江苏省南京市六校联考2016届高三数学上学期12月调研测试试题.doc

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1、-1-20162016 届高三南京市六校联考调研测试届高三南京市六校联考调研测试数数 学学 试试 卷（卷（）一、一、填空题（共填空题（共 1414 小题每小题小题每小题 5 5 分共计分共计 7070 分将正确答案填入分将正确答案填入答题纸的相应横线上答题纸的相应横线上）1 1设集合2,0,Mx，集合0,1N，若NM，则x.2 2已知复数z满足341i z（i为虚数单位），则z的模为.3.3.已知为实数，直线，则“”是“”的条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空）4.4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为.5.5.现有 5 道试题，其中甲类试题 2 道

2、，乙类试题 3 道，现从中随机取 2 道试题，则至少有 1道试题是乙类试题的概率为6.6.若实数,x y满足约束条件2211xyxyxy，则目标函数2zxy的最小值为7.7.已知等比数列na的前n项和为nS，若283652,62a aa a S，则1a的值是.8 8已知1,2ab，a与b的夹角为120，0abc，则a与c的夹角为0110PrintSFor I From ToSSIEnd ForS-2-9.9.已知1cos(75)3，则cos(302)的值为10.10.设椭圆22221xyab（0ab）的左右焦点分别为12FF、，左准线为l，P为椭圆上的一点，PQl于点Q，若四边形12PQFF为

3、平行四边形，则椭圆离心率的取值范围是.11.11.若xy、均为正实数，且24xy，则22221xyxy的最小值是12.12.在ABC中，已知2BC，1ABAC，则ABC面积的最大值是.13.13.已知圆22:4O xy，直线:40l xy，A为直线l上一点，若圆O上存在两点BC、，使得60BAC，则点A的横坐标的取值范围是.14.14.若函数223,1()32,1xaxf xxaxax恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是二、解答题二、解答题(本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分请在分请在答题纸答题纸指定区域内作答，指定区域内作答，解答时应写出文字说解答时应写出文字说-3-

4、明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤)1515（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知向量3(sin,),(cos,1)4axbx=-rr.（1 1）当/ab时，求tan()4x的值；（2 2）设函数()()2f xabb=+rrr，当0,2x时，求()f x的值域.16.16.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，,AC BD相交于点O，/EFAB，2ABEF，平面BCF平面ABCD，BFCF，点G为BC的中点（1 1）求证：直线/OG平面EFCD；（2 2）求证：直线AC平面ODE17.17.（本小题满分（本小题满分

5、 1515 分）分）如图，椭圆2222:1xyCab（0ab）的离心率2 23e，椭圆C的右焦点到右准线的距离为24，椭圆C的下顶点为D.（1 1）求椭圆C的方程；（2 2）若过D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点PM、.求证：直线PM经过一定点.18.18.（本小题满分（本小题满分 1515 分）分）如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区ABCD，其xyoDMP-4-中BMN是半径为 1 百米的扇形，23ABC 管理部门欲在该地从M到D修建小路：在MN上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ（1 1）设PBC，试用表示修建的小路MP与线段PQ及线段Q

6、D的总长度l；（2 2）求l的最小值1919.（本题满分本题满分 1616 分分）已知数列 na的前n项和为nS，且对一切正整数n都有212nnSna.（1 1）求证：142nnaan（*nN）；（2 2）求数列 na的通项公式；（3 3）是否存在实数a，使不等式21211123(1)(1)(1)221naaaaan对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。20.20.（本小题满分（本小题满分 1616 分）分）已知函数2()1xf xeaxbx，其中,a bR，e为自然对数的底数（1 1）若函数()f x在点(1,(1)f处的切线方程是11yex，求实数a及b的值

7、；（2 2）设()g x是函数()f x的导函数，求函数()g x在区间0,1上的最小值；（3 3）若(1)0f，函数()f x在区间0,1内有零点，求a的取值范围.20162016 届高三南京市六校联考调研测试届高三南京市六校联考调研测试PDQCNBAM（第第 1818 题题）-5-数数 学学 试试 卷（卷（）（加试题）（加试题）21.21.【选做题】本题包括【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题

