2010年高考全国卷1理科数学试题答案及解析.pdf

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1、绝密启用前绝密启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修理科数学（必修+选修选修 II)II)本试卷分第 I 卷(选择题）和第卷（非选择题）两部分.第 I 卷 1 至 2 页。第卷3至 4 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第 I I 卷卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径0。5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3第I 卷共 12 小题,每小题 5

2、分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式参考公式:如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B)P(A)P(B)S 4R2如果事件A、B相互独立，那么其中 R 表示球的半径P(A B)P(A)P(B)球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么V 3R34n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中 R 表示球的半径kkPn(k)Cnp(1 p)nk(k 0,1,2,n)一选择题一选择题（1)复数3 2i23i（A）i (B）i (C）12-13i（D)12+13i1A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧

3、。【解析】32i(32i)(23i)69i4i6 i。23i(23i)(23i)13(2）记cos(80)k，那么tan100 1 k21 k2A.B.C。kkk1 k2D。-k1 k22.B【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】sin80 1cos280 1cos2(80)1k2，所以tan100 tan80sin801k2 .cos80ky 1,(3）若变量x,y满足约束条件x y 0,则z x 2y的最大值为x y 2 0,(A)4（B)3（C）2（D)13。B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能

4、力及计算能力。【解析】画出可行域(如右图），由图可知，当直线l经过点 A(1,1）时,z 最大，且最大值为zmax12(1)3。yAx y 0y xl0:x2y 01OA2xx y2 02（4)已知各项均为正数的等比数列an,a1a2a3=5，a7a8a9=10,则a4a5a6=(A）5 2（B)7 (C)6（D）4 24.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】32由等比数38列的性13质知a1a2a3(a1a3)a2 a 5,a7a8a9(a7a9)a8 a 10,所以a2a8 50,所以a4a5a6(a4

5、a6)a5 a (a2a8)(50)5 2(5)(1 2 x)3(13x)5的展开式中 x 的系数是（A）-4（B)-2（C)2（D）45。B【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力。355【解析】(1 2 x)(13x)(16 x 12x8x x)(13x)353163故(1 2 x)3(13x)5的展开式中含x的项为301C5(3x)312xC5 10 x12x 2x,所以 x 的系数为-2。（6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中

6、共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一 门，则不同的选法共有(A）30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下 2 种情况：(1）A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门,121C4种不同的选法;(2）A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有C32C4有C31121812 30种.C4+C32C4种不同的选法。所以不同的选法共有C3（7)正方体 ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为A2362 B C D3333A1DAOCBD1B1C1

7、7.D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面 ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现。【解析】因为BB1/DD1，所以BB1与平面相 等，设DO 平 面ACD1所成角和DD1与平面 ACD1所成角11ACD1，由 等 体 积 法 得VDACDVD ACD，即11SACD1DO SACDDD1.设 DD1=a,33则SACD11133211AC AD1sin60(2a)2a，SACDAD CD a2。222222SACDDD1a33所 以DO a,记 DD1与 平 面 ACD1所 成 角为,则2SACD

8、133asin6DO3，所以cos.3DD1312（8)设 a=log32，b=In2,c=5，则A abcBbcaCcabD cba8.C【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析】a=log32=1211，b=In2=,而log23 log2e 1，所以 ab,log23log2ec=5=1，而5 2 log24 log23,所以 ca,综上 cab.5220(9）已知F1、F2为双曲线 C:x y 1的左、右焦点，点p在 C 上,F1pF2=60，则P到 x 轴的距离为(A）36(B)(C)223(D

9、）69.B【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力。【解 析】不 妨 设 点P(x0,y0)在 双 曲 线 的 右 支，由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得a2a2|PF1|ex0()aex012x0，|PF2|ex0)ex0a 2x01。由cc余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(12x0)2(2x01)2(2 2)20cosF1PF2=,即 cos60,2|PF1|PF2|2(12x0)(2x01)解得x0265322，所以y0 x01，故 P 到 x 轴的距离为|y0|222（10

