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1、初中数学竞赛专题选讲非负数初中数学竞赛专题选讲非负数一、内容提要一、内容提要1.非负数的意义:在实数集合里,正数和零称为非负数.a 是非负数,可记作 a0,读作 a 大于或等于零,即 a 不小于零.2.初中学过的几种非负数:实数的绝对值是非负数.若 a 是实数,则a0.实数的偶数次幂是非负数.若 a 是实数,则 a2n0(n 是正整数).算术平方根是非负数,且被开方数也是非负数.若a是二次根式,则a0,a0.一元二次方程有实数根时,根的判别式是非负数,反过来也成立.若二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根,则 b24ac0.若 b24ac0(a0),则二次方程 ax2+bx+c=0
2、 有两个实数根.数轴上,原点和它的右边所表示的数是非负数,几何中的距离,图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3.非负数的性质:非负数集合里,有一个最小值,它就是零.例如:a2有最小值 0(当 a=0 时),1x也有最小值 0(当 x=1 时).如果一个数和它的相反数都是非负数,则这个数就是零.若 a0 且a 0,则 a=0;如果 ab0 且 ba0,那么 ab=0.有限个非负数的和或积仍是非负数.例如:若 a,b,x 都是实数数,则 a2+b20,ab0,a2x0.若几个非负数的和等于零,则每一个非负数也都只能是零.例如若1a(b3)2+12 c=0那么0120)3(012cba即01
3、20301cba5.031cba.二、例题二、例题例 1.求证:方程 x4+3x2+2x+6=0 没有实数根证明:把方程左边分组配方,得(x4+2x2+1)+(x2+2x+1)+4=0即(x2+1)2+(x+1)2=4(x2+1)20,(x+1)20,(x2+1)2+(x+1)20.但右边是4.不论 x 取什么实数值,等式都不能成立.方程 x4+3x2+2x+6=0 没有实数根.例 2.a 取什么值时,根式)1)(2()1)(2(aaaa有意义?解:二次根式的被开方数(a2)()1a与(a2)(1)a都是非负数,且(a2)()1a与(a2)(1)a是互为相反数,(a2)()1a0.(非负数性质
4、 2)a2=0;或1a=0.a1=2,a2=1,a3=1.答:当 a=2 或 a=1 或 a=1 时,原二次根式有意义.例 3.要使等式(231x)2+48162xxx0 成立,x 的值是.(19911991 年泉州市初二数学双基赛题)年泉州市初二数学双基赛题)解:要使原等式成立(231x)20,48162xxx0.48162xxx44xx1,(x40)(231x)21,且 x40.即041)3122xx(解得493xxx或x=3.答:x 的值是 3.例 4.当 a,b 取什么实数时,方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根?(19871987 年全国初中数学联
5、赛题)年全国初中数学联赛题)解:当0 时,方程有实数根.解如下不等式:2(1a)24(3a2+4ab+4b2+2)08a216ab16b2+8a40,2a2+4ab+4b22a+10,(a+2b)2+(a1)20(a+2b)20 且(a1)20,得(a+2b)2+(a1)20只有当(a+2b)20 且(a1)20不等式和才能同时成立.答:当 a=1 且 b=21时,方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根.三、练习三、练习1.1.已知在实数集合里xx33有意义,则x=_.2.2.要使不等式(a+1)20 成立,实数 a=_.3.3.已知1212bba0,则a=,
6、b=,a100b101=_.4.4.把根号外因式移到根号里:aa=,bb=,cc1=.5.如果 ab,那么)()(3bxax等于()(A)(x+a))(bxax.(B)(x+a))(bxax.(C)(x+a))(bxax.(D)(x+a))(bxax.(19861986 年全国初中数学联赛题)年全国初中数学联赛题)6.已知 a 是实数且使 aa=x,则 x=.(1990(1990 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题)7.已知 a,b 是实数且 a2111bb.化简1214422abbaaba后的值是.(1990(1990 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题)8.当
7、x=时,3(x2)有最大值.(19861986 年泉州市初二数学双基赛题)年泉州市初二数学双基赛题)9.已知:,141ca且a1,4c都是整数.求 a,c 的值.(19891989 年全国初中数学联赛题)年全国初中数学联赛题)10.求方程 x2+y2+x2y2+6xy+4=0 的实数解.11.求适合不等式 2x2+4xy+4y24x+40 的未知数 x 的值.12.求证:不论 k 取什么实数值,方程 x2+(2k+1)xk2+k=0 都有不相等的实数解.13.比较 a2+b2+c2与 ab+bc+ca 的大小.14.已知方程组azxyaxzyzxyzyx112的解 x,y,z 都是非负数.求 a 的值.练习题参考答案练习题参考答案1.32.13.1,1,14.3a,3b,c5.C6.0。因为左边a0,右边x0。7.a。b=1,a218.x=2,最大值39.0,141,01ca.4,2;4,05,1cacaca;10.222,2yxyx;1112yx12.8k2+1 13.用求差法,配方(乘上 20.5)14.a411
限制150内