8、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A A（选修（选修 4 41 1：几何证明选讲：几何证明选讲）（本小题满分（本小题满分 1010 分）分）如图，AB是O的一条切线，切点为B，直线ADECFDCGE、都是O的割线，已知.ACAB求证：/FGAC.B.B.（选修（选修 4 42 2：矩阵与变换：矩阵与变换）（本小题满分（本小题满分 1010 分）分）已知矩阵1101,20201AB，若矩阵AB对应的变换把直线:20l xy变为直线l，求直线l的方程C.C.（选修（选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程）（本小题满分（本小题满分 1010 分）分）在平面直角坐标系xoy中，圆C的

9、参数方程为2cos,2(2sin2xryr 为参数，0)r，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()14，若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值.D.D.（选修（选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲）（本小题满分（本小题满分 1010 分）分）已知实数,x y z满足2,xyz求22223xyz的最小值.【必做题】第【必做题】第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分，请在答题卡指定区域内作答，解答分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演

10、算步骤.22.22.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分）袋中装有围棋黑色和白色棋子共 7 枚，从中任取 2 枚棋子都是白色EGBADFOC第 21A 题图-6-的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子。甲先摸，乙后取，然后甲再取，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止.每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的。用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.（1 1）求随机变量X的概率分布列和数学期望()E X；（2 2）求甲取到白球的概率.23.23.（本小题满分（本小题满分 1010 分）分）设()f x是定义在 R R 上的函数，已知*nN，且00111222012()()(1

11、)()(1)()(1)nnnnnng xC fxxC fxxC fxxnnn0()(1)nnnnC fxxn.（1 1）若()1f x，求()g x；（2 2）若()f xx，求()g x.20162016 届高三南京市六校联考调研测试届高三南京市六校联考调研测试数学试卷（数学试卷（）参考答案及评分标准）参考答案及评分标准-7-O为BD的中点/OGDC/OG平面EFCD.3 分7 分1 1、1；2 2、15；3 3、充分不必要；4 4、55；5 5、910；6 6、1；7 7、2；8 8、2；9 9、79；1010、1(,1)2；1111、2；1212、2；1313、0,4；1414、1,1)

12、3,)2a.15.15.解：（解：（1 1）3(sin,),(cos,1)4axbx=-rr，/ab，3sincos04xx，3tan4x ，3 分31tan14tan()7341tan14xxx.6 分（2 2）方法）方法 1 1，223()2()222sin cos2cos22f xabba bbxxx8 分33sin2cos22sin(2)242xxx.10 分0,2x，52444x，2sin(2)124x12 分13()222f x，即函数()f x的值域为1 3,22 2.14 分方法方法 2 2，31(sin,)(cos,1)(sincos,)44abxxxx+=+-=+-rr，2

13、11()2()2(sincos,)(cos,1)2sin cos2cos42f xabbxxxxxx8 分33sin2cos22sin(2)242xxx.10 分0,2x，52444x，2sin(2)124x12 分13()222f x，即函数()f x的值域为1 3,22 2.14 分16.16.解：方法解：方法 1 1，（1 1）证明：）证明：四边形ABCD是菱形ACBDO-8-又 点G为BC的中点又OG 平面EFCDEF 平面EFCD（2 2）证明：）证明：=BFCFFGBCGBCFGABCDFGBFCFGACBFCABCDBFCABCD BCACABCD为的中点平面又平面平面平面平面平

14、面又平面.OG、分别为CACB、的中点/OGAB且2ABOG又/EFAB且2ABEF四边形OGEF是平行四边形/EOFG又FGAC四边形ABCD是菱形ACBD，即ACDO又EODOO14 分方法方法,2,2，证明证明：（1 1）四边形ABCD是菱形，ACBDO，点O是BD的中点，点G为BC的中点/OGCD，3 分又OG 平面EFCD，CD 平面EFCD，直线/OG平面EFCD7 分（2 2）BFCF，点G为BC的中点，FGBC.平面BCF平面ABCD，平面BCF平面ABCDBC，FG 平面BCF，FGBCFG 平面ABCD，9 分AC 平面ABCD，FGAC，1/,2OGAB OGAB，1/,

