江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编 专题11 四边形问题.doc

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1、专题11：四边形问题1. （2015年江苏连云港3分）已知四边形ABCD，下列说法正确的是【 】A. 当AD=BC，ABDC时，四边形ABCD是平行四边形 B. 当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形 C. 当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形 D. 当AC=BD，ACBD时，四边形ABCD是正方形【答案】B【考点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，A不正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B正确；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，C不正确；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D不正确.故选B2

2、. （2015年江苏连云港3分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为【 】A. B. C. D. 【答案】 C【考点】菱形的性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】根据点A的坐标以及勾股定理、菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值：如答图，过点作于点，A的坐标为，.在中，根据勾股定理，得.菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的负半轴上，点B的坐标为.函数的图象经过顶点B，.故选C3. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与O相切于E、F、

3、G三点，过点D作O的切线交BC于点M，则DM的长为【 】A. B. C. D. 【答案】A.【考点】矩形的性质；切线的性质；正方形的判定和性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接，则根据矩形和切线的性质知，四边形都是正方形.AB=4，.AD=5，.设GM=NM=x，则.在中，由勾股定理得：，即，解得，.故选A.4. （2015年江苏徐州3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于【 】A. B. C. D. 【答案】A.【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上中线的性质. 【分析】四边形ABCD是菱形，且周长为28，

4、.E为AD边中点，根据直角三角形斜边上中线等于斜边 一半的性质，得.故选A.5. （2015年江苏常州2分）如图，的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是【 】A. B. C. D. 【答案】C【考点】平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质进行判断：平行四边形的对角线不一定相等，A错误；平行四边形的对角线不一定互相垂直，B错误；平行四边形的对角线互相平分，C正确；平行四边形的对角线与边不一定垂直，D错误故选C1. （2015年江苏苏州3分）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4设AB=x，AD=y，则的值

5、为 【答案】16.【考点】代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理. 【分析】四边形ABCD为矩形，AB=x，AD=y，DC=x，BC=y.在中，点F是斜边BE的中点，DF=4，BF= DF=4.在中，即.2. （2015年江苏泰州3分）如图， 矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将ABP 沿BP翻折至EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 2-1-07【答案】.【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用. 【分析】如答图，四边形是矩形，.根据折叠对称的性质，得，.在和中，.

6、.设，则，.在中，根据勾股定理，得，即.解得.AP的长为.3. （2015年江苏无锡2分）如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 cm【答案】16【考点】矩形的性质；菱形的判定和性质；三角形中位线定理.【分析】如答图，连接，四边形ABCD是矩形，AC=BD=8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，.四边形EFGH的周长等于.4. （2015年江苏徐州3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 【答案

7、】.【考点】探索规律题（图形的变化类）；正方形的性质. 【分析】根据正方形的性质，知：第一个正方形ABCD的边长为，第二个正方形ACEF的边长为，第三个正方形AEGH的边长为，第四个正方形的边长为，第个正方形的边长为.5. （2015年江苏盐城3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 【答案】.【考点】矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系；分类思想的应用.【分析】如答图，连接， AB=4，AD=3，根据勾股定理，得BD=5.，当时，点A、B、C中至少有一个点在圆内，

8、且至少有一个点在圆外.r的取值范围是.6. （2015年江苏盐城3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则弧BE的长度为 【答案】.【考点】矩形的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；弧长的计算.【分析】如答图，连接，根据题意，知AE= AB=4，在中，AE=4，AD=2，.7. （2015年江苏南通3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BFAC，垂足为E，CEF的面积为S1，AEB的面积为S2，则的值等于 【答案】.【考点】矩形的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质【分析】，设AD=BC=a，则AB=CD=2a. .BF

9、AC，CBECAB，AEBABC. .CEFAEB，.8. （2015年江苏镇江2分）如图，中，E为AD的中点，BE，CD的延长线相交于点F，若DEF的面积为1，则的面积等于 【答案】4【考点】平行四边形的性质；全等、相似三角形的判定和性质【分析】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，AD=BC.ABCD，A=EDF.又AE=DE，AEB=DEF，ABEDFE（SAS）.FD=AB=DC，.ADBC，FBCFED. .， .9. （2015年江苏镇江2分）如图，ABC和DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm，BC=2cm，将DBC沿射线BC平移一定的距离得到D1B1C

