高考新课标全国卷理科数学试题附答案.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)理科数学试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知集合AxR|x|2,B xZ|x 4,则AB(A)(0,2)(B)0,2(C)0,2(D)0,1,2(2)已知复数z 3 i，z是 z 的共轭复数，则zz=2(13i)11(B)(C)1(D)242x(3)曲线y 在点(1,1)处的切线方程为x2(A)(A)y 2x 1(B)y 2x 1(C)y 2x 3(D)y 2x 2(4)如图，质点P在半径为

2、 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为角速度为 1，那么点P到x轴距离d关于时间t的P0(2,2)，函数图像大致为ABCD(5)已知命题p1：函数y 2x2x在 R 为增函数，p2：函数y 2x 2x在 R 为减函数，则在命题q1：p1 p2，q2：p1 p2，q3：p1 p2和q4：p1p2中，真命题是（A）q1，q3（B）q2，q3（C）q1，q4（D）开始输入Nq2，q4(6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，对于没k=1,S=0S=S+1k(k+1)k=k+1是kN否输出S结束有发芽的种子，每粒需再补种2 粒，补种的种子数记为X，则 X 的数学期望为(A)100（

3、B）200(C)300（D）400(7)如果执行右面的框图，输入N 5，则输出的数等于54（B）4565(C)（D）56(A)(8)设偶函数f(x)满足f(x)x 8(x 0)，则x|f(x2)0(A)x|x 2或x 4(B)x|x 0或x 4(C)x|x 0或x 6(D)x|x 2或x 2342，是第三象限的角，则51tan211(A)(B)(C)2(D)222(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积(9)若cos 为(A)a21tan(B)72a3(C)112a(D)5a23|lg x|,0 x 10,(11)已知函数f(x)1若a,b,c互不相

4、等，且f(a)f(b)f(c),则abcx6,x 10.2的取值范围是(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)(12)已知双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12,15),则E的方程式为x2y2x2y21(B)1(A)3645x2y2x2y21(D)1(C)6354第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（24）题为选考题，考试根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分(13)设y f(x)为区间0,1上的连续函数，

5、且恒有0 f(x)1，可以用随机模拟方法近似计算积分10f(x)dx，先产生两组（每组N个）区间0,1上的均匀随机数x1,x2,xN和y1,y2,yN，由此得到N个点(xi,yi)(i 1,2,N)，再数出其中满足yi f(xi)(i 1,2,N)的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分近似值为。(14)正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种）(15)过点A(4,1)的圆C与直线x y 1 0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为_(16)在ABC中，D为边BC上一点，BD 10f(x)dx的1若ADCDC，ADB=120，AD=2，2的面积为33，则BAC=_三，解答题：解答应写出文字说明

6、，证明过程和演算步骤（17）（本小题满分 12 分）2n1设数列an满足a1 2,an1 an 32（1）求数列an的通项公式；（2）令bn nan，求数列的前 n 项和Sn(18)（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥P ABCD的底面为等腰梯形，ABCD，AC BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE BC（2）若APB ADB 60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值(19)(本小题 12 分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别男是否需要志愿需要不需要4016030270女（1）估计该地区老年人

7、中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由n(ad bc)2附：K(a b)(c d)(a c)(bd)2P(K2k)0.0503.8410.0106.6350.00110.828k（20）（本小题满分 12 分）x2y2设F1,F2分别是椭圆E:221(a b 0)的左、右焦点，过F1斜率为 1 的直线lab与E相交于A,B两点，且AF2,AB,BF2成等差数列。（1）求E的离心率；（2）设点P(0,1)满足PA PB，

8、求E的方程（21）（本小题满分 12 分）设函数f(x)e 1 xax。（1）若a 0，求f(x)的单调区间；（2）若当x 0时f(x)0，求a的取值范围请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分（22）（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图：已知圆上的弧AC BD，过 C 点的圆的切线与 BA的延长线交于 E 点，证明：x2（）ACE=BCD；（）BC=BE CD（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程2x 1tcos已知直线C1：(t为参数)，圆C

9、2y tsin（）当=x cos（为参数）y sin时，求C1与C2的交点坐标：3（）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。（24）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数f(x)=2x 4 1（）画出函数y f(x)的图像：（）若不等式f(x)ax的解集非空，求a的取值范围2010 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案1【解析】AxR|x|2,xR 2 x2，BxZ|x 4xZ 0 x16，故AB 0,1,2应选 D2【解析】z 3i3i13i11(3i)(13i)(3i)2213i84(13

10、i)22 3i111zz(3 i)(3 i)应选 A4443 i3 i2112zz z另解：由z 可得222224(13i)13i3【解析】由y 应选 A4【解析】通过分析可知当t 0时，点P到x轴距离d为2，于是可以排除答案 A,D，2x2,k y1可得y2(x2)x2x2x12,y12(x1),y2x1再根据当t 4时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为 0,排除答案 B，应选Cxxxx5【解析】：p1：函数y 2 2在 R 为增函数为真命题，而函数y 2 2为偶函数，则y 2 2在 R 不可能为减函数，p2：函数y 2 2在 R 为减函数为假命题，则p1为假命题，p2为真命题，然后根

11、据复合命题的判断方法即可确定答案Cxxxx6【解析】由题意可知播种了 1000 粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即 B(1000,0.1),而X 2，则EX 2E 210000.1 200应选 B7【解析】根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111111111511，应选 D223344556668【解析】当x 0时，则x 0，由偶函数满f(x)足f(x)x 8(x 0)可得，3 x38(x 0)(x 2)38(x 2)则f(x)=3，f(x 2)f(x)f(x)x 8，3x 8(x 0)(x 2)8(x 2)3令f(x2)0，可解得x 4,或x 0应选 B另解：由偶函数满f(x)足f(

