七年级数学竞赛讲座01 自然数的有关性质.doc
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1、1七年级数学竞赛讲座七年级数学竞赛讲座(一一)自然数的有关性质自然数的有关性质一、一、知识要点1、1、最大公约数定义定义 1 1如果 a1,a2,an和 d 都是正整数,且 da1,da2,dan,那么 d 叫做a1,a2,an的公约数。公约数中最大的叫做 a1,a2,an的最大公约数,记作(a1,a2,an).如对于 4、8、12 这一组数,显然 1、2、4 都是它们的公约数,但 4 是这些公约数中最大的,所以 4 是它们的最大公约数,记作(4,8,12)=4.2、2、最小公倍数定义定义 2 2如果 a1,a2,an和 m 都是正整数,且 a1m,a2m,anm,那么 m 叫做a1,a2,a
2、n的公倍数。公倍数中最小的数叫做 a1,a2,an的最小公倍数,记作a1,a2,an.如对于 4、8、12 这一组数,显然 24、48、96 都是它们的公倍数,但 24 是这些公倍数中最小的,所以 24 是它们的最小公倍数,记作4,8,12=24.3、3、最大公约数和最小公倍数的性质性质 1 若 ab,则(a,b)=a.性质 2 若(a,b)=d,且 n 为正整数,则(na,nb)=nd.性质 3 若 na,nb,则nbanbna,.性质 4 若 a=bq+r(0rb),则(a,b)=(b,r).性质 4 实质上是求最大公约数的一种方法,这种方法叫做辗转相除法。性质 5 若 ba,则a,b=a
3、.性质 6 若a,b=m,且 n 为正整数,则na,nb=nm.性质 7 若 na,nb,则nbanbna,.4、4、数的整除性定义定义 3 3对于整数 a 和不为零的整数 b,如果存在整数 q,使得 a=bq 成立,则就称b 整除 a 或 a 被 b 整除,记作 ba,若 ba,我们也称 a 是 b 倍数;若 b 不能整除 a,记作 ba5、5、数的整除性的性质性质 1 若 ab,bc,则 ac性质 2 若 ca,cb,则 c(ab)性质 3 若 ba,n 为整数,则 bna6、6、同余定义定义 4 4设 m 是大于 1 的整数,如果整数 a,b 的差被 m 整除,我们就说 a,b 关于模
4、m 同余,记作 ab(mod m)7、7、同余的性质性质 1 如果 ab(mod m),cd(mod m),那么 acbd(mod m),acbd(mod m)性质 2 如果 ab(mod m),那么对任意整数 k 有 kakb(mod m)性质 3 如果 ab(mod m),那么对任意正整数 k 有 akbk(mod m)2性质 4 如果 ab(mod m),d 是 a,b 的公约数,那么dm,m moddbda二、二、例题精讲例 1 设 m 和 n 为大于 0 的整数,且 3m+2n=225.如果 m 和 n 的最大公约数为 15,求 m+n 的值(第 11 届“希望杯”初一试题)解:(1
5、)因为(m,n)=15,故可设 m=15a,n=15b,且(a,b)=1因为 3m+2n=225,所以 3a+2b=15因为 a,b 是正整数,所以可得 a=1,b=6 或 a=b=3,但(a,b)=1,所以 a=1,b=6从而 m+n=15(a+b)=157=105评注:1、遇到这类问题常设 m=15a,n=15b,且(a,b)=1,这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。这是一种常用方法。2、思考一下,如果将 m 和 n 的最大公约数为 15,改成 m 和 n 的最小公倍数为 45,问题如何解决?例 2有若干苹果,两个一堆多一个,3 个一堆多一个,4 个一堆多一个,5 个一堆多一个,6 个
6、一堆多一个,问这堆苹果最少有多少个?分析:将问题转化为最小公倍数来解决。解设这堆苹果最少有 x 个,依题意得543215432161514131211615141312qxqxqxqxqxqxqxqxqxqx即由此可见,x-1 是 2,3,4,5,6 的最小公倍数因为2,3,4,5,6=60,所以 x-1=60,即 x=61答:这堆苹果最少有 61 个。例 3自然数 a1,a2,a3,a9,a10的和 1001 等于,设 d 为 a1,a2,a3,a9,a10的最大公约数,试求 d 的最大值。解由于 d 为 a1,a2,a3,a9,a10的最大公约数,所以和 a1+a2+a3+a9+a1010
7、01能被 d 整除,即 d 是 100171113 的约数。因为 dak,所以 akd,k1,2,3,10从而 1001a1+a2+a3+a9+a1010d所以101101001d由 d 能整除 1001 得,d 仅可能取值 1,7,11,13,77,91。因为 1001 能写成 10 个数的和:91+91+91+91+91+91+91+91+91+182其中每一个数都能被 91 整除,所以 d 能达到最大值 91例 4 某商场向顾客发放 9999 张购物券,每张购物券上印有四位数码,从 0001 到 9999号,如果号码的前两位之和等于后前两位之和,则这张购物券为幸运券,如号码 0734,3
8、因 0+7=3+4,所以这个号码的购物券为幸运券。证明:这个商场所发购物券中,所有幸运券的号码之和能被 101 整除。(第 7 届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题)证明:显然,9999 的购物券为幸运券,除这张外,若号码为 n 的购物券为幸运券,则号码为 m=9999-n 的购物券也为幸运券。由于 9999 是奇数,所以 m,n 的奇偶性不同,即 mn,由于 m+n=9999,相加时不出现进位。就是说,除号码为 9999 的幸运券外,其余所有的幸运券可两两配对,且每对号码之和为 9999,从而可知所有的幸运券的号码之和为 9999 的倍数。由 1019999,所以所有幸运券的号码之和能被 101
9、 整除。评注:本题是通过将数两两配对的方法来解决。例 5 在 1,2,3,1995 这 1995 个数中,找出所有满足条件的数来:(1995+a)能整除1995a(第五届华杯赛决赛试题)分析:aa19951995分子、分母都含有 a,对 a 的讨论带来不便,因此可以将aa19951995化成a1995199519951995,这样只有分母中含有 a,就容易对 a 进行讨论。解aaaaa19951995199519951995199519951995199519951995因为(1995+a)能整除 1995a,所以aa19951995是整数,从而a199519951995是整数因为 19951
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