【名师伴你行】（新课标）2016高考数学大一轮复习 解答题专题突破（五）圆锥曲线的热点问题课时作业 理.doc

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1、课时作业(五十七)高考解答题专题突破(五)圆锥曲线的热点问题1(2015烟台模拟)已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0)，C1的中心点和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点(1)如图所示，若，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值解：(1)由题知抛物线方程为y24x.设直线l方程为xmy4，A，B，因为，所以y1y2，联立得y24my160，则有解得y12，y28，m，所以直线l的方程为2x3y80.(2)设P(4t2,4t)，则OP的中点(2t2,2t)在直

2、线l上，解得m1，t1)，由椭圆与直线方程联立，得(2a21)y28(a21)ya417a21608(a21)24(2a21)(17a216a4)0，a，长轴长最小值为.2(2015潍坊模拟)如图，椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，点P为上顶点，圆O：x2y2b2将椭圆C的长轴三等分，直线l：ymx(m0)与椭圆C交于A，B两点，PA，PB与圆O交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)求证：APB为直角三角形；(3)设直线MN的斜率为n，求证：为定值解：(1)由题知2b2，b1.圆O将椭圆C的长轴三等分，2b2a，a3b3，椭圆C的方程为y21.(2)证明：由消去y，得(19m2)x2mx0

3、.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，又P(0,1)，(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2x1x2m2x1x2m(x1x2)(1m2)m0.PAPB，则PAB为直角三角形(3)证明：由(2)知PAPB，由题意知直线PA，PB的斜率存在且不为0，设直线PA的斜率为k(k0)，则PA：ykx1，由得或A，又直线l过点，则m.由得或M.又PMPN，MN为O的直径，MN过原点O，nkOM，又m0，k210，n0，(定值)3(2015淄博模拟)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2，且过点，右焦点为F2，如图所示设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点

4、M的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围解：(1)因为焦距为2，所以a2b21，因为椭圆C过点，所以1.故a22，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x，此时P(，0)，Q(，0)，得1.当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k0)，M(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(x1x2)2(y1y2)0，则14mk0，故4mk1.此时直线PQ斜率为k14m，PQ的直线方程为ym4m.即y4mxm.联立消去y整理，得(32m21)x216m2x2m220.设P(x3，y3)，Q

5、(x4，y4)，所以x3x4，x3x4.于是(x31)(x41)y3y4x3x4(x3x4)1(4mx3m)(4mx4m)(4m21)(x3x4)(16m21)x3x4m211m2.由于M在椭圆的内部，故0m2，令t32m21,1t29，则.又1t29，所以1b0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e，三角形ABC的面积为，动直线l：ykxm(m0)与椭圆交于M，N两点(1)求椭圆方程；(2)若椭圆上存在点P，满足(O为坐标原点)，求的取值范围；(3)在(2)的条件下，当取何值时，MNO的面积最大，并求出这个最大值解：(1)由离心率e，三角形ABC的面积为，得，ab，解得a，

6、b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，由题意得x0，y0，由得(12k2)x24kmx2m220. (4km)24(12k2)(2m22)8(12k2m2)0得m2m2，2b0)的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：(x2)2y2r2(r0)，设圆T与椭圆C交于点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)求的最小值，并求此时圆T的方程；(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，试问：是否存在使SPOSSPOR最大的点P，若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)由题意知解之得

7、由c2a2b2，得b1，故椭圆C方程为y21.(2)点M与点N关于x轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨设y10，由于点M在椭圆C上，y1，由已知T(2,0)，则(x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)22.由于2x10)，若点P在椭圆C上，当椭圆C变化时，求实数的取值范围解：(1)由椭圆C的离心率e，得.所以，所以，即a24b2.所以椭圆C的方程为1，即x24y24b2.由题意，直线l的方程为yxb.将代入中并整理，得5x28bx0.所以x10，x2.因此y1b，y2.不妨设A(0，b)，B.由，得0b，解得b24.所以a24b216.椭圆C的方程为1.(2)由题意，直线l的方程为yxc.代入椭圆C的方程消去y并整理，得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0.由于右焦点F在椭圆C的内部，所以该方程的判别式0.由韦达定理，得x1x2，x1x2.所以|AB|2(112)(x1x2)24x1x2(112).所以|AB|.所以01.从而4211，所以2.又0.所以实数的取值范围为.9