12、x)x 8(x 0)可得f(x)f(x)x 8，则f(x2)f(x2)x2 8，要使f(x2)0，只需x2 8 0,x2 2，解得x 4,或x 0应选 B9【解析】由cos 333343，是第三象限的角可得sin 55311tancossin5 1，应选 A2221sin4cos21tancossin222543另解：由cos，是第三象限的角可得sin 553sin1tan2sin5 3，213 1tan132cos1cos1421tan25210【解析】根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，则其外接球的半径为a2a727a27222R()()a，球的表面积为R 4a，应选 B22si

13、n 6012123y11【解析】作出函数f(x)的图象如右图，不妨设a b c，则lga lgb 则abc c(10,12)应选 C12【解析】由双曲线E的中心为原点，P(3,0)是E的焦点可设双曲线的方程为1c10(0,1)2x12y12x22y22x2y2221(a b 9)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，即221,221a2b2ababb252y1 y2b2x1 x2b212015则221，则2,b 5,a2 4，a4x1 x2ay1 y2a15312x2y21应选 B故E的方程式为45N13【解析】：由题意可知1NN为1N10f(x)dx1得101N1，故积分f(x)dx的近似

14、值f(x)dx 0N14【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等15【解析】设圆的方程为(xa)(y b)r，则(4a)(1b)r,(2 a)(1b)r,解得a 3,b 0,r 222222222b1 1,a22，故所求圆的方程为(x3)2 y2 216【解析】由ADC 的面积为33可得解得DC 2 3 2,则BD A3 1,BC 3 3 3AB2 AD2 BD22ADBDcos120 4(3 1)22(3 1)6,AB 6BA2 AC2 BC262412 3 9(42 3)6 3 61则cosBAC BD2AB AC2 6 6(3 1)12(3 1)2故BAC

15、 60C三、解答题（17）【解析】（）由已知，当 n1 时，3(22n1 22n3 2)2 22(n1)1。而a1 2,所以数列an的通项公式为an 22n1。（）由b1n nan n22n知Sn12 223325 n22n1从而22Sn=123225327 n22n1-得(122)Sn=22325 22n1n22n1即S12n1n=9(3n 1)2218）【解析】以H为原点，HA,HB,HP分别为x,y,z轴，线段HA的长为单位长，立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0),B(0,1,0)（）设C(m,0,0),P(0,0,n)(m 0,n 0)则D(0,m,0),E(1,m2 2,0)可得

16、PE=(12,m2,n),BC=(m,1,0)因为PE BC mm220 0所以PE BC（）由已知条件可得设n n (x,y,x)为平面PEH的法向量则n nHE 01x3y0即n nHP 026z 0因此可以取n n (1,3,0)，由PA (1,0,1)，建（可得|cos|=2424所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为（19）【解析】（1）调查的500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500500(4027030160)2 9.967。（2）K 200300704302由于 99676635,所以有 99%的把握

17、认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好（20）【解析】（I）由椭圆定义知AF2 BF2 AB 4a，又2 AB AF2 BF2，得AB 4a3l的方程为y xc，其中c a2b2。y xc设Ax1,y1，Bx2,y2，则 A、B 两点坐标满足方程组x2y2221ab化简的a2b2x22a2cxa2c2b2 0a2c2b22a2c则x1

18、x22,x1x2a b2a2b2因为直线 AB 斜率为 1，所以AB 22 x2 x12x1 x24x1x244ab222,a 2b得a 2故23a bc所以 E 的离心率e aa2b22a2（II）设 AB 的中点为Nx0,y0，由（I）知x1 x2a2c2cx02 c，。y x c 002a b233由PA PB，得kPN 1，即y01 1x0得c 3，从而a 3 2,b 3x2y21。故椭圆 E 的方程为189（2121）解：）解：（1）a 0时，f(x)e 1 x，f(x)e 1当x(,0)时，f(x)0；当x(0,)时，f(x)0故f(x)在(,0)单调减少，在(0,)单调增加（II

19、）f(x)e 12ax由（I）知e 1 x，当且仅当x 0时等号成立故xxxxf(x)x2ax (12a)x，从而当12a 0，即a 1时，f(x)0(x 0)，而f(0)0，2于是当x 0时，f(x)0由e 1 x(x 0)可得exx1 x(x 0)从而当a 1时，2f(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，故当x(0,ln 2a)时，f(x)0，而f(0)0，于是当x(0,ln 2a)时，f(x)0综合得a的取值范围为(,12（2222）解：）解：（I）因为AC BC,所以BCD ABC又因为EC与圆相切于点C，故ACE ABC，所以ACE BCD（II）因为ECB CDB,

20、EBC BCD,所以BDCECB，故即BC BECD2BCCD，BEBC(23)【解析】（）当3时，C1的普通方程为y 3(x1)，C2的普通方程为13y 3(x1)CCx2 y21。联立方程组，解得1与2的交点为（1,0）。，2222x y 1（）C1的普通方程为xsin ycossin 0。A 点坐标为sin2cossin，故当变化时，P 点轨迹的参数方程为：12x sin12122为参数，P 点轨迹的普通方程为。(x)y 1416y sincos20，半径为故 P 点轨迹是圆心为，（24）【解析】（）由于f(x)141的圆。42x5，x 2则函数y f(x)的图像如图所示。2x3，x2（）由函数y f(x)与函数y ax的图像可知，当且仅当a 1或a 2时，函数2y f(x)与函数y ax的图像有交点。故不a的取值范围等式f(x)ax的解集非空时，2为，1，。2