15、2EFAB EFAB，/,OGEF OGEF，四边形EFGO为平行四边形,/FGEO，11 分FGAC，/FGEO，ACEO，四边形ABCD是菱形，ACDO，ACEO，ACDO，EODOO，EODO、在平面ODE内，AC 平面ODE14 分17.17.解解：（1 1）依题意知2 23cea，则2289ca，2 分又224acc，且222abc，1b，则3a，方程为2219xy.5 分/EFOG且EFOG.ACEO AC平面ODE.9 分10 分11 分-9-（2 2）方法）方法 1 1，由题意知直线PDMD、的斜率存在且不为 0，设直线PD的斜率为k，则PD：1ykx，由221,1,9ykxx

16、y得2221891(,)91 91kkPkk，7 分用1k去代k，得222189(,)99kkMkk，9 分22222229191919181810919PMkkkkkkkkkkk，11 分PM：22229118()9109kkkyxkkk，12 分即214105kyxk，14 分直线PM经过定点4(0,)5T15 分方法方法 2 2，由题意知直线,PD MD的斜率存在且不为 0，设直线PD的斜率为k，则PD：1ykx，由221,1,9ykxxy得2221891(,)91 91kkPkk，7 分用1k去代k，得222189(,)99kkMkk，9 分作直线l关于y轴的对称直线l，此时得到的点P

17、、M关于y轴对称，则PM与P M相交于y轴，可知定点在y轴上，当1k 时，9 4(,)5 5P，9 4(,)5 5M，此时直线PM经过y轴上的点4(0,)5T，10 分22229141915,181091PTkkkkkkk12 分222294195,18109MTkkkkkkk14 分PTMTkk，PMT、三点共线，即直线PM经过点T，故直线PM经过定点4(0,)5T15 分18.18.解解：（1 1）连接BP，过P作1PPBC垂足为1P，过Q作1QQBC垂足为1Q，依题意知：PBN203，23MP2 分xyoDMP-10-若20，在1Rt PBP中，11sincosPPBP，若，322则,c

18、os)cos(,sin11BPPP32cossin3PQ4 分（注：未讨论（注：未讨论的范围扣的范围扣 1 1 分分.）在1Rt CBQ中，11132 3sin,Csin,sin,33QQPPQCQ2 32sin.3DQ6 分总路径长l 22()4cos3sin(0),33f8 分2()sin3cos12sin()1(0),33f 10 分令 0f，得2，方法方法 1 1，列表验证如下：(0,)222(,)23()f0()f极小值436依表格知：当2时，()f最小，min()436f.14 分答：当BPBC时，总路径长l的最小值为436.15 分方法方法 2 2，当02时，0f，()f在(0,

19、)2内单调递减；当223时，0f，()f在(0,)2内单调递增.当2时，()f最小，min()436f.14 分（注：此处若未强调函数（注：此处若未强调函数()f的单调性，只是由的单调性，只是由 00ff、就下结论，扣就下结论，扣 1 1 分分.）答：当BPBC时，总路径长l的最小值为436.15 分19.19.解解：（1 1）证明：212nnSna（*nN）2111(1)2nnSna（nN）由得221111(1)()22nnnnSSnana1112122nnnaa（*nN），PDQCNBAM（第第 1818 题题）1P1Q-11-142nnaan（*nN）.4 分（2 2）解：方法）解：方法

20、 1 1，142nnaan（*nN）2146nnaan（nN），得24.nnaa（*nN）6 分从而 数列na的奇数项依次成等差数列，且首项为12a，公差为 4；数列na的偶数项也依次成等差数列，且首项为2a，公差为 4.在中令1n 得211112Sa，又11Sa，111112.2aaa 在中令1n 得2242a，24.a 7 分当21nk（*kN）时，12nk，2114(1)422nkaaakkn；8 分当2nk（*kN）时，2nk，224(1)42nkaaakkn；9 分综上所述，2nan（*nN）.10 分方法方法 2 2，由式知，1(22)(2)nnanan（*nN），7 分记2nnb

21、an（*nN），则1.nnbb（*nN），在中令1n 得211112Sa，又11Sa，111112.2aaa 从而122 10b ，0nb（*nN）即2nan（*nN）.10 分（3 3）解：）解：令12111()(1)(1)(1)21nf nnaaa（*nN），则()0f n 且1(1)123(1)()21nf nnf nan(21)23(22)21nnnn224831484nnnn12 分（或或(1)()f nf n121121111111(1)(1)(1)(1)23(1)(1)(1)21nnnnnaaaaaaa22111121(1)(1)(1)(1)(483484)0246222nnnn

