高考真题——理科数学(新课标卷)解析版.pdf

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1、绝密*启用前2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.问答第卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.3.回答第卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。第一卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A 1,2,3,4,5,B(x,y)xA,yA,x yA

2、；,则B中所含元素的个数为（）(A)3(B)6(C)(D)【解析】选Dx 5,y 1,2,3,4，x 4,y 1,2,3，x 3,y 1,2，x 2,y 1共 10 个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）(A)12种(B)10种(C)种(D)种【解析】选A12甲地由1名教师和2名学生：C2C412种（3）下面是关于复数z 2的四个命题：其中的真命题为（）1i2p1:z 2p2:z 2ip3:z的共轭复数为1ip4:z的虚部为1(A)p2,p3(B)p1,p2(C)p,p(D)p,p【解析】选Cz

3、22(1i)1i1i(1i)(1i)2p1:z 2，p2:z 2i，p3:z的共轭复数为1i，p4:z的虚部为1x2y23a（4）设F1F2是椭圆E:221(a b 0)的左、右焦点，P为直线x 上一点，ab2F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）12(B)(C)23【解析】选C(A)(D)c3F2PF1是底角为30的等腰三角形 PF2 F2F1 2(ac)2c e 2a4（5）已知an为等比数列，a4 a7 2，a5a6 8，则a1 a10（）3(A)7(B)5(C)(D)【解析】选Da4 a7 2，a5a6 a4a7 8 a4 4,a7 2或a4 2,a7 4a4 4,a7

4、 2 a1 8,a101 a1 a10 7a4 2,a7 4 a10 8,a11 a1 a10 7（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N 2)和实数a1,a2,.,an，输出A,B，则（）(A)A B为a1,a2,.,an的和(B)A B为a1,a2,.,an的算术平均数2(C)A和B分别是a1,a2,.,an中最大的数和最小的数(D)A和B分别是a1,a2,.,an中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）(A)6(B)9(C)(D)【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3此几何体的体积为V（

5、8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y16x的准线交于A,B两点，AB 4 3；则C的实轴长为（）211633 932(A)2(B)2 2(C)(D)【解析】选C设C:x y a(a 0)交y16x的准线l:x 4于A(4,2 3)B(4,2 3)222得：a (4)(2 3)4 a 2 2a 42222（9）已知0，函数f(x)sin(x则的取值范围是（）)在(,)上单调递减。421 51 31(A),(B),(C)(0,(D)(0,22 42 42【解析】选A59 2(x),不合题意 排除(D)444351(x),合题意 排除(B)(C)4443另：()2，(x),242

6、4422315得：,2424224（10）已知函数f(x)1；则y f(x)的图像大致为（）ln(x1)x【解析】选Bxg(x)l n(1x)x gx()1 x g(x)0 1 x 0g,x ()0 x 0 gx()g(0)得：x 0或1 x 0均有f(x)0排除A,C,D0（11）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC 2；则此棱锥的体积为（）(A)3222(B)(C)(D)6632【解析】选AABC的外接圆的半径r 6322，点O到面ABC的距离d R r332 63SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2d 此棱锥的体积为V

7、1132 62SABC2d 33436另：V 13SABC2R 排除B,C,D36（12）设点P在曲线y 1xe上，点Q在曲线y ln(2x)上，则PQ最小值为（）22(1ln 2)(C)1ln2(D)2(1 ln 2)(A)1ln2(B)【解析】选A函数y 1xe与函数y ln(2x)互为反函数，图象关于y x对称21xe x112函数y ex上的点P(x,ex)到直线y x的距离为d 222设函数g(x)1x11ln2e x g(x)ex1 g(x)min1ln2 dmin222由图象关于y x对称得：PQ最小值为2dmin2(1ln2)第卷第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第

8、 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分。（13）已知向量a,b夹角为45，且a 1,2ab 10；则b _【解析】b _3 22ab 10 (2ab)10 4 b 4 b cos4510 b 3 2 x,y 0(14)设x,y满足约束条件：x y 1；则z x 2y的取值范围为x y 3【解析】z x2y的取值范围为3,3约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：O(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0)则z x2y3,322（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1 或元件

9、 2 正常工作，且元件 3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N(1000,50)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为2【解析】使用寿命超过1000 小时的概率为382三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,50)得：三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率为p 12342超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率P11(1 p)那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为p2 p1 p 38n（16）数列an满足an1(1)an 2n1，则an的前60项和为【解析】an的前6

10、0项和为1830可证明：bn1 a4n1a4n2a4n3a4n4 a4n3a4n2a4n2a4n16 bn16b1 a1 a2 a3 a41 01 5 1 4 S1 51 01 528 3 01 6 1三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，acosC 3asinC bc 0（1）求A（2）若a 2，ABC的面积为3；求b,c。【解析】（1）由正弦定理得：acosC 3asinC bc 0 sin AcosC 3sin AsinC sin B sinC sin AcosC 3sin AsinC si

11、n(aC)sinC3sin Acos A1 sin(A30)12 A30 30 A 60（2）S 1bcsin A 3 bc 42a2 b2c22bccos A bc 4解得：b c 2（l fx lby）18.（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式。（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花

