f(x)为奇函数，那么曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=-2x解析：选 D/f(x)为奇B.y=-x函数 a=1C.y=2xD.y=x2 f(x)=x3+x(0)=1应选 Df (x)=3x+1

4、f E 为 AD 的中点,37.在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，A.3AB-4】AC4B.AB-4那么EB=AC4C.3AB+AC44D.】Afe+3AC44解析：选 A 结合图形，EB=-2(BA+BD&函数 f(x)=2cos x-sin x+2，贝 UA.f(x)的最小正周期为n最大值为 3B.f(x)的最小正周期为n最大值为 4C.f(x)的最小正周期为 2n最大值为 3D.f(x)的最小正周期为 2n最大值为 435,解析：选 B f(x)=2cos2x+2 应选 B _ 2 2)=-2BA:矗-2弘：(心晶)=4AB-:AC9.某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视

5、图如图.圆柱外表上的点上的点 N 在左视图上的对应点为 B,那么在此圆柱侧面上，从中，M 在正视图上的对应点为最短路径的长度为A,圆柱外表M 到 N 的路径A.2 17B.2 5C.3解析：选 B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长10.在长方体 ABCD-ABGD 中，AB=BC=2 AC 与平面 BBCC 所成的角为 30,A.8V=2X2X2 2=8 211.角a的顶点为坐标原点,D.2那么该长方体的体积为BC=2 C=.2B.6 2C.8 2D.8.3解析：选 C/AC 与平面 BBOC 所成的角为 30,AB=2 AG=4 BC1=3始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有

6、两点A(1,a),B(2,b),且 cos2a=3,3那么|a-b|=1A 5解析：选 BD.1cos2 a2=32cos22_51=3COsa飞a=6又|tana|=|a_b|2-x,xw012设函数A.(-g,-1解析：选 D-10f(x)勺 5|a-b|=5，那么满足 f(x+1)0B.(0,+g)w-1 时，不等式等价于2-x-1 2-2x,解得 x1,此时 xw-1 满足条件w0 时，不等式等价于 12-2x,解得 x0,此时-1x0 满足条件 时，1 0，那么 z=3z+2y 的最大值为_.yw0解析：答案为 62 215.直线 y=x+1 与圆 x+y+2y-3=0 交于 A,B

7、 两点，贝 U|AB|=_.解析：圆心为(0,-1),半径 R=2,线心距 d=2,|AB|=216.别为 a,b,c，bsinC+csinB=4asinBsinC为 _.解析：由正弦定理及bsinC+csinB=4asinBsinC、1得 2sinBsinC=4sinAsinBsinC2/sinA=氏-d2=2 2AABC 的内角 A,B,C 的对边分,b+c-a=8,那么厶 ABC 的面积由余弦定理及 b2+c2-a2=8 得 2bccosA=8,那么 A 为锐角,1S=2 bcsi nA=三、解答题：共 70 分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第必须作答。第 22、23 题为选

8、考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)an数列an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an,设 bn韦.(1)求 b1,b2,b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式.2(n+1)解：(1)由条件可得 an+1=an.1721 题为必考题，每个试题考生都n将 n=1 代入得，a2=4a1,而 a1=1，所以，a2=4.将 n=2 代入得，a3=3a2,所以，a3=12.从而 b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列.由条件可得斗=他，即 bn+1=2bn,又 b1=1，所以bn是首项为 1

9、，公比为 2 的等比数列.n+1 n(3)由(2)可得詈=2n-1，所以 an=n 2n-1.18.(12 分)如图，在平行四边形 ABCM 中,AB=AC=3,ZACM=90,以 AC 为折痕将厶 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且AB 丄 DA(1)证明：平面 ACDL 平面 ABC2(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ=DA 求三棱锥 Q-ABP 的体积.2 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m2 3的概率；又 BA AD,所以 AB 丄平面 ACD又 AB 平面 ABC,所以平面 ACDL 平面 ABC(2)由可得，DC=C

10、M=AB=3DA=3 2.2L又 BP=DQ3DA 所以 BP=2/2.31 作 QE 丄 AC,垂足为 E,贝 U QE/DC,且 QEDC由及(1)可得 DCL 平面 ABC 所以 QE1 平面 ABC QE=1.111因此，三棱锥 Q-ABP 的体积为 V=3XQEX3S=3 X 1X畀 3X2 2Xsin45=1AABP03219.(12 分)某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据(单位：卅)和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据,得到频数分布表如下：未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,

11、0.6)0.6,0.7)0,0.1)频数日用水量频数10,0.1)130.1,0.2)5120.2,0.3)1340.3,0.4)90.4,0.5)162650.5,0.6)5使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表1(1)在答题卡上作出使用了节水龙头1050 天的日用水量数据的频率分布直方图:J.-IJ.-I3,03,011!l!lJ JA A_ _ _*-1-1-F-F i iiij j:,_ _,_ _ _ _ _ _ _ _II II11q q1 1*p p 亠亠屮amam-卜4 4!i!i11 眄卜“J.7J.7 a a1110101.31.31 1.6.61J1J1 1于F=-

