2021年全国统一高考数学试卷(理科)(乙卷)-带解析.pdf

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1、20212021 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）（乙卷）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1（5 分）设 2（z+）+3（z）4+6i（A12iB1+2i）C1+iD1i）2（5 分）已知集合 Ss|s2n+1，nZ Z，Tt|t4n+1，则 ST（ABSCTDZ3（5 分）已知命题 p：xR R，sinx1；命题 q：xR R，e|x|1，则下列命题中为真命题的是（Apq）

2、BpqCpqD（pq）Df（x+1）+14（5 分）设函数 f（x）Af（x1）1，则下列函数中为奇函数的是（Cf（x+1）1Bf（x1）+15（5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 B1D1的中点，则直线 PB 与 AD1所成的角为（A）BCD6（5 分）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者（A60 种B120 种C240 种）D480 种个单7（5 分）把函数 yf（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变位长度，得到函数 ysin（xAsin（Csin（

3、2x），则 f（x）（）Bsin（+Dsin（2x+8（5 分）在区间（0，1）与（1，2）中各随机取 1 个数，则两数之和大于（ABCD）9（5 分）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点 E，H，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，GC 和 EH 都称为“表目距”，GC 与 EH 的差称为“表目距的差”（）ABCD+表高表高+表距表距）10（5 分）设 a0，若 xa 为函数 f（x）a（xa）2（xb）的极大值点，则（AabBab+Caba2Daba211（5 分）设 B 是椭圆 C：是（A），1）1（ab0）

4、的上顶点，则 C 的离心率的取值范围B，1）C（0，则（Cbac）D（0，12（5 分）设 a2ln1.01，bln1.02，cAabcBbcaDcab二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13（5 分）已知双曲线 C：y21（m0）的一条渐近线为x+my0，a2+c23ac，则14（5 分）已知向量 （1，3），（3，4），若（），则15（5 分）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为b16（5 分）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图（写出符合要求的一组答案

5、即可）2三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：（一）必考题：共共 6060 分。分。17（12 分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品旧设备新设备9.810.110.310.410.010.110.210.09.910.19.8

6、10.310.010.610.110.510.210.49.710.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为 s12和 s22（1）求，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）18（12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是矩形，PD底面 ABCD，M 为 BC 中点，且PBAM（1）求 BC；（2）求二面角 APMB 的正弦值319（12 分）记 Sn为数列an的前 n 项和，bn为数列Sn的前 n 项积，已知（1）证明：数列bn

7、是等差数列；（2）求an的通项公式20（12 分）己知函数 f（x）ln（ax），已知 x0 是函数 yxf（x）（1）求 a；（2）设函数 g（x）证明：g（x）1+221（12 分）已知抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，且 F 与圆 M：x2+（y+4）21上点的距离的最小值为 4（1）求 p；（2）若点 P 在 M 上，PA，PB 为 C 的两条切线，A，求PAB面积的最大值（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。第一题计分。选修选修 4

8、-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（1010 分）分）22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，C 的圆心为 C（2，1），半径为 1（1）写出C 的一个参数方程；（2）过点 F（4，1）作C 的两条切线以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲（1010 分）分）23已知函数 f（x）|xa|+|x+3|（1）当 a1 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）若 f（x）a，求 a 的取值范围420212021 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）（乙卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、

9、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1【解答】解：设 za+bi，a，b 是实数，则 abi，则由 2（z+）+3（z，得 42a+34bi4+6i，得 8a+6bi4+7i，得，得 a1，即 z6+i，故选：C2【解答】解：当 n 是偶数时，设 n2k，当 n 是奇数时，设 n2k+4，kZ Z，则 TS，则 STT，故选：C3【解答】解：对于命题 p：xR R，sinx1，当 x0 时，sinx31，p 为假命题；

10、对于命题 q：xR R，e|x|1，因为|x|5，又函数 yex为单调递增函数，故 e|x|e01，故命题 q 为真命题，q 为假命题，所以 pq 为真命题，pq 为假命题，（pq）为假命题，故选：A4【解答】解：因为 f（x），所以函数 f（x）的对称中心为（6，1），所以将函数 f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数 yf（x1）+5，该函数的对称中心为（0，5故函数 yf（x1）+8 为奇函数故选：B5【解答】解：AD1BC1，PBC8是直线 PB 与 AD1所成的角（或所成角的补角），设正方体 ABCDA1B2C1D1的棱长为 3，则 PB1PC1，BC18，cosPBC

11、1PBC2，直线 PB 与 AD1所成的角为故选：D6【解答】解：5 名志愿者选 2 个 2 组，有共有故选：C240 种，种方法，有种，7【解答】解：把函数 yf（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移把函数 ysin（x得到 ysin（x+个单位长度）的图像）sin（x+）的图像，个单位长度，；再把图像上所有点的横坐标变为原来的 7 倍，纵坐标不变，可得 f（x）sin（x+故选：B68【解答】解：由题意可得可行域：，可得三角形的面积1故选：B9【解答】解：，故，即，解得 AE，AHAE+EH，故 AB+DE故选：A10【解答】解：令 f（x）0，解得 x

12、a 或 xb，当 a0 时，由三次函数的性质可知，则函数 f（x）的大致图象如下图所示，则 8ab；，7当 a0 时，由三次函数的性质可知，则函数 f（x）的大致图象如下图所示，则 ba0；综上，aba2故选：D11【解答】解：点 B 的坐标为（0，b），因为 C 上的任意一点 P 都满足|PB|2b，所以点 P 的轨迹可以看成以 B 为圆心，7b 为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，即至多一个解，消去 x，可得y22by+a63b22，4b24（a23b7）0，整理可得 4b54a2b4+a40，即（a42b2）70，解得 a24b2，e，故 e 的范围为（0，故选：C12【解答】解：a2ln

