2020年全国高考数学试题及答案-新高考卷I(精编版).pdf

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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 A=x|1x3，B=x|2x4，则 AB=Ax|2x3Cx|1x422i1 2iBx|2x3Dx|1xn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上

2、B若 m=n0，则 C 是圆，其半径为n22C若 mn0，则 C 是两条直线10下图是函数 y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=mxnAsin(x）3Bsin(5Dcos(2x)Ccos(2x）2x)36611已知 a0，b0，且 a+b=1，则Aa2b212B2ab12Clog2a log2b 2Da b 212 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念.设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 的 取 值 为1,2,P(X i)pi 0(i 1,2,n),pi1，定义 X 的信息熵H(X)pilog2pi.i1i1nn,n，且A若 n=1，则 H(X)=0B若

3、 n=2，则 H(X)随着pi的增大而增大1C若pi(i 1,2,n,n)，则 H(X)随着 n 的增大而增大D若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,H(X)H(Y)三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。,m，且P(Y j)pj p2m1 j(j 1,2,m)，则13斜率为3的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则AB=_14将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_315某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示 O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与

4、直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，3垂足为 C，tanODC=，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，5圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm216 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD=60 以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在ac 3，csin A 3，c 3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在

5、，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sin A 3sin B，C 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（12 分）已知公比大于1的等比数列an满足a2 a4 20,a3 8（1）求an的通项公式；（2）记bm为an在区间(0,m(mN N*)中的项的个数，求数列bm的前100项和S10019（12 分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：g/m3），得下表：，_?6SO20,50(50,150(150,4754PM2.50

6、,35(35,75(75,1153263188741210（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：SO2PM2.50,150(150,4750,75(75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？n(ad bc)2附：K，(ab)(cd)(ac)(bd)2P(K2 k)k0.0500.0100.0013.8416.63510.82820（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1

7、）证明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值21（12分）已知函数f(x)aex1ln xlna（1）当a e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；5（2）若f（x）1，求a的取值范围22（12分）x2y22已知椭圆C：221(a b 0)的离心率为，且过点A（2，1）ab2（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值6参考答案一、选择题1C5C二、选择题9ACD三、填空题131632D6B3C7A4B8D10BC11ABD12AC14

8、3n22n155 421622四、解答题17解：方案一：方案一：选条件a2b2c23由C 和余弦定理得62ab2由sin A 3sin B及正弦定理得a 3b于是3b2b2c22 3b23，由此可得b c2由ac 3，解得a 3,b c 1因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c 1方案二：方案二：选条件a2b2c23由C 和余弦定理得62ab2由sin A 3sin B及正弦定理得a 3b于是3b2b2c22 3b232，由此可得b c，B C，A263由csin A 3，所以c b 2 3,a 6因此，选条件时问题中的三角形存在，此时c 2 3方案三：方案三：选条件a2b2c23由C 和余

9、弦定理得62ab27由sin A 3sin B及正弦定理得a 3b于是3b2b2c22 3b23，由此可得b c2由c 3b，与b c矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在18解：（1）设an的公比为q由题设得a1q a1q3 20，a1q281解得q （舍去），q 2由题设得a1 22所以an的通项公式为an 2n（2）由题设及（1）知b1 0，且当2n m 2n1时，bm n所以S100 b1(b2 b3)(b4 b5 b6 b7)(b32 b33 b63)(b64 b65 b100)012 222323 4245256(10063)48019解：（1）根据抽查数据，该市 100 天的空气

10、中 PM2.5 浓度不超过 75，且SO2浓度不超过 150 的天数为321868 64,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且SO2浓度不超过 150 的概率的估计值为64 0.64100（2）根据抽查数据，可得22列联表：SO2PM2.50,150(150,4750,75(75,115264101610100(64101610)2 7.484（3）根据（2）的列联表得K 80207426由于7.484 6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关20解：8（1）因为PD底面ABCD，所以PD AD又底面ABCD为正方形，所以AD DC，因此A

11、D底面PDCBC，AD 平面PBC，所以AD平面PBC因为ADAD因此l 平面PDC由已知得l（2）以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，DC (0,1,0)，PB (1,1,1)由（1）可设Q(a,0,1)，则DQ (a,0,1)n nDQ 0,ax z 0,n n (x,y,z)QCD设是平面的法向量，则即y 0.n nDC 0,可取n n (1,0,a)所以cosn n,PB n nPB1 a|n n|PB|3 1 a23|a 1|32a12233a 11 a设PB与平面QC

12、D所成角为，则sin因为为32a612，当且仅当a 1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值3a 136321解：f(x)的定义域为(0,)，f(x)aex11x（1）当a e时，f(x)exlnx 1，f(1)e1，曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y(e1)(e 1)(x 1)，即y (e1)x 2直线y (e1)x 2在x轴，y轴上的截距分别为因此所求三角形的面积为2e 192，2e 1（2）当0 a 1时，f(1)a lna 1x1当a 1时，f(x)ex1lnx，f(x)e1x当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,)时，f(x)0所以当x 1时，f(x

13、)取得最小值，最小值为f(1)1，从而f(x)1当a 1时，f(x)aex1lnx lna ex1lnx 1综上，a的取值范围是1,)22解：41a2b21，解得a2 6，b2 3（1）由题设得221，2aba2x2y21所以C的方程为63（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y kx m，x2y21得(1 2k2)x2 4kmx 2m26 0代入634km2m26,x1x2于是x1 x2 1 2k21 2k2由AM AN知AM AN 0，故(x1 2)(x2 2)(y11)(y21)0，可得(k21)x1x2(kmk 2)(x1 x2)(m1)2

14、 4 02m264km2(kmk 2)(m1)4 0将代入上式可得(k 1)1 2k21 2k22整理得(2k 3m 1)(2k m 1)0因为A(2,1)不在直线MN上，所以2k m1 0，故2k 3m1 0，k 121于是MN的方程为y k(x)(k 1).3321所以直线MN过点P(,).33若直线MN与x轴垂直，可得N(x1,y1).由AM AN 0得(x1 2)(x1 2)(y11)(y11)0.x12y122又，x1.1，可得3x128x1 4 0.解得x1 2（舍去）63321此时直线MN过点P(,).331 04 1令Q为AP的中点，即Q(,).3 3若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故|DQ|若D与P重合，则|DQ|1|AP|.212 2.|AP|234 1综上，存在点Q(,)，使得|DQ|为定值.3 31 1