12、r-F=-r-r-r11ii q q -ii r r *i ia a4 4i i!i!i L J LL J L _ _!0.30.30.60.6O.-IO.-I0.20.21*1*1111 m*m*!ij ij Tl Tli i B B.aJl.aJl JJil il ii03030 00.10.102013013(2)的频率为0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于(3)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50 天日用水量小于 0.35m30.35m3 的概率的估计值为 0.48.50 天日用水量的平均数为该家庭未使用节水龙头 1

13、xi=“(0.05X1+0.15X3+0.25X2+0.35X4+0.45X9+0.55X26+0.65X5)=0.4850该家庭使用了节水龙头后50 天日用水量的平均数为1X2=50(0.05X1+0.15X5+0.25X13+0.35X10+0.45X16+0.55X5)=0.353估计使用节水龙头后，一年可节省水20.(12 分)(0.48-0.35)X365=47.45(m).设抛物线 C:y=2x，点 A(2,0),B(-2,0)，过点 A 的直线 I 与 C 交于 M,N 两点.(1)(2)证明：/ABM2ABN当 I 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；解：(1)当 I 与

14、x 轴垂直时，I 的方程为 x=2，可得 M 的坐标为(2,2)或(2,-2).1 1所以直线 BM 的方程为丫=2乂+1 或 y=-2乂-1(2)当 I 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以/ABM2ABN当 I 与 x 轴不垂直时，设 I 的方程为 y=k(x-2)(k丰 0),M(X1,yj,N(X2,y?),那么 X10,X20.2代 y=k(x-2)入 y=2x 消去 x 得 ky-2y-4k=0，可知 y1+y2=k，y1y2=-4.22,y y2X2y1+xty2+2(y刊2)直线 BM BN 的斜率之和为kBi+kB萨.+=X1+2 X2+2(x计2)(x2+2

15、)将 X1=f+2,乂2=中+2 及 y1+y2,丫X2y1+X1y2+2(y1+y2)=1丫2的表达式代入式分子，可得=02y1y2+4k(y1+y2)_-8+8所以 kBM+kBN=0,可知 BM BN 的倾斜角互补，所以，/ABM=/ABN21.(12 分)函数 f(x)=aeX-Inx-1.(1)设 x=2 是 f(x)的极值点.求 a，并求 f(x)的单调区间；1(2)证明：当 a-时，f(x)0.e当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0.所以 f(x)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增e1丄f(x)-In x-1(2)当 a时e,e1xexe设 g(x)_-In x

16、-1，那么 g(x)exe(x)=aex解：(1)f(x)的定义域为(0,+8),tx由题设从而 f(x)1(2)=0,所以 a=2e=2-1 nx-11x1(X)=2e2e-x当 0 x1 时，g(x)1 时，g(x)0.所以 x=1 是 g(x)的最小值点.故当 x0 时，g(x)g(1)=0.1因此，当 a e时，f(x)0.(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。22.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，

17、曲 线 C 的极坐标方程为p+2pcos0-3=0.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)假设 G 与 C2有且仅有三个公共点，求G 的方程.解：(1)C 的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(-1,0)，半径为 2 的圆.由题设知，G 是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为 I1,y 轴左边的射线为丨2.由于 B 在圆 C2的外面，故 C 与 C 有且仅有三个公共点等价于或 l2与 C2只有一个公共点且 I1与 C2有两个公共点.当 l1与 C2只有一个公共点时，A 到 l1所在直线的距离为41与 C2没有公共点；当 k=

18、-3时,A 到 I2所在直线的距离为11与 C 只有一个公共点且 12与 C 有两个公共点,2,所以|-k+2|=2,故 k=-pk+143 或k=0.经检验，当 k=0 时，丨l1与 C2只有一个公共点，l2与 C2有两个公共点.2,当 I2与 C2只有一个公共点时,所以覽 1=2,故k=0或k=-3.经检验，当 k=0 时，丨1与 C2没有公共点；当4综上，所求 C 的方程为 y=-|x|+2.323.选修 4-5:不等式选讲(10 分)f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当 a=1 时，求不等式 f(x)1的解集；(2)假 x (0,1)时不等式 f(x)x成立，求 a 的取值范围.设-2 x-1k=4时，I2与 C2没有公共点.解：(1)当 a=1 时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即 f(x)=2x-1 x 11故不等式 f(x)1 的解集为(夕+8)(2)当 x (0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x (0,1)时|ax-1|1;2 2假设 a0,|ax-1|1，故(0,2综上，a 的取值范围为(0,2.(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按区间中点的值作代表.)解:(1)365 天计算，同一组中的数据以这组数据所 在