10、）已知函数 F(x）=|lgx，若 0ab，且 f（a）=f（b)，则 a+2b 的取值范围是（A）(2 2,)(B)2 2,)（C)(3,)(D）3,)10.A【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b a这也是命题者的用苦良心之处。【解析】因为 f（a）=f（b),所以lga|=lgb|,所以 a=b(舍去),或b 又 0ab,所以 0a1f（1)=1+2 2 2,从而错选 A,a12，所以 a+2b=aaa2，由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a（0，a2=3，即 a+2b 的取值范围是(3

11、,+).1（11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么PAPB的最小值为(A)42（B）32(C)42 2(D)32 211.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力。A【解析】如图所示:设 PA=PB=x(x 0),APO=,O则APB=2，PO=1 x,sin211 x2P，BPAPB|PA|PB|cos2=x2(12sin2)x2(x21)x4 x2x4 x2422PAPB yx(1 y)x y 0y x=,令，则，即，由是222x 1x 1x

12、1实数，所以(1 y)241(y)0，y26y 1 0，解得y 32 2或y 3 2 2。故(PAPB)min 32 2。此时x 2 1。（12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为（A)2 34 38 3(B)（C）2 3(D)33312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力。【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB平面 PCD，交 AB 与 P，设点 P 到 CD 的距离为h，则有112V四面体ABCD22h h，当直径通过 AB

13、 与 CD 的中点时，hmax2 22122 3,323故Vmax4 3.3绝密启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II）第卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0。5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2第卷共 2 页,请用直径 0。5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3。第卷共 l0 小题，共 90 分.二填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效）(13）不等式2x21 x 1的

14、解集是 .13。0,2【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致。2x21(x1)2,解析:原不等式等价于解得 0 x2。x1 0（14）已知为第三象限的角，cos2 3，则tan(2)。54141【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的7正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能。【解析】因为为第三象限的角，所以2(2(2k 1),2(2k 1)(kZ)，又34所以2(2(2k 1),2(2k 1)(kZ)，于是有sin2，cos2 0，5254tantan21sin2

15、43 1.4tan2,所以tan(2)4cos23471tantan2143（15)直线y 1与曲线y x2 x a有四个交点，则a的取值范围是。15.(1，)【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想。【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线y 1与曲线y x x a,观图可知，a 的254a 15,解得1 a。取值必须满足4a1144（16)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点，线段1x 2ayx 12y x2 x ay=1xBF的延长线交C于点D，且BF 2FD，则C的离心率为 .16.O23y 4a14【命题意图】本小题主要考查椭圆的

16、方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，|BF|b2c2 a,作DD1 y轴于点 D1，则由BF 2FD，得y yB BO OD1F FD Dx x|OF|BF|233，所以|DD1|OF|c,|DD1|BD|322a23c3c23c即xD，由椭圆的第二定义得|FD|e()ac22a23c222又由|BF|2|FD|,得c 2a，整理得3c 2a ac 0。a2。3三解答题：本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 10

17、 分)(注意:在试题卷上作答无效）两边都除以a，得3e e2 0，解得e 1(舍去)，或e 22已知ABC的内角A，B及其对边a，b满足ab acot AbcotB,求内角C17。【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系,突出考查边角互化的转化思想的应用。（18）（本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用 设稿件能通过各初审

18、专家评审的概率均为0 5,复审的稿件能通过评审的概率为0 3各专家独立评审（I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；（II)记X表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望18。【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.（19）（本小题满分 12 分）（注意（注意:在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效）如图，四棱锥SABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC,AB=AD=1，DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 S

19、BC.（）证明：SE=2EB;（）求二面角 ADE-C 的大小.【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.（20)（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）已知函数f(x)(x1)ln x x1。（）若xf(x)x ax 1，求a的取值范围;（）证明:(x1)f(x)0。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想。(21

20、）(本小题满分 12 分）(注意：在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线C:y 4x的焦点为 F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点 A 关于x轴的对称点为 D.（）证明：点 F 在直线 BD 上；（)设FA FB 228，求BDK的内切圆 M 的方程。9【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想.。（22）（本小题满分 12 分）（注意（注意:在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效）已知数列an中，a11,an1 c1.an(）设c 51,bn,求数列bn的通项公式；2an2（）求使不等式an an1 3成立的c的取值范围.【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.