10、1，连接AC1，BD1如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为 cm【答案】7【考点】面动平移问题；相似三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质【分析】如答图，过点A作AEBC于点E，AEB=AEC1=90，BAE+ABC=90.AB=AC，BC=2，BE=CE=BC=1，四边形ABD1C1是矩形，BAC1=90.ABC+AC1B=90. BAE=AC1B.ABEC1BA. .AB=3，BE=1，.BC1=9.CC1=BC1BC=92=7，即平移的距离为71. （2015年江苏连云港10分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交A

11、B于点E(1）求证；EDB=EBD；(2）判断AF与DB是否平行，并说明理由【答案】解：（1）证明：由折叠可知：CDB=EDB，四边形ABCD是平行四边形，DCAB. CDB=EBD.EDB=EBD.（2）AFDB. 理由如下：EDB=EBD，DE=BE.由折叠可知：DC=DF，四边形ABCD是平行四边形，DC=AB. DF=AB.AE=EF. EAF=EFA.在BED中，EDB+EBD+DEB=180，2EDB+DEB=180.同理，在AEF中，2EFA+AEF=180.DEB=AEF，EDB=EFA. AFDB【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质；平行的判定和性质；三角形内角和定

12、理；等腰三角形的判定和性质【分析】（1）一言面，由折叠可得CDB=EDB，另一方面，由四边形ABCD是平行四边形可得DCAB，从而得到CDB=EBD，进而得出结论.（2）可判定AFDB，首先证明AE=EF，得出AFE=EAF，然后根据三角形内角和定理与等式性质可证明BDE=AFE，从而得出AFBD的结论.2. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上（1）小明发现DGBE，请你帮他说明理由（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好

13、落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，将线段DG与线段BE相交，交点为H，写出GHE与BHD面积之和的最大值，并简要说明理由【答案】解：（1）四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，AD=AB，DAG=BAE=90，AG=AE，ADGABE（SAS）.AGD=AEB.如答图1，延长EB交DG于点H，在ADG中，AGD+ADG=90，AEB+ADG=90.在EDH中，AEB+ADG+DHE=180，DHE=90. DGBE.（2）四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，AD=AB，DAB=GAE=90，AG=AE，DAB+BAG=G

14、AE+BAG，即DAG=BAE，ADGABE（SAS）.DG=BE.如答图2，过点A作AMDG交DG于点M，则AMD=AMG=90，BD为正方形ABCD的对角线，MDA=45.在RtAMD中，MDA=45，AD=2，.在RtAMG中，根据勾股定理得：，.（3）GHE和BHD面积之和的最大值为6，理由如下：对于EGH，点H在以EG为直径的圆上，当点H与点A重合时，EGH的高最大；对于BDH，点H在以BD为直径的圆上，当点H与点A重合时，BDH的高最大.GHE和BHD面积之和的最大值为2+4=6【考点】面动旋转问题；正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股

15、定理；数形结合思想的应用【分析】（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到ADGABE，利用全等三角形对应角相等得AGD=AEB，作辅助线“延长EB交DG于点H”，利用等角的余角相等得到DHE=90，从而利用垂直的定义即可得DGBE.（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到ADGABE，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，作辅助线“过点A作AMDG交DG于点M”，则AMD=AMG=90，在RtAMD中，根据等腰直角三角形的性质求出AM的长，即为DM的长，根据勾股

16、定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长.（3）GHE和BHD面积之和的最大值为6，理由为：对两个三角形，点H分别在以EG为直径的圆上和以BD为直径的圆上，当点H与点A重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值3. （2015年江苏南京8分）如图，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，AFE、CFE的平分线交于点G，BEF、DFE的平分线交于点H（1）求证：四边形EGFH是矩形（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MNEF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQEF，分别交AB、CD交于点P、Q，得到四边形MNQP此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列图中补

