广东省佛山市第一中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理.doc

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1、佛山一中2014-2015学年度下学期高二期中考试数学（理数）试题 注意事项：1本试题 满分150分，考试时间为120分钟。2选择题部分，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上。将答案用黑色签字（0.5mm）笔填涂在答题卡指定位置。一、选择题：大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数（其中，是虚数单位），则的值为 ( )A B C D2. 某质点的运动方程是，则在s时的瞬时速度为（ ）A2B4C-5D03. 已知二次函数，则它的图象与轴所围图形的面积为 ( )A B. C D 4. 在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15

2、，21，28，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形(如下图)则第个三角形数为（ ）A、 B、 C、 D、5. 用0,1,2,3,4五个数字，可以组成没有重复的三位数的个数为（ ） A.10 B.24 C.40 D1206. 在的二项展开式中的系数为 ( )A. -10 B. 10 C. -40 D. 40 7是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（ ） A B C D8. 函数在上的最小值是 ( )A. 1 B. C.5 D. 09.一排9个座位坐了3个三口之家，每家人坐一起，则不同的坐法种数为（ ）A B. C. D.10. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范

3、围是（ ）ABCD二、 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分11. 计算定积分 .12. 用反证法证明命题“为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是：“方程 ”. 13将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案有 种（请用数字作答）.14. 将正偶数按如图所示的规律排列：2468101214161820则第n（n4）行从左向右的第4个数为 三解答题:本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分12分）已知复数，(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限内，求实数的取值范

4、围.(2)把复数的共轭复数记为，若时，求与.16.（本题满分12分）某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的件数与商品单价的降低值元()的函数关系为：.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.(1) 将一个星期的商品的销售利润表示成的函数；(2) 如何定价才能使得一个星期的商品销售利润最大？17.（本题满分14分）（1）求证：.（2）已知：，且，求证：，并且求等号成立的条件18.（本题满分14分）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率;（2）当时，求函数的极值.19.（本题满分14分）设数列an满足a1=2，an+1=an+

5、 （）.（1）试写出；（2）请用数学归纳法，证明an对一切正整数n都成立；（3）令 = （），判定与的大小，并说明理由. 20.（本题满分14分）设函数,其中为自然对数（1）求函数的增区间；（2）当时，求的取值范围；（3）若，证明：.装 订 线考号： 班级： 姓名： 试室号： 2014-2015学年度下学期高二期中考试试题答卷座位号：一、选择题：（答案请涂于答题卡，满分50分）二、填空题：（满分20分）11_ 12_ 13_ 14_三、解答题：15（本题满分12分）16（本题满分12分）17（本题满分14分）18（本题满分14分） 19（本题满分14分）20（本题满分14分）佛山一中2014-

6、2015学年度下学期高二期中考试数学（理数）试题答案一、选择题：大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678910DBABCCDACB二、 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分11、0 12、没有实根 13、12 14、三解答题:本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分12分）解：（1）.2分因为复数在复平面上对应点落在第一象限内，即.4分所以；实数的取值范围.6分（2）当时，.7分.9 分 .10分12分16.（本题满分12分）解：（1）设一个星期的商品的销售利润为y元，依题意有：1分单

7、价降低2元时，一星期多卖出24件3分3分 4分6分(2) ， 8分.当变化时,的变化情况如下表0,2)2(2,12)12(12,30-0+0 -极小值极大值所以f(x)在(2,12)内是增函数,在内是减函数. 10分函数y=f(x)在x12处取得极大值为而，所以,当售价为30-12=18元时，才能使得一个星期的商品销售利润最大。12分17.（本题满分14分）解：2分7分（2），8分9分11分12分即：14分18.（本题满分14分）答案：（1）1分 .2分4分（2）证法一：当n=1时，a1=2，不等式成立. 5分假设n=k时，ak成立，6分当n=k+1时，ak+12=ak2+27分ak+12=a

8、k2+22k+3+2（k+1）+1，9分当n=k+1时，ak+1成立. 10分综上，由数学归纳法可知，an对一切正整数成立. 11分证法二：当n=1时，a1=2=结论成立. 5分假设n=k时结论成立，即ak，6分当n=k+1时，由函数f（x）=x+（x1）的单调递增性和归纳假设有7分ak+1=ak+8分 =9分=当n=k+1时，结论成立. .10分因此，an对一切正整数n均成立11分（3）解：=（1+）（1+） = = 12分=1. 13分故bn+1bn.14分19.（本题满分14分）解:(1)当时, ,1分3分故4分所以曲线在点处的切线的斜率5分(2) 6分令,解得,或.由知, 7分当时,则. 当变化时,的变化情况如下表:x(,2a)2a(2a,a2)a2(a2,+)f(x)+00+f(x)极大值极小值所以在,内是增函数,在内是减函数.10分函数在处取得极大值,且12分函数在处取得极小值,且14分20.（本题满分14分）设函数,其中为自然对数（1）求函数的增区间；（2）当时，求的取值范围；（3）若，证明：解：1分当；当3分函数的增区间为4分（2）5分由(1)知，当且仅当时等号成立，6分故从而当，7分即时， ，而，于是当.8分由可得从而当时，故当时， ，而，于是当时， .综合得a的取值范围为 10分（3）证明：由（1）知：当时，有，故（）， 12分从而有14分- 16 -