12、店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是 17 枝？请说明理由。【解析】（1）当n16时，y 16(105)80当n15时，y 5n5(16n)10n8010n80(n 15)得：y(nN)80(n 16)（2）（i）X可取60，70，80P(X 60)0.1,P(X 70)0.2,P(X 80)0.7X的分布列为X600.1700.2800.7PEX 600.1700.2800.776222DX 16 0.16 0.24 0.7 44（ii）购进 17 枝时，当天的利润为

13、y (14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.54 76.476.476得：应购进 17 枝（19）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC 1AA1，2D是棱AA1的中点，DC1 BD（1）证明：DC1 BC（2）求二面角A1 BDC1的大小。【解析】（1）在RtDAC中，AD AC得：ADC 45同理：A1DC1 45 CDC1 90得：DC1 DC,DC1 BD DC1面BCD DC1 BC（2）DC1 BC,CC1 BC BC 面ACC1A1 BC AC取A1B1的中点O，过点O作OH BD于点H，连接C1O,C1HC1O

14、A1C1 B1C11C H O H B DA B A1B1C1面A1BD C1O 面A1BD，面1B D得：点H与点D重合且C1DO是二面角A1 BD C1的平面角设AC a，则C1O 2a，C1D 2a 2C1OC1DO302既二面角A1 BDC1的大小为30（20）（本小题满分 12 分）设抛物线C:x 2py(p 0)的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，2FA为半径的圆F交l于B,D两点；（1）若BFD 900，ABD的面积为4 2；求p的值及圆F的方程；（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m,n距离的比值。【解析】（1）由对

15、称性知：BFD是等腰直角，斜边BD 2p点A到准线l的距离d FA FB 2p1SABD 4 2 BD d 4 2 p 22圆F的方程为x2(y 1)2 82x0p（2）由对称性设A(x0,)(x0 0)，则F(0,)2p222x0 x0p2)p x0 3p2点A,B关于点F对称得：B(x0,p2p2p23pp3p22xp x3y3p 0得：A(3p,)，直线m:y 2223p3ppx2x33,)x 2py y y x p 切点P(362pp332直线n:y p33p3(x)x3y p 063363p3p:3。（lfx lby）26坐标原点到m,n距离的比值为（21）（本小题满分 12 分）已

16、知函数f(x)满足满足f(x)f(1)ex1 f(0)x（1）求f(x)的解析式及单调区间；12x；212x axb，求(a 1)b的最大值。21【解析】（1）f(x)f(1)ex1 f(0)xx2 f(x)f(1)ex1 f(0)x2（2）若f(x)令x 1得：f(0)1f(x)f(1)ex1 x得：f(x)ex xg(x)e 1 0 y g(x)在xR上单调递增f(x)0 f(0)x 0,f(x)0 f(0)x 0得：f(x)的解析式为f(x)ex xx12x f(0)f(1)e11 f(1)e212x g(x)f(x)ex1 x212x2且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)（

17、2）f(x)12x axb h(x)ex(a1)xb 0得h(x)ex(a1)2当a10时，h(x)0 y h(x)在xR上单调递增x 时，h(x)与h(x)0矛盾当a10时，h(x)0 x ln(a 1),h(x)0 x ln(a 1)得：当x ln(a 1)时，h(x)min(a1)(a1)ln(a1)b 0(a1)b (a 1)(a 1)ln(a 1)(a 1 0)令F(x)x x ln x(x 0)；则F(x)x(12ln x)F(x)0 0 x 当x 当a 2222e,F(x)0 x ee时，F(x)maxe2e2e 1,b e时，(a 1)b的最大值为请考生在第 22,23,24

18、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，D,E分别为ABC边AB,AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F,G两点，若CF/AB，证明：（1）CD BC；（2）BCDGBD【解析】（1）CF/AB，DF/BC CF/BD/AD CD BFCF/AB AF BC BC CD（2）BC/GF BG FC BDBC/GF GDEBGDDBCBDC BCD（23）本小题满分 10 分)选修 44；坐标系与参数方程为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是 2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A,B,C,D依逆时

19、针次序排列，点A的极坐标为(2,（1）求点A,B,C,D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求PA PB PC PD的取值范围。【解析】（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)2222GBD已知曲线C1的参数方程是x 2cos(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴y 3sin3)3),(2,5411),(2,),(2,)636（2）设P(x0,y0)；则x0 2cos(为参数)y03sin22t PA PB PC PD 4x24y240 56 20sin56,76（lfxlby）（24）（本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲已知函数f(x)xa x2（1）当a 3时，求不等式f(x)3的解集；（2）若f(x)x4的解集包含1,2，求a的取值范围。【解析】（1）当a 3时，f(x)3 x3 x2 3222x 2x 32 x 3或或3 x2 x 33 x x2 3x3 x2 3 x 1或x 4（2）原命题 f(x)x4在1,2上恒成立 xa 2x 4x在1,2上恒成立 2x a 2 x在1,2上恒成立 3 a 0