22、nnn12 分）(1)()f nf n，()f n单调递减，max3()(1)2f nf.13 分不等式21211123(1)(1)(1)221naaaaan对一切正整数n都成立等价于3()2f naa对一切正整数n都成立等价于max3()2f naa，即33.22aa14 分223302aaa，即(3)(23)0aaa，解之得33,0.2aa或综上所述，存在实数a适合题意，a的取值范围是3(,0)(3,).216 分20.20.解解：（1 1）由2()1xf xeaxbx得()2xfxeaxb，1 分 11feab，12feab，.2 分函数()f x在点(1,(1)f处的切线方程是11ye

23、x，-12-11 121eabeeabe 即121abab0.1ab3 分（2 2）由2()1xf xeaxbx得()2xfxeaxb，()()2xg xfxeaxb，()2xg xea.方法方法 1 1，（）当20a 即0a 时，()20 xg xea对一切0,1x恒成立，()g x在0,1内单调递增，()g x在0,1上的最小值是(0)1gb；4 分（）当20a 即0a 时，令()0g x，得ln(2)xa，从而有 当ln(2)0a 即102a时，列表如下：x0(0,1)1()g x()g x1b2eab依表格知()g x在0,1上的最小值是(0)1gb；5 分 当0ln(2)1a即122

24、ea时，列表如下：x0(0,ln(2)aln(2)a(ln(2),1)a1()g x0()g x1b22 ln(2)aaab2eab依表格知()g x在0,1上的最小值是(ln(2)22 ln(2)gaaaab；7 分 当ln(2)1a 即2ea 时，列表如下：x0(0,1)1()g x()g x1b2eab依表格知()g x在0,1上的最小值是(1)2geab.8 分综上所述：当12a 时，()g x在0,1上的最小值是(0)1gb；当122ea时，()g x在0,1上的最小值是(ln(2)22 ln(2)gaaaab；当2ea 时，()g x在0,1上的最小值是(1)2geab.9 分方法

25、方法 2 2，当0,1x时，()12,2 g xa ea4 分 当12a 时，()0g x，且()g x不是常数函数，所以()g x在0,1上单调递增，因此()g x在0,1上的最小值是(0)1gb；5 分 当2ea 时，()0g x，且()g x不是常数函数，所以()g x在0,1上单调递减，因此()g x在0,1上的最小值是(1)2geab；6 分 当122ea时，令()0g x，得ln(2)(0,1)xa，且当0,ln(2)xa时，()0g x，当(ln(2),1xa时，()0g x所以函数()g x在区间0,ln(2)a上单调递减，在区间(ln(2),1a上单调递增，于是()g x在0

26、,1上的最小值是(ln(2)22 ln(2)gaaaab.8 分-13-综上所述：当12a 时，()g x在0,1上的最小值是(0)1gb；当122ea时，()g x在0,1上的最小值是(ln(2)22 ln(2)gaaaab；当2ea 时，()g x在0,1上的最小值是(1)2geab.9 分（3 3）2()1xf xeaxbx，()()2xg xfxeaxb，由(1)0101feabbea，()21xg xeaxea，又(0)0f.若函数()f x在区间(0,1)内有零点，设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0ff x可知，()f x在区间0(0,)x内不可能单调

27、递增，也不可能单调递减则()g x在区间0(0,)x内不可能恒为正，也不可能恒为负故()g x在区间0(0,)x内存在零点1x.同理()g x在区间0(,1)x内存在零点2x.故函数()f x在区间(0,1)内至少有三个单调区间，g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点10 分由（2）知当12a 或2ea 时，函数()g x即()fx在区间0,1内单调，不可能满足“函数()f x在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.11 分若122ea，此时()g x在区间(0,ln(2)a内单调递减，在区间(ln(2),1)a内单调递增因此1(0,ln(2)xa，2(ln(2),1)xa，又min

28、()(ln(2)22 ln(2)132 ln(2)1g xgaaaaeaaaae，令()32 ln(2)1h xxxxe（122ex），则1()32ln(2)2212ln(2)2h xxxxx，令()0h x得2ex，列表如下：x1(,)22e2e(,)22e e()h x0()h x1ee依表格知：当122ex时，max()10h xee，min()32 ln(2)10g xaaae 恒成立，14 分于是，函数()f x在区间(0,1)内至少有三个单调区间122(0)0(1)0eagg即1222010eaeaa 21ea.综上所述：a的取值范围为(2,1).e16 分20162016 届高三