13、1.01ln4.0201，bln1.02，ab，令 f（x）2ln（4+x）（5），令t8x，g（t）2ln（）t+12ln（t2+3）t+22ln4，g（t）20，g（t）在（1，）上单调递增，g（t）g（1）2ln43+2ln45，f（x）0，ac，同理令 h（x）ln（1+6x）（8），再令tx，（t）ln（）t+1ln（t2+7）t+1ln2，（t）5，（t）在（1，）上单调递减，（t）（1）ln21+5ln20，h（x）8，cb，acb故选：B二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。13【解答】解：根据题意，双曲

14、线 C：22（m0）的一条渐近线为x+my8，则有，解可得 m3，则双曲线的方程为y26，则 c，其焦距 7c4；故答案为：414【解答】解：因为向量（1，（3，9则 ，64），又（所以（解得故答案为：15【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，cacsinB又 cosB故答案为：2ac4a2+c312，b7，B60，a2+c53ac，3（83）+4（44）15250，16【解答】解：观察正视图，推出正视图的长为 2 和高 1，即可能为该三棱锥的侧视图，图形的长为 8，即可能为该三棱锥的俯视图，当为侧视图时，结合侧视图中的直线，当为侧视图时，结合侧视图虚线，可以确定该三棱

15、锥的俯视图为故答案为：或三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：（一）必考题：共共 6060 分。分。17【解答】解：（1）由题中的数据可得，（9.2+10.3+10.0+10.4+9.9+3.8+10.0+10.5+10.2+9.5）10，s1210）2+（1010）7+（10.110）2+（10.610）2+（

16、9.610）20.036；s3210.3）2+（10.810.3）2+（10.410.3）2+（10.810.3）2+（10.510.3）2+（10.710.3）210（10.1+10.2+10.1+10.0+10.2+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）10.7，（9.810）8+（10.310）2+（1010）8+（10.210）2+（5.910）2+（5.8（10.410.3）2+（10.410.3）2+（10.510.3）2+（10.810.3）2+（10.82.04；（2），2，所以 4，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高18【解答】解：（1）连结 BD

17、，因为 PD底面 ABCD，则 AMPD，又 AMPB，PB，所以 AM平面 PBD，又 BD 平面 PBD，所以ABD+DAM90，又DAM+MAB90，则有ADBMAB，所以 RtDABRtABM，则，所以；（2）因为 DA，DC，故以点 D 位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，P（0，0，所以，设平面 AMP 的法向量为，则有，即，令，则 y1，故，设平面 BMP 的法向量为，则有，即，令 q6，则 r1，故，所以，11，设二面角 APMB 的平面角为，则 sin，所以二面角 APMB 的正弦值为19【解答】解：（1）证明：当 n1 时，b1S4，由+25，当 n8 时，Sn，代入

18、+2，消去 Sn，可得+2nbn3，所以bn是以为首项，（2）由题意，得 a1S1b4，由（1），可得 bn+（n1），12由+4n，当 n6 时，anSnSn11不满足该式，所以 an20【解答】（1）解：由题意，f（x）的定义域为（，令 g（x）xf（x），则 g（x）xln（ax），a），则 g（x）ln（ax）+x，因为 x0 是函数 yxf（x）的极值点，则有 g（x）8，所以 a1，当 a1 时，g（x），因为 g（x），则 g（x）在（，5）上单调递减，所以当 x（，a）时，当 x（0，1）时，所以 a7 时，x0 时函数 yxf（x）的一个极大值综上所述，a1；（2）证明：由（

19、1）可知，xf（x）xln（4x），要证，即需证明，因为当 x（，0）时，当 x（8，1）时，所以需证明 x+ln（1x）xln（2x），即 x+（1x）ln（1x）8，令 h（x）x+（1x）ln（1x），则 h（x）（3x），所以 h（0）0，当 x（，h（x）8，当 x（0，1）时，所以 x8 为 h（x）的极小值点，所以 h（x）h（0）0，即 x+ln（1x）xln（3x），13故所以，到圆 M 上的点的距离的最小值为，则（x2，y7，），则易得；21【解答】解：（1）点（2）由（1）知，抛物线的方程为 x22y，即设切点A（x3，y1），B设 lAB：ykx+b，联立抛物线方程26

20、kx4b0，16k4+16b0，即 k2+b7，且 x1+x27k，x1x26b，P（2k，b），代入 得，又点 P（8k，b）在圆 M：x2+（y+4）71 上，故，而 ypb8，3，当 b5 时，（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。第一题计分。选修选修 4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（1010 分）分）22【解答】解：（1）C 的圆心为 C（2，1），则C 的标准方程为（x3）2+（y1）71，C 的一个参数方程为（为参数）（2）由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为 y1k（x4），即 kxy2k+10，14圆心 C（5，1）到切线的距离 d，解得 k，所以切线方程为 y（x4）+1，因为 xcos，ysin，所以这两条切线的极坐标方程为sin（cos4）+1 选修选修 4-54-5：不等式选讲：不等式选讲（1010 分）分）23【解答】解：（1）当 a1 时，f（x）|x1|+|x+6|，f（x）6，或或，x4 或 x6，不等式的解集为（，42（2）f（x）|xa|+|x+2|xax3|a+3|，若 f（x）a，则|a+4|a，两边平方可得 a2+6a+5a2，解得 a，即 a 的取值范围是（，+）15