17、全他的证明思路【答案】解：（1）证明：EH平分BEF，FH平分DFE，ABCD， 又，同理可证，EG平分AEF，EH平分BEF，点A、E、B在同一条直线上，AEB=180，即AEF+BEF=180，即 GEH=90四边形EGFH是矩形（2）FG平分CFE；GE=FH；GME=HQH；GEF=EFH【考点】阅读理解型问题；角平分线的定义；平行线的性质；矩形的判定；全等三角形的判定和性质；菱形的判定 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质，证明，和GEH=90即可证明结论（2）结合全等三角形的判定和性质，根据菱形的判定找出相应的思路4. （2015年江苏泰州12分）如图，正方形ABCD的边

18、长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的动点，且AE=BF=CG=DH.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值.【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，.，.四边形EFGH是菱形.，.四边形EFGH是正方形.（2）直线EG经过定点-正方形ABCD的中心. 理由如下：如答图，连接，、相交于点，四边形ABCD是正方形，ABDC.，四边形BGDE是平行四边形.，即点是正方形ABCD的中心.直线EG经过定点-正方形ABCD的中心.（3）设，则，当时，四边形EFGH面积的最小值为32.【考点】单动

19、点和定值问题；正方形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质；勾股定理；二次函数的应用（实际问题）.【分析】（1）由证明，即可证明四边形EFGH是一个角是直角的菱形-正方形.（2）作辅助线“连接，、相交于点”构成平行四边形BGDE，根据平行四边形对角线互分的性质即可证明直线EG经过定点-正方形ABCD的中心.（3）设，根据正方形的性质和勾股定理得到关于的二次函数，应用二次函数最值原理求解即可.5. （2015年江苏徐州8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，A=D，AB=DC（1）求证：四边形DFCE是平行四边形；（2）若AD

20、=10，EC=3，EBD=60，则AB= 时，四边形BFCE是菱形【答案】解：（1）AE=DF，A=D，AB=DC，.四边形DFCE是平行四边形.（2）3.5. 【考点】全等三角形的判定和性质；平行的判定；平行四边形的判定；菱形的性质；等边三角形的判定和性质.【分析】（1）由已知，根据证明，从而得到，根据等角的补角相等得到，根据内错角相等两直线平行的判定得到，进而根据一组对边平行且相等垢四边形是平行四边形的判定而得证.（2）若四边形BFCE是菱形，则，EBD=60，是等边三角形.EC=3，.AD=10，AB=DC，.6. （2015年江苏盐城10分）如图，把EFP按图所示的方式放置在菱形ABC

21、D中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上.已知EP=FP=4，EF=，BAD=60，且AB.（1）求EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.【答案】解：（1）如答图1，过点作于点，EP=FP=4，EF=，.在中，.（2）如答图2，过点作于点，过点作于点，在菱形ABCD中，.根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，得.在和中，.在菱形ABCD中，BAD=60，.在中，.同理，.（3）AP长的最大值是8，最小值是4.【考点】多动点问题；菱形的性质；全等三角形的判定和性质；

22、锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；数形结合思想的应用.【分析】（1）作辅助线“过点作于点”，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，在中，根据正弦函数定义和60的三角函数值求得，进而求得.（2）作辅助线“过点作于点，过点作于点”，构成一对全等三角形，得到，在和中，分别求得，从而根据求解即可.（3）如答图3，当，点P在的右侧时，有最大值，当，点P在的左侧时，有最小值.设与相交于点，EP=FP，.，.，.同理，.AP长的最大值是8，最小值是4.7. （2015年江苏扬州10分）如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）

23、若BE平分ABC，求证：.【答案】证明：（1）如答图，将沿过点A的直线折叠，.四边形是平行四边形，. . .，. 四边形是平行四边形.（2）如答图，BE平分ABC，.四边形是平行四边形，. .由（1），即.在中，由勾股定理，得.【考点】折叠问题；折叠对称的性质；平行四边形的判定和性质；平行的性质；等腰三角形的判定；三角形内角和定理；勾股定理.【分析】（1）要证四边形是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，一方面，由四边形是平行四边形可有；另一方面，由折叠对称的性质、平行的内错角相等性质、等腰三角形的等角对等边的性质可得，从而得证.（2）要证，根据勾股定理，只要的即可，而