29、南京市六校联考调研测试届高三南京市六校联考调研测试数学试卷（数学试卷（）参考答案及评分标准）参考答案及评分标准-14-21A21A 证明证明：AB为切线，AE为割线，2ABAD AE，又ACAB，2AD AEAC4 分ADACACAE，又EACCAD，ADCACE，ADCACE，又ADCEGF，EGFACE，GFAC 10 分21B21B 解：解：1101,20201AB，111011=22020102AB.4 分在直线l上任取一点(,)P x y，它是由l上的点000(,)P xy经矩阵AB所对应的变换所得，则一方面，点000(,)P xy在直线:20l xy上，0020 xy.00 xxA

30、Byy ，即0011202xxyy ，000122xyxyy，7 分001412xxyyy将代入得112042xyy，即480 xy，直线l的方程为480 xy.10 分21C21C 解：解：圆C的参数方程为2cos,2(2sin2xryr 为参数，0)r，消去参数得22222022xyrr，所以圆心22,22C，半径为r.3 分直线l的极坐标方程为sin()14，化为普通方程为20 xy.6 分圆心22,22C到直线20 xy的距离为2222222d，8 分圆C上的点到直线l的最大距离为 3，即3dr，3321rd10 分21D21D 解：解：由柯西不等式得222222211()(2)(3)

31、()()123xyzxyz，5 分EGBADFOC第 21A 题图-15-因为2xyz+，所以222242311xyz，当且仅当2311123xyz，即6412,111111xyz时，等号成立，所以22223xyz的最小值为241110 分22.22.解：解：设袋中白球共有x个，*xN，则依题意知：22717xCC，(1)12 17672 1x x，即260 xx，解之得3x（2x 舍去）.1 分（1 1）袋中的 7 枚棋子 3 白 4 黑，随机变量X的所有可能取值是 1，2，3，4，5.13173(1)7AP xA，1143272(2)7A AP xA，2143376(3)35A AP xA

32、，3143473(4)35A AP xA，4143571(5)35A AP xA.5 分（注：此段（注：此段 4 4 分的分配是每错分的分配是每错 1 1 个扣个扣 1 1 分，错到分，错到 4 4 个即不得分个即不得分.）随机变量X的概率分布列为：X12345P3727635335135所以32631()12345277353535E x .6 分（2 2）记事件A“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：1A“甲第 1 次取球时取出白球”；2A“甲第 1 次取球时取出白球”；3A“甲第 1 次取球时取出白球”.依题意知：131173()7AP AA，21432376()35A AP A

33、A，41433571()35A AP AA，9 分（注：此段（注：此段 3 3 分的分配是每错分的分配是每错 1 1 个扣个扣 1 1 分，错到分，错到 3 3 个即不得分个即不得分.）所以，甲取到白球的概率为12312336122()()()()()7353535P AP AAAP AP AP A.10 分23.23.解解：（1 1）()1f x，所以01()()()1nfffnnn，1 分-16-001112220()(1)(1)(1)(1)nnnnnnnnng xC xxC xxC xxC xx(1)1nxx.00无意义，()1g x，且0 x，1x，xR.4 分（注：不写（注：不写x的

34、取值范围不扣分的取值范围不扣分.）（2 2）11!(1)!()!(1)!(1)!(1)(1)!rrnnnnnrCrnnCr nrrnrnr，其中1,2,rn.11rrnnrCnC（1,2,rn）.6 分又()f xx，00111222012()0(1)(1)(1)(1)nnnnnnnnnng xCxxCxxCxxCxxnnn 11122201(1)2(1)(1)(1)nnrrn rnnnnnnC xxC xxrC xxnC xxn.01112211011111(1)(1)(1)(1)nnrrn rnnnnnnn CxxCxxCxxCxxn8 分00111211(1)(1)1101111(1)(1)(1)(1)nnrrnrnnnnnnx CxxCxxCxxCxx1(1)nxxxx.即().g xx且0 x，1x，xR.10 分（注：不写（注：不写x的取值范围不扣分的取值范围不扣分.）