24、要证，一方面，由BE平分ABC可得（如答图，下同）；另一方面，由可得，从而得到，结合（1）即可根据三角形内角和定理得到，进而得证.8. （2015年江苏常州8分）如图，在中，BCD=120，分别延长DC、BC到点E，F，使得BCE和CDF都是正三角形（1）求证：AE=AF；（2）求EAF的度数【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BAD=BCD=120，ABC=ADC，AB=CD，BC=AD.BCE和CDF都是正三角形，BE=BC，DF=CD，EBC=CDF=60.ABE=FDA，AB=DF，BE=AD.在ABE和FDA中，ABEFDA（SAS）.AE=AF.（2）ABEFDA，

25、AEB=FAD.ABE=60+60=120，AEB+BAE=60.FAD+BAE=60，EAF=12060=60【考点】全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质【分析】（1）由平行四边形的性质得出BAD=BCD=120，ABC=ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，EBC=CDF=60，从而证出ABE=FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明ABEFDA，得出对应边相等即可.（2）由全等三角形的性质得出AEB=FAD，求出AEB+BAE=60，得出FAD+BAE=60，即可得出EAF的度数9. （2015年江苏淮安8分）已知：如图

26、，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，且AEDF，求证：BFCE.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，.又AEDF，AFDE.BFCE.【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质. 【分析】要证BFCE，只要证它们是全等三角形的对应边即可. 考察和，一方面，由矩形的性质可得；另一方面，由已知AEDF，根据等量加等量和相等得 AFDE，从而应用即可证明.10. （2015年江苏南通8分）如图，在中，点E，F分别在AB，DC上，且EDDB，FBBD（1）求证：AEDCFB；（2）若A=30，DEB=45，求证：DA=DF【答案】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AD=CB，A=C，ADCB

27、. ADB=CBD.EDDB，FBBD，EDB=FBD=90.ADE=CBF.在AED和CFB中，AEDCFB（ASA）.（2）如答图，过点D作DHAB，垂足为H，在RtADH中，A=30，DA=2DH.在RtDEB中，DEB=45，EB=2DH.DA= EB.AEDCFB，AE=CF.AB=DC，EB=DF.DA=DF【考点】平行四边形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；含30度角的直角三角形的性质；等腰直角三角形的性质【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得

28、证.（2）作辅助线“过点D作DHAB，垂足为H”，一方面，在RtADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD=2DH，在RtDEB中，利用等腰直角三角形的性质得到EB=2DH，从而得到DA= EB；另一方面，由AEDCFB得到AE=CF，由四边形ABCD是平行四边形得到AB=DC，从而证得EB=DF，进而等量代换即可得证11. （2015年江苏宿迁8分）如图，四边形ABCD中，A=ABC=90，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积【答案】解：（1）证明：A

29、=ABC=90，BCAD. CBE=DFE.在BEC与FED中，BECFED（AAS）.BE=FE.又E是边CD的中点，CE=DE.四边形BDFC是平行四边形.（2）分三种情况讨论：BC=BD=3时，由勾股定理得，.BC=CD=3时，如答图，过点C作CGAF于G，则四边形AGCB是矩形，AG=BC=3，DG=AGAD=31=2.由勾股定理得，.BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=2，矛盾，此时不成立即.综上所述，若BCD是等腰三角形，四边形BDFC的面积是或【考点】平行四边形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；勾股定理；分类思想的应用【分析】（

30、1）应用“角角边”证明BEC和FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.（2）分BC=BD，BC=CD，BD=CD三种情况讨论即可.12. （2015年江苏镇江6分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点（1）求证：BAEBCF；（2）若ABC=50，则当EBA= 时，四边形BFDE是正方形【答案】解：（1）证明：菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=BC，BAC=BCA.BAE=BCF，在BAE与BCF中，BAEBCF（SAS）.（2）20【考点】菱形的性质；全等三角形的判定和性质；正方形的判定【分析】（1）由题意易证BAE=BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是由SAS可证BAEBCF.（2）四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要EBF=90即得四边形BFDE是正方形.BAEBCF，EBA=FBC.又ABC=50，EBA+FBC=